Пусть некоторая фирма при производстве продукции использует два производственных ресурса: рабочую силу (L, чел.-час.)

Пусть некоторая фирма при производстве продукции использует два производственных ресурса: рабочую силу (L, чел.-час.) и оборудование (K, ст.-час.). Рабочая сила нанимается по контракту с оплатой труда PL руб. в час, оборудование берется в аренду с затратами PK руб. в расчете на один час работы станка. Используемая технология позволяет фирме выпускать Q единиц продукции при использовании следующей комбинации производственных ресурсов: Q = A · Lα · Kβ. Объем авансированного на организацию производства капитала составляет C руб. Требуется: 1. Сформулировать экономико-математическую модель задачи производителя, при условии, что фирма заинтересована в максимизации объема выпускаемой продукции. 2. Определить оптимальное соотношение используемых производственных ресурсов (K* / L*), максимально возможный объем производства продукции (Q*) и потребности в ресурсах (L*, K*), проиллюстрировать решение графически. Определить функции предельного продукта производственных ресурсов (MPL(L), MPK(K)), предельную эффективность финансовых ресурсов (MPC) и норму технологического замещения рабочей силы оборудованием (MRTSLK) в точке оптимума. 3. Определить оптимальную потребность фирмы в производственных ресурсах в зависимости от объема выпускаемой продукции: L(Q) и K(Q). Определить требуемую величину авансированного капитала в зависимости от объема производства: C(Q). ДАННЫЕ К ЗАДАЧЕ МАКСИМИЗАЦИИ ОБЪЕМА ВЫПУСКАЕМОЙ ПРОДУКЦИИ В УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕННЫХ ФИНАНСОВЫХ РЕСУРСОВ: A α β PK PL C 20 0,7 0,3 4 4 55

1. Построение экономико-математической модели.
Для построения экономико-математической модели данной задачи используем следующие обозначения:
Q – объем выпускаемой продукции, шт.;
L – величина нанимаемой рабочей силы, чел.-час.;
K – величина арендуемого оборудования, ст.-час.
По условиям задачи фирма стремится максимизировать объем выпус- каемой продукции в условиях ограниченного авансированного капитала, ис- пользуемого на приобретение ресурсов. В таком случае получаем следую- щую задачу нелинейного программирования:
Q(L, K) = 20 · L0,7 · K0,3  max, (объем выпуска максимизируется),
PL·L + PK·K = 4·L + 4·K ≤ C = 55, (финансовые ресурсы ограничены),
L ≥ 0, K ≥ 0, (условие неотрицательности: продукция не может трансформироваться обратно в производственные ресурсы).
2. Найдем оптимальные производственные показатели в условиях ограниченных финансовых ресурсов.
Целевая функция нашей задачи вогнута и положительна, множество допустимых значений замкнуто и ограничено. Поэтому решение данной задачи существует (по теореме Вейерштрасса), причем L* > 0 и K* > 0, а ограничение по финансовым ресурсам выходит на равенство (так как цены на ресурсы и объем авансированного капитала строго положительны).
Функция Лагранжа для нашей задачи:
Λ(L,K,λ) = Q(L,K) + λ·(C–PL·L–PK·K) = 20·L0,7·K0,3 + λ·(55–4·L–4·K). 
Находим частные производные функции Лагранжа и приравниваем их к нулю

. В результате получаем следующую систему:
∂Λ / ∂L = ∂Q / ∂L – PL · λ = 0,
∂Λ / ∂K = ∂Q / ∂K – PK · λ = 0,
∂Λ / ∂λ = 55 – 4 · L – 4 · K = 0,
λ ≥ 0, L ≥ 0, K ≥ 0.
По определению, производная производственной функции по объему затрачиваемого ресурса равна предельному продукту данного ресурса, то есть: ∂Q / ∂L = MPL; ∂Q / ∂K = MPK. Тогда из первого и второго соотношений системы получаем: MPL – PL · λ = 0, MPK – PK · λ = 0. Отсюда, в свою очередь следует: λ = MPL / PL, λ = MPK / PK.
Окончательно имеем выражение: λ = MPL / PL = MPK / PK.
Суть полученного выражения состоит в том, что оптимальным для фирмы будет такое соотношение используемых ресурсов, при котором дополнительный рубль, затраченный на каждый из ресурсов, будет давать одинаковый прирост выпуска продукции.
Для нашей задачи на основании этого выражения получаем следующее оптимальное соотношение между производственными ресурсами:
MPL = ∂Q / ∂L = ∂(20 · L0,7 · K0,3) / ∂L = 14 · (K / L)0,3;
MPK = ∂Q / ∂K = ∂(20 · L0,7 · K0,3) / ∂K = 6 · (L / K)0,7;
из MPL / PL = MPK / PK имеем 14 · (K / L)0,3 / 4 = 6 · (L / K)0,7 / 4;
после преобразований имеем K* / L* = 3 / 7.
Это значит, что при данной технологии оптимальным соотношением оборудования и рабочей силы будет 3 / 7. Иными словами, при неизменных затратах на приобретение производственных ресурсов максимального объема выпуска продукции можно добиться, если использовать на каждые 3 ст.-часа оборудования 7 чел.-часов рабочей силы.
Вычисляем множитель Лагранжа λ:
λ = MPL / PL = 14 · (K* / L*)0,3 / 4 = 14 · (3 / 7)0,3 / 4 ≈ 2,714 > 0.
Так как λ строго положительно, то финансовое ограничение выполняется как равенство: 4 · L + 4 · K = 55