В результате производства и реализации единицы продукции A1, A2, A3 завод получает чистый доход,. 3

В результате производства и реализации единицы продукции A1, A2, A3 завод получает чистый доход, зависящий от спроса на продукцию, который может принимать одно из состояний B1, B2, B3, B4, заранее неизвестно какое именно. Возможные значения дохода представлены платежной матрицей. Продукция Спрос В1 В2 В3 В4 А1 9 9 7 8 А2 6 5 8 5 А3 7 7 5 4 1) Произвести упрощение платежной матрицы, используя принцип доминирования. 2) Найти оптимальные стратегии игроков и цену игры, используя классические критерии: ММ (Вальда), Н (оптимизма), N (нейтральный), S (Сэвиджа). 3) В каких пропорциях следует выпускать продукцию A1, A2, A3, чтобы гарантировать максимальный чистый доход при любом состоянии спроса.

Критерий Вальда.
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min aij)
Критерий ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Ai
П1 П2 П3 П4 min(aij)
A1 9 9 7 8 7
A2 6 5 8 5 5
A3 7 7 5 4 4
Выбираем из (7; 5; 4) максимальный элемент max=7.
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Критерий оптимизма.
Критерий ориентирует статистику на самые благоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает оптимистическую оценку ситуации.
Ai
П1 П2 П3 П4 max(aij)
A1 9 9 7 8 9
A2 6 5 8 5 8
A3 7 7 5 4 7
Выбираем из (9; 8; 7) максимальный элемент max=9.
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Нейтральный критерий.
Критерий является критерием пессимизма - оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:
max(si)
где si = y min(aij) + (1-y)max(aij)
Рассчитываем si.
s1 = 0.5∙7+(1-0.5)∙9 = 8s2 = 0.5∙5+(1-0.5)∙8 = 6.5s3 = 0.5∙4+(1-0.5)∙7 = 5.5
Ai
П1 П2 П3 П4 min(aij) max(aij) y min(aij) + (1-y)max(aij)
A1 9 9 7 8 7 9 8
A2 6 5 8 5 5 8 6.5
A3 7 7 5 4 4 7 5.5
Выбираем из (8; 6.5; 5.5) максимальный элемент max=8.
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Критерий Сэвиджа.
Критерий минимального риска Сэвиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е

. обеспечивается:
a = min(max rij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце bj = max(aij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r11 = 9 - 9 = 0;
r21 = 9 - 6 = 3;
r31 = 9 - 7 = 2.
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.r12 = 9 - 9 = 0;
r22 = 9 - 5 = 4;
r32 = 9 - 7 = 2.3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.r13 = 8 - 7 = 1;
r23 = 8 - 8 = 0;
r33 = 8 - 5 = 3.4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.r14 = 8 - 8 = 0;
r24 = 8 - 5 = 3;
r34 = 8 - 4 = 4.
Ai
П1 П2 П3 П4
A1 0 0 1 0
A2 3 4 0 3
A3 2 2 3 4
Результаты вычислений оформим в виде таблицы.
Ai
П1 П2 П3 П4 max(aij)
A1 0 0 1 0 1
A2 3 4 0 3 4
A3 2 2 3 4 4
Выбираем из (1; 4; 4) минимальный элемент min=1.
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A1.
1. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.
Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.
Игроки B1 B2 B3 B4 a = min(Ai)
A1 9 9 7 8 7
A2 6 5 8 5 5
A3 7 7 5 4 4
b = max(Bi) 9 9 8 8
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 7, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 8.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 7 ≤ y ≤ 8