В коробку (с крышкой), представляющую собой куб со стороной единичной длины, поместили два шара.

В коробку (с крышкой), представляющую собой куб со стороной единичной длины, поместили два шара. Каков максимальный объём, занимаемый шарами? Каковы их радиусы? Решить без использования производной.

1) Очевидно, максимальный объем получим при наибольшем удалении шаров друг от оруг, т. е. центры шаров должны лежать на диагонали куба.
2) Пусть R1 и R2 радиусы шаров. Поскольку шары касаются трех граней куба, то расстояния от их центров до ближайших вершин равны соответственно:
L1=R13;
L2=R23.
Шары касаются друг друга, поэтому расстояние между их центрами равно:
L=R1+R2.
Поскольку центры шаров лежат на диагонали куба, то:
L1+L+L2=3;
R13+R1+R2+R23=3;
R1+R23+1=3;
R1+R2=33+1=33-13-1=3-32≡C=const.
Ограничение для R1 и R2:
0<R1,R2≤12.
3) Сумма объемов шаров равна:
V=43πR13+R23=43πR1+R2R12-R1R2+R23=43πR1+R2R1+R22-3R1R2=
=43πCC2-3R1C-R1=43πC3-4πCR1C-R1=43πC3+4πCR1R1-C=
=43πC3+4πCR12-CR1=43πC3+4πCR1-C22-C24=max.
Максимум достигается при наибольшем (или наименьшем) значении R1:
R1=12;
R2=C-R1=3-32-12=2-32.
V=43πR13+R23=43π123+2-323=π61+8-123+18-33=π627-153=
=π29-53.
Ответ: 12 и 2-32;Vmax=π29-53.