Построить амплитудную спектральную диаграмму четной периодической последовательности прямоугольных импульсов с длительностью τи и амплитудой

Построить амплитудную спектральную диаграмму четной периодической последовательности прямоугольных импульсов с длительностью τи и амплитудой U при двух значениях периода T1 и T2 . Проанализировать изменение спектра последовательности в зависимости от скважности импульсов. Как изменится спектр рассматриваемой последовательности при совмещении начала отсчета времени с фронтом одного из импульсов? Длительности, амплитуды и период последовательности импульсов взять из (таблицы 1.1) Рис. 1.1 - Периодическая последовательность прямоугольных импульсов: а – четная; б – сдвинутая на τи/2 Таблица 1.1- Данные к задаче 1 Предпоследняя цифра учебного шифра τи, мс U, В Последняя цифра учебного шифра T1, мс T2, мс 8 1,3 1 5 2,0 3,0

Рисунок (1,а)
Разложим сигнал в ряд Фурье:
ut=a02+n=1∞an∙cosnωt+bn∙sinnωt (1)
А) T1=2,0 мс
Так как сигнал u(t) симметричен (четный) относительно точки t=0, то коэффициенты при синусоидальных составляющих будут равны нулю bn=0. Обозначим отношение q1=T1τu скважность последовательности. Найдем коэффициенты a0 и an ряда Фурье по формулам:
a0=2T1-T12T12utdt (2)
an=2T1-T12T12ut∙cosnω1tdt (3)
bn=2T1-T12T12ut∙sinnω1tdt (4)
a0=2T1-τu2τu2Udt=2UT1∙t|-τu2 τu2=2T1τu2+τu2=2UτuT1=2Uq1
an=2T1-τu2τu2U∙cosnω1tdt=4Unω1T1∙sinnω1t|0τu2=4Unω1T1sinnω1τu2
Так как ω1=2πT1 , то an=2Unπsinnπq1
Подставив выражения для коэффициентов в формулу ряда Фурье, получим:
u1t=Uq1+n=1∞2Unπsinnπq1∙cosnω1t=
=Uq11+2n=1∞sin⁡(nπq1)nπq1∙cos⁡(nω1t) (5)
Так как коэффициенты при синусоидальных составляющих равны нулю, то амплитудный спектр последовательности будет представлен коэффициентами при косинусоидальных составляющих, взятых по абсолютному значению:
Un1=an2+bn2=an=2Unπsinnπq1 (6)
Б) T2=3,0 мс
Заменяя в формулах (5) и (6) ω1, q1 на ω2=2πT2, q2=T2τu, и получим разложение в ряд Фурье и амплитудный спектр для случая б:
U2(t)=Uq21+2n=1∞sin⁡(nπq2)nπq2∙cos⁡(nω2t)
Un2=2Unπsinnπq2
q1=2.01.3=1.538 , q2=3.01.3=2.308
Таблица 1.2 – Амплитудные спектры
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.567 0.258 0.033 0.151 0.09 0.033 0.09 0.047 0.032 0.064 0.026 0.031
0.623 0.129 0.172 0.118 0.064 0.101 0.009 0.079 0.022 0.055 0.039 0.031
Рисунок 1.2 – Амплитудный спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов а для T1=2,0 мс
Рисунок 1.3 – Амплитудный спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов а для T2=3,0 мс
По графику видно, что при увеличении скважности импульсов (периода), ширина спектра возрастает, т.е