«Элементы математической статистики» Группа учащихся исследовалась на предмет усвоения нового материала. Для этого был предложен

«Элементы математической статистики» Группа учащихся исследовалась на предмет усвоения нового материала. Для этого был предложен тест. В качестве результата регистрировалось время выполнения теста в минутах. Были получены следующие результаты (приведены для каждого варианта). Найти моду, медиану, среднее, размах, дисперсию, стандартное отклонение. Сгруппировать данные и нарисовать полигон и гистограмму распределения сгруппированных относительных частот. Выяснить, удовлетворяют ли экспериментальные данные нормальному закону распределения. 17 15 29 25 22 27 34 37 38 40 45 56 57 53 54 65 66 77 79 74 75 85 83 85 86 17 15 40 25 22 27 40 40 38 40 45 56 40 53 54 65 66 77 79 74 75 85 83 85 86

Запишем вариационный ряд
15 15 17 17 22 22 25 25 27 27
29 34 37 38 38 40 40 40 40 40
40 45 45 53 53 54 54 56 56 57
65 65 66 66 74 74 75 75 77 77
79 79 83 83 85 85 85 85 86 86
Количество значений четное: n=2k, 50=2k, k=25,
me=xk+xk+12=x25+x262=53+542=53,5 – медиана случайной величины.
Мо=40 - мода случайной величины.
Статистический ряд частот(относительных частот)
xi
15 17 22 25 27 29 34 37 38 40 45 53
ni
2 2 2 2 2 1 1 1 2 6 2 2
ωi
0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,02 0,02 0,02 0,04 0,12 0,04 0,04
xi
54 56 57 65 66 74 75 77 79 83 85 86 ∑
ni
2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 4 2 50
ωi
0,04 0,04 0,02 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,08 0,04 1
xi - время выполнения теста в минутах, ni - количество учащихся, которые выполнили тест за i время, ωi - относительная частота.
Всего учащихся, которые принимали участие в исследовании:
n=ni=50
Найдем выборочное среднее для статистического ряда частот
Хв=xi∙nin=150(15∙2+17∙2+22∙2+25∙2+27∙2+29+34+
+37+38∙2+40∙6+45∙2+53∙2+54∙2+56∙2+57+65∙2+
+66∙2+74∙2+75∙2+77∙2+79∙2+83∙2+85∙4+86∙2)=
=265150=53,02
Для вычисления выборочной дисперсии для статистического ряда составим расчетную таблицу
xi
xi-Хв
xi-Хв2
ni
xi-Хв2∙ni
15 -38,02 1445,5204 2 2891,04
17 -36,02 1297,4404 2 2594,88
22 -31,02 962,2404 2 1924,48
25 -28,02 785,1204 2 1570,24
27 -26,02 677,0404 2 1354,08
29 -24,02 576,9604 1 576,96
34 -19,02 361,7604 1 361,76
37 -16,02 256,6404 1 256,64
38 -15,02 225,6004 2 451,20
40 -13,02 169,5204 6 1017,12
45 -8,02 64,3204 2 128,64
53 -0,02 0,0004 2 0,001
54 0,98 0,9604 2 1,92
56 2,98 8,8804 2 17,76
57 3,98 15,8404 1 15,84
65 11,98 143,5204 2 287,04
66 12,98 168,4804 2 336,96
74 20,98 440,1604 2 880,32
75 21,98 483,1204 2 966,24
77 23,98 575,0404 2 1150,08
79 25,98 674,9604 2 1349,92
83 29,98 898,8004 2 1797,60
85 31,98 1022,7204 4 4090,88
86 32,98 1087,6804 2 2175,36
26196,98
Выборочная дисперсия для статистического ряда равна
Dв=xi-Хв2∙nin=26196,9850=523,94
Среднее квадратическое отклонение равно
δ=Dв≈22,8897
Найдем размах выборки:
R=xmax-xmin=86-15=71
Количество интервалов найдем по формуле Стерджеса:
K=1+3,322lgn=1+3,322∙lg50≈6
Ширина интервала
h=RK=716≈12,
Начальное значение первого интервала
xнач=xmin=15
Интервальный ряд
xi;xi+1
15; 27 27; 39 39; 51 51; 63 63; 75 75; 87
ni
8 7 8 7 6 14
ωi
0,16 0,14 0,16 0,14 0,12 0,28
hi=nih
0,67 0,58 0,67 0,58 0,50 1,17
Полигон относительных частот
Гистограмма относительных частот
Вывод