Функция полезности потребителя: U=(x+4)(y+8), его бюджет m=55, цены товаров: px=14, py=6. Определить набор спроса потребителя. Найти

Функция полезности потребителя: U=(x+4)(y+8), его бюджет m=55, цены товаров: px=14, py=6. Определить набор спроса потребителя. Найти уравнение кривой безразличия, на которой расположен набор спроса. Найти коэффициент перекрестной ценовой эластичности спроса на товар х в точке равновесия потребителя. Пусть цена на х снизилась до 10. Найти новый набор спроса потребителя. Определить эффекты замены по Слуцкому и Хиксу. Чему равно компенсирующее изменение дохода в каждом случае? Дать графическую иллюстрацию (график оптимума потребителя, график анализа по Слуцкому, график анализа по Хиксу).

U(x,у) = (х + 4)(y + 8)=xy+8x+4y+32
Оптимум потребителя достигается из условия:
При бюджетном ограничении:
Xpx+Ypy=I
Mux=U’(x)=y+8
MUy=U’(y)=x+4
Составим и решим систему уравнений:
Выразим х из второго уравнения x=(55-6y)/14
Подставим в первое и решим его
Х=(55-6*5.25)/14=1.679
Оптимальная структура покупок потребителя – это 1,679 ед. товара Х и 5,25 единиц товара Y.
2. U(2,5) = (1,679 + 4)(5,25 + 8)=75,247
Выразим y из уравнения 75,247= (х + 4)(y + 8)
y+8=75,247/(x+4)
– уравнение кривой безразличия, на которой расположен набор потребителя.
3. Перекрёстная эластичность выражает относительное изменение объема спроса на одно благо при изменении цены на другое благо при прочих равных условиях.
Функция спроса выводится из условия оптимума потребителя:
Mux=U’(x)=y+8
MUy=U’(y)=x+4
Выразим из первого уравнения Y
Выразим X из второго уравнения.
Подставим значение Y и найдем Х.
ЗДЕСЬ НЕПРАВИЛЬНО РАССТАВЛЕНЫ ЗНАКИ + И –
Так как по условию доход составляет 55.
-кривая спроса на товар Х
При цене px=14, py=6.

Положительная перекрестная эластичность спроса по цене относится к взаимозаменяемым товарам (товарам-субститутам)

.
4. Составим и решим систему уравнений:
Выразим х из второго уравнения x=(55-6y)/10
Подставим в первое и решим его
Х=(55-6*3,917)/10=3,150
Теперь набор потребителя составит 3,15 товарах Х и 3,917 товара Y.
5. Изначально потреблялось 1,679 товара Х и 5,25 – Y при полезности 75,247.
После снижении цены товара Х потребляется 3,15 его единиц и 3,917 единицы товара Y.
Расчет эффектов дохода и замещения по Слуцкому.
Сначала рассчитаем эффект замещения. Для этого необходимо рассчитать компенсированный по Слуцкому доход, при котором первоначальный набор будет доступен при новых ценах.
Iк=1,679*10+5,25*6=48,29 – компенсирующий доход по Слуцкому.
Далее рассчитаем, каким был бы выбор потребителя при таком уровне дохода.
Выразим х из второго уравнения x=(48,29-6y)/10
Подставим в первое и решим его
Х= (48,29-6*4)/10=2,429
При расчете эффекта замещения вычитаем из «промежуточного» выбора изначальный:
Для Х=2,429-1,679=0,75
Для Y=3,358-5,25=1,892
При расчете эффекта дохода – из конечного вычитаем «промежуточный»
Для Х=3,15-2,429=0,721
Для Y=3,917-3,358=0,559
Теперь произведем расчеты по Хиксу.
Полезность изначальная должна быть 75,247