По данной выборке случайной величины X вычислить все основные эмпирические характеристики: математическое ожидание m*x,

По данной выборке случайной величины X вычислить все основные эмпирические характеристики: математическое ожидание m*x, дисперсию D*, несмещенную дисперсию S2, среднее квадратическое отклонение σ*x, построить доверительный интервал для математического ожидания, построить доверительный интервал для дисперсии (доверительную вероятность положить равной 0,95). 2,5 0,6 2,2 2,5 0,3 3,5 1,4 1,1 5,7 1,5 1,2 3,6 1,2 7,8 2,6 0,4 3,5 1,3 0,1 1,6 1,5 3,6 2,1 3,6 0,2 0,7 0,6 0,3 3,5 1,8 0,6 0,0 3,2 0,5 1,5 0,2 2,7 1,5 1,1 2,3 1,1 1,7 1,9 1,3 2,3 0,4 0,4 1,2 0,2 0,2 5,2 4,3 0,5 1,0 1,9 1,2 1,8 3,7 1,9 1,6

Упорядочим в Excel данные по возрастанию…
Найдем минимальное и максимальное значение, размах выборки:
xmin=0; xmax=7,8, R=xmax-xmin=7,8.
Выполним группировку значений случайной величины X, разбив выборку на равные интервалы. Количество интервалов определим по формуле Стерджесса:
k=1+3,322 lgn=1+3,322 lg60≈14,6.
Найдем величину интервала:
h=Rk=7,814≈0,6.
№ xi
xi+1
ni
1 0 0,6 16
2 0,6 1,2 9
3 1,2 1,8 12
4 1,8 2,4 7
5 2,4 3 4
6 3 3,6 7
7 3,6 4,2 1
8 4,2 4,8 1
9 4,8 5,4 1
10 5,4 6 1
11 6 6,6 0
12 6,6 7,2 0
13 7,2 7,8 1
С 7 по 13 интервалы имеет смысл объединить . В итоге получим 7 интервалов. Для нахождения основных характеристик выборки заполним таблицу:
№ xi;xi+1
ni
Середина интервалов, x*i
xini
xi2ni
1 (0;0,6) 16 0,3 4,8 1,44
2 (0,6;1,2) 9 0,9 8,1 7,29
3 (1,2;1,8) 12 1,5 18 27
4 (1,8;2,4) 7 2,1 14,7 30,87
5 (2,4;3) 4 2,7 10,8 29,16
6 (3;3,6) 7 3,3 23,1 76,23
7 (3,6;7,8) 5 5,7 28,5 162,45
∑
60
108 334,44
Математическое ожидание m*x найдем по формуле среднего арифметического взвешенного:
m*x=i=17x*inin=10860=1,8.
Найдем D*, несмещенную дисперсию S2, среднее квадратическое отклонение σ*x:
D*=i=17x*i2nin-m*x2=334,4460-1,82≈2,334⇒σ=D*=2,334≈
≈1,528.
S2=nn-1D*=6060-1∙2,334≈2,374.
Построим доверительный интервал для неизвестного математического ожидания

. В итоге получим 7 интервалов. Для нахождения основных характеристик выборки заполним таблицу:
№ xi;xi+1
ni
Середина интервалов, x*i
xini
xi2ni
1 (0;0,6) 16 0,3 4,8 1,44
2 (0,6;1,2) 9 0,9 8,1 7,29
3 (1,2;1,8) 12 1,5 18 27
4 (1,8;2,4) 7 2,1 14,7 30,87
5 (2,4;3) 4 2,7 10,8 29,16
6 (3;3,6) 7 3,3 23,1 76,23
7 (3,6;7,8) 5 5,7 28,5 162,45
∑
60
108 334,44
Математическое ожидание m*x найдем по формуле среднего арифметического взвешенного:
m*x=i=17x*inin=10860=1,8.
Найдем D*, несмещенную дисперсию S2, среднее квадратическое отклонение σ*x:
D*=i=17x*i2nin-m*x2=334,4460-1,82≈2,334⇒σ=D*=2,334≈
≈1,528.
S2=nn-1D*=6060-1∙2,334≈2,374.
Построим доверительный интервал для неизвестного математического ожидания