По результатам наблюдений, проведенным на железнодорожной станции, составлена таблица зависимости времени расформирования составов на

По результатам наблюдений, проведенным на железнодорожной станции, составлена таблица зависимости времени расформирования составов на сортировочной горке от числа вагонов в составе. Требуется найти зависимость времени расформирования t (мин) от числа вагонов m в виде трех формул: t=am+b, t=am+b, t=am2+bm+c. Вычислить среднеквадратичные уклонения и выбрать наиболее подходящую эмпирическую формулу. Построить графики эмпирических зависимостей вместе с точками исходной таблицы. i = 1 – номер варианта, m – число вагонов в составе грузового поезда, t – время расформирования состава.

По результатам эксперимента получена следующая таблица значений.
Таблица 2.1.
m (шт) 20 24 28 32 36 40 44 48 52 54
t (мин) 11,2 13,1 14,8 16,5 18,1 19,6 21 22,3 24,2 25,6
В качестве эмпирической формулы выбираем линейную функцию
t=am+b.
Параметры a, b определим из системы уравнений
b∙n+ai=1nmi=i=1ntibi=1nmi+ai=1nmi2=i=1nmiti.
Для того чтобы найти коэффициенты этой системы, проделаем предварительные расчеты, результаты которых сведем в таблицу 2.2.
Таблица 2.2.
i mi
ti
mi2 miti
t(mi) εi
εi2
1 20 11,2 400 224 11,448 -0,248 0,062
2 24 13,1 576 314,4 13,064 0,036 0,001
3 28 14,8 784 414,4 14,681 0,119 0,014
4 32 16,5 1024 528 16,297 0,203 0,041
5 36 18,1 1296 651,6 17,913 0,187 0,035
6 40 19,6 1600 784 19,529 0,071 0,005
7 44 21 1936 924 21,145 -0,145 0,021
8 48 22,3 2304 1070,4 22,761 -0,461 0,213
9 52 24,2 2704 1258,4 24,377 -0,177 0,031
10 54 25,6 2916 1382,4 25,185 0,415 0,172
 Сумма 378 186,4 15540 7551,6     0,595705
Последняя строка таблицы содержит коэффициенты системы. Подставляя их в систему уравнений, получаем
10b+378a=186,4,378b+15540a=7551,6.
Решая эту систему, находим: a = 0,404, b = 3,3678. Окончательный вид эмпирической формулы t=0,404m+3,3678.
Для вычисления среднеквадратичного уклонения заполним три последних столбца таблицы 2.2:
t(mi) – значения, полученные по найденной эмпирической формуле в точках mi;
εi = t(mi)– ti – уклонения между теоретическими и опытными значениями.
Суммируя значения последнего столбца, вычислим среднеквадратичное уклонение
ε1=1ni=1nεi2=0,595710≈0,2441.
Построим график:
Рис. 2.1 График линейной функции
В качестве эмпирической формулы выбираем гиперболическую функцию
t=am+b.
Введем новую переменную:
x=1m
Таблица 2.3.
x (1/шт) 0,05 0,042 0,036 0,031 0,028 0,025 0,023 0,021 0,0192 0,0185
t (мин) 11,2 13,1 14,8 16,5 18,1 19,6 21 22,3 24,2 25,6
Теперь рассмотрим новую линейную функцию:
t=ax+b.
Параметры a, b определим из системы уравнений
b∙n+ai=1nxi=i=1nti,bi=1nxi+ai=1nxi2=i=1nxiti.
Для того чтобы найти коэффициенты системы, проделаем предварительные расчеты, результаты которых сведем в таблицу 2.4.
Таблица 2.4.
i xi
ti
xi2 xiti
t(xi) εi
εi2
1 0,0500 11,2 0,0025 0,56 -11,856 23,056 531,579
2 0,0417 13,1 0,00176 0,315 0,404 -10,3517 107,1572
3 0,0357 14,8 0,0013 0,3168 9,162 -3,37829 11,41286
4 0,0313 16,5 0,00096 0,3255 15,730 1,816193 3,298557
5 0,0278 18,1 0,00078 0,3528 20,838 3,852884 14,84472
6 0,0250 19,6 0,00063 0,3775 24,925 5,489575 30,13543
7 0,0227 21 0,00053 0,4163 28,269 5,247369 27,53488
8 0,0208 22,3 0,00044 0,441 31,055 5,105163 26,06269
9 0,0192 24,2 0,00036 0,4275 33,413 6,362957 40,48722
10 0,0185 25,6 0,00032 0,4356 34,461 6,041854 36,504
сумма 0,2927 186,4 0,00958 3,968     829,017
Последняя строка таблицы содержит коэффициенты системы

. Подставляя их в систему уравнений, получаем
10b+0,2927a=186,4,0,2927b+0,0096a=3,968.
Решая эту систему, находим: a = -1471,24, b = 61,7059. Окончательный вид эмпирической формулы t=-1471,24m+61,7059.
Для вычисления среднеквадратичного уклонения заполним три последних столбца таблицы 2.4:
t(xi) – значения, полученные по найденной эмпирической формуле в точках xi;
εi = t(xi)– ti – уклонения между теоретическими и опытными значениями.
Суммируя значения последнего столбца, вычислим среднеквадратичное уклонение
ε2=1ni=1nεi2=704829,01710≈9,105.
Построим график:
Рис