Исходные данные: y't=y+cost+y2, y0=3, 0,3, N=20. Найдем шаг: h=3-020=0,15. Проинтегрируем уравнение численно с шагом h=0,15 по формулам. 1. Метод

Исходные данные: y't=y+cost+y2, y0=3, 0,3, N=20. Найдем шаг: h=3-020=0,15. Проинтегрируем уравнение численно с шагом h=0,15 по формулам. 1. Метод Рунге-Кутты 4 порядка. Расчетные формулы для получения yi+1 на i+1 шаге: yi+1=yi+k1+2k2+2k3+k46; k1=hfti,yi, k2=hfti+h2,yi+k12, k3=hfti+h2,yi+k22, k4=hfti+h,yi+k3. Здесь ft,y=y+cost+y2, h=0,15, y0=0. 2. Метод Эйлера. На i+1 шаге: yi+1=yi+hfti,yi. Таким образом, последовательно находим значения yi+1 на всем промежутке 0,3 через значение на прошлом шаге. Проводя расчеты в Excel по указанным формулам, получим результаты (фрагмент поля в Excel): 2. Приближение сеточных функций По заданной таблице значений функции составить интерполяционный многочлен Лагранжа и вычислить значение многочлена в точке x*=1. x y 0 11 2 10 3 10 5 12

Многочлен в форме Лагранжа:
Lnx=j=0nyjlnjx, где
lnjx=k=0k≠jnx-xkxj-xk=x-x0x-x1…x-xj-1x-xj+1…x-xnxj-x0xj-x1…xj-xj-1xj-xj+1…xj-xn
Запишем многочлен для данных варианта:
L3x=y0x-x1x-x2x-x3x0-x1x0-x2x0-x3+y1x-x0x-x2x-x3x1-x0x1-x2x1-x3+
+y2x-x0x-x1x-x3x2-x0x2-x1x2-x3.+y3x-x0x-x1x-x2x3-x0x3-x1x3-x2
L21=11∙1-2∙1-3∙1-50-2∙0-3∙0-5+10∙1-0∙1-3∙1-52-0∙2-3∙2-5+10∙1-0∙1-2∙1-53-0∙3-2∙3-5+12∙1-0∙1-2∙1-35-0∙5-2∙5-3=10,4.
Заданы значения функции fx в узлах xi . Построить интерполяционный многочлен Ньютона, найти значения функции в точках x1=1,1 и x2=2,1.
x y=f(x)
1,0 1,0
1,2 2,1
1,4 3,1
1,6 3,8
1,8 5,2
2,0 6,2
Конечные разности вычисляются по формулам:
Δkyi=Δk-1yi+1-Δk-1yi.
Например, конечные разности первого порядка:
Δy0=y1-y0; Δy1=y2-y1; Δyn-1=yn-yn-1.
Второго порядка:
Δ2y0=Δy1-Δy0, Δ2y1=Δy2-Δy1; Δ2yn-2=Δyn-1-Δyn-2
и так далее.
Рассчитаем конечные разности в Excel и представим в таблице:
Интерполяционная формула Ньютона:
Pnx=y0+Δy01!hx-x0+Δ2y02!h2x-x0x-x1+…
+Δny0n!hnx-x0…x-xn-1.
Для данной задачи:
P5x=y0+Δy01!hx-x0+Δ2y02!h2x-x0x-x1+Δ3y03!h3x-x0x-x1x-x2+Δ4y04!h4x-x0x-x1x-x2x-x3++Δ4y05!h4x-x0x-x1x-x2x-x3x-x4
Расчет:
Получили: f1,1=1,41289; f2,1=4,81992.
Полиномы Ньютона (синий) и Лагранжа (красный) на одном графике (найденные точки обозначены зелеными треугольниками):

. Построить интерполяционный многочлен Ньютона, найти значения функции в точках x1=1,1 и x2=2,1.
x y=f(x)
1,0 1,0
1,2 2,1
1,4 3,1
1,6 3,8
1,8 5,2
2,0 6,2
Конечные разности вычисляются по формулам:
Δkyi=Δk-1yi+1-Δk-1yi.
Например, конечные разности первого порядка:
Δy0=y1-y0; Δy1=y2-y1; Δyn-1=yn-yn-1.
Второго порядка:
Δ2y0=Δy1-Δy0, Δ2y1=Δy2-Δy1; Δ2yn-2=Δyn-1-Δyn-2
и так далее.
Рассчитаем конечные разности в Excel и представим в таблице:
Интерполяционная формула Ньютона:
Pnx=y0+Δy01!hx-x0+Δ2y02!h2x-x0x-x1+…
+Δny0n!hnx-x0…x-xn-1.
Для данной задачи:
P5x=y0+Δy01!hx-x0+Δ2y02!h2x-x0x-x1+Δ3y03!h3x-x0x-x1x-x2+Δ4y04!h4x-x0x-x1x-x2x-x3++Δ4y05!h4x-x0x-x1x-x2x-x3x-x4
Расчет:
Получили: f1,1=1,41289; f2,1=4,81992.
Полиномы Ньютона (синий) и Лагранжа (красный) на одном графике (найденные точки обозначены зелеными треугольниками):