Юнусова Энже, гр. ИМ-1601. 12 вариант. ИДЗ №8 Для непрерывной случайной величины (н.с.в.) X задана функция

Юнусова Энже, гр. ИМ-1601. 12 вариант. ИДЗ №8 Для непрерывной случайной величины (н.с.в.) X задана функция распределения F(x) (плотность функции распределения f(x)). Вычислить соответствующую плотность функции распределения f(x) (функцию распределения F(x)). Проверить выполнение условия нормировки распределений. Построить графики обеих функций. Вычислить числовые характеристики распределений: математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X). Вычислить вероятность того, что н.с.в. X примет значения из заданного интервала (a; b). Плотность функции распределения в промежутке (0; π) задана выражением: f(x) = С1×sin(¾ x); вне его – равна нулю. Интервал (a; b) = (0; ½ π).

Нормируем на единицу плотность функции распр. f(x); отсюда определится C1.
-∞+∞fxdx=1=0πС1sin¾ xdx=- 43C1cos34x0π=- 43C1(-22-1)
Откуда C1 = 322+4≈0,439.
f(x)=322+40, при x≤0, sin34x, при 0<x<π,0, при x>π
Найдём функцию распределения F(x):
F(x) = 0, x ≤ 0
F(x) = 1, x ≥
F(x)=-22+20, при x≤0, cos34x+22+2, при 0<x<π,1, при x≥π
Найдем математическое ожидание:
M(X) = -∞+∞xfxdx=0π322+4x∙sin34xdx= -2xcos34x+2xcos34x-42sin34x3+8sin(34x)30π=3(829+22π3)22+4 ≈ 1,854
Найдем дисперсию (по формуле дисперсии: D(X) = M(X2) – M2(X):
D(X)=-∞+∞x2fxdx-M2(X)=0π322+4x2∙sin34xdx-3(829+22π3)22+42 =-128922+4+3-64227+162π9+22π2322+4-3829+22π322+42=82π+32π2-32π3-4π2-809≈ 0,57
Среднее квадратическое отклонение σ(X) найдем как корень из дисперсии:
σ(X)=DX≈0,753
Вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала [a,b] равна: P(a < x < b) = F(b) - F(a)
Графики плотности функции распределения и самой функции распределения представлены на рисунках 1 и 2 соответственно.
Рис