В пластине толщиной (0≤x≤a), начиная с момента t=0, происходит тепловыделение с постоянной плотностью Q.

В пластине толщиной (0≤x≤a), начиная с момента t=0, происходит тепловыделение с постоянной плотностью Q. Найти распределение температуры в пластине, считая что грань x=0 поддерживается при нулевой температуре, а грань x=a при температуре T0. Начальное распределение температуры в пластине Tx,0=T0xa.

Распределение температуры T(x,t) в пластине описывается уравнением теплопроводности cρ∂T∂t=k∂2u∂x2+Q, k − коэффициент теплопроводности; c − удельная теплоемкость; ρ − плотность материала стержня. cρk∂T∂t=∂2u∂x2+Qk, Проведем следующую замену переменной времени τ=ktcρ, тогда уравнение для функции T(x,τ) примет вид ∂T∂τ=∂2T∂x2+Qk, 0<x<a, τ>0, (1) Граничные условия Tx=0=0, Tx=a=T0, τ>0. (2) Начальное условие Tx,0=T0xa. (3)

.
cρk∂T∂t=∂2u∂x2+Qk,
Проведем следующую замену переменной времени
τ=ktcρ,
тогда уравнение для функции T(x,τ) примет вид
∂T∂τ=∂2T∂x2+Qk, 0<x<a, τ>0,
(1)
Граничные условия
Tx=0=0, Tx=a=T0, τ>0.
(2)
Начальное условие
Tx,0=T0xa.
(3)