В результате производства и реализации единицы продукции А1, А2, А3 завод получает чистый доход,

В результате производства и реализации единицы продукции А1, А2, А3 завод получает чистый доход, зависящий от спроса на продукцию, который может принимать одно из состояний В1, В2, В3, В4, заранее неизвестно какое именно. Возможные значения дохода представлены платежной матрицей. Продукция Спрос В1 В2 В3 В4 А1 7 2 3 8 А2 4 2 2 4 А3 4 5 9 4 1) Произвести упрощение платежной матрицы, используя принцип доминирования. 2) Найти оптимальные стратегии игроков и цену игры, используя классические критерии: ММ (Вальда), Н (оптимизма); N (нейтральный); S (Сэвиджа). 3) В каких пропорциях следует выпускать продукцию А1, А2, А3 чтобы гарантировать максимальный чистый доход при любом состоянии спроса. Исходные данные выбрать из таблицы.

1.Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.
Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если aij ≥ akj для всех j Э N и хотя бы для одного j aij > akj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) – доминирующая, k-я – доминируемая.
Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M aij ≤ ail и хотя бы для одного i aij < ail. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю – доминируемой.
Стратегия A1 доминирует над стратегией A2 (все элементы строки 1 больше или равны значениям 2-ой строки), следовательно, исключаем 2-ую строку матрицы. Вероятность p2 = 0.
7 2 3 8
4 5 9 4
С позиции проигрышей игрока В стратегия B1 доминирует над стратегией B4 (все элементы столбца 1 меньше элементов столбца 4), следовательно, исключаем 4-й столбец матрицы. Вероятность q4 = 0.
С позиции проигрышей игрока В стратегия B2 доминирует над стратегией B3 (все элементы столбца 2 меньше элементов столбца 3), следовательно, исключаем 3-й столбец матрицы. Вероятность q3 = 0.
7 2
4 5
Мы свели игру 3 x 4 к игре 2 x 2.
Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной

. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.
Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.
2.
Критерий Вальда.
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min aij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Ai П1 П2 П3 П4 min(aij)
A1 7 2 3 8 2
A2 4 2 2 4 2
A3 4 5 9 4 4
Выбираем из (2; 2; 4) максимальный элемент max=4
Вывод: выбираем стратегию N=3.
Критерий максимакса (оптимизма).
Критерий максимакса ориентирует статистику на самые благоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает оптимистическую оценку ситуации.
Ai П1 П2 П3 П4 max(aij)
A1 7 2 3 8 8
A2 4 2 2 4 4
A3 4 5 9 4 9
Выбираем из (8; 4; 9) максимальный элемент max=9
Вывод: выбираем стратегию N=3.
Критерий Севиджа.
Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:
a = min(max rij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е