Игровая задача Для обслуживания потребителей предприятие может выделить три вида транспорта – А1, А2, А3,

Игровая задача Для обслуживания потребителей предприятие может выделить три вида транспорта – А1, А2, А3, получая прибыль, зависящую от спроса на них. Спрос, в свою очередь, может принимать одно из 4-х состояний – В1, В2, В3, В4. В матрице 6.1 элементы характеризуют прибыль, при использовании транспорта Аi и состоянии спроса Bk. Матрица 6.1 В1 В2 В3 В4 А1 2 0 5 4 А2 3 5 5 2 А3 4 5 6 3 Определите оптимальную пропорцию транспортных средств (считая, что доля средств характеризуется вероятностью использования i-го вида транспорта), предполагая при этом, что состояние спроса является полной неопределенностью. Прибыль должна гарантироваться при любом состоянии спроса. С этой целью необходимо представить задачу как матричную игру двух лиц (предприятие – спрос) с нулевой суммой, исключить заведомо невыгодные стратегии игроков, найти оптимальные стратегии и цену игры сведением игры к паре симметричных двойственных задач линейного программирования, определить оптимальную структуру транспортных средств.

Для игрока В невыгодна стратегия В3, т.к. все элеиенты данного столбца больше или равны всем столбцам. Упрощенная платежная матрица имеет вид:
А=204352453
Проверим наличие решения в чистых стратегиях игроков:
α=мах023 = 3
β=min⁡(4;5;5) = 4
Так как α ≠ β, то седловая точка отсутствует, и оптимальное решение следует искать в смешанных стратегиях игроков.
Составим двойственную пару задач линейного программирования.
Для первого игрока
2у1+4у3≥V3у1+5y2+2у3≥V4у1+5y2+3у3≥V
у1+y2+у3=1
Освобождаясь от переменной V (цена игры), разделим левую и правую часть выражений на V . Приняв уj /V за новую переменную zi, получим новую систему ограничений и целевую функцию:
2z1+4z3≥13z1+5z2+2z3≥14z1+5z2+3z3≥1
F=1V=Z1+Z2+Z3→min
Аналогично получим модель игры для второго игрока:
2x1+3x2+4x3≤V5x2+5x3≤V4x1+2x2+3x3≤V
x1+x2+x3=1
Приведя модель к форме без переменной V, получим:
2d1+3d2+4d3≤15d2+5d3≤14d1+2d2+3d3≤1
ψ=1V=d1+d2+d3→max
где .
Нам необходимо определить стратегию поведения первого игрока, т.е

. Приняв уj /V за новую переменную zi, получим новую систему ограничений и целевую функцию:
2z1+4z3≥13z1+5z2+2z3≥14z1+5z2+3z3≥1
F=1V=Z1+Z2+Z3→min
Аналогично получим модель игры для второго игрока:
2x1+3x2+4x3≤V5x2+5x3≤V4x1+2x2+3x3≤V
x1+x2+x3=1
Приведя модель к форме без переменной V, получим:
2d1+3d2+4d3≤15d2+5d3≤14d1+2d2+3d3≤1
ψ=1V=d1+d2+d3→max
где .
Нам необходимо определить стратегию поведения первого игрока, т.е