В пластине толщиной 2a (-a≤x≤a), грань x=a теплоизолирована, а грань x=-a поддерживается при постоянной

В пластине толщиной 2a (-a≤x≤a), грань x=a теплоизолирована, а грань x=-a поддерживается при постоянной температуре T0. Найти распределение температуры в любой момент времени, считая, что в начальный момент она равна T1.

Распределение температуры u(x,t) в пластине описывается уравнением теплопроводности
cρ∂u∂t=k∂2u∂x2,
k − коэффициент теплопроводности; c − удельная теплоемкость; ρ − плотность материала стержня .
cρk∂u∂t=∂2u∂x2,
Проведем следующую замену переменной времени
τ=ktcρ,
тогда уравнение примет вид
∂u∂τ=∂2u∂x2, -a≤x≤a, τ>0.
Граничные условия
ux=-a=T0, ∂u∂xx=a=0, τ>0.
Начальное условие
ux,0=T1.
Упростим постановку задачи, сведя ее к задаче с однородными граничными условиями

.
cρk∂u∂t=∂2u∂x2,
Проведем следующую замену переменной времени
τ=ktcρ,
тогда уравнение примет вид
∂u∂τ=∂2u∂x2, -a≤x≤a, τ>0.
Граничные условия
ux=-a=T0, ∂u∂xx=a=0, τ>0.
Начальное условие
ux,0=T1.
Упростим постановку задачи, сведя ее к задаче с однородными граничными условиями