В пространстве Е1 четыре плоскости заданы уравнениями 1) x+2y+z+2 = 0 2) x-y-z = 0 3) x+y-1

В пространстве Е1 четыре плоскости заданы уравнениями 1) x+2y+z+2 = 0 2) x-y-z = 0 3) x+y-1 =0 4) 3x+z +1 =0 Найти ур-е плоскости, проходящей через прямую пересечения первой и второй плоскостей, и параллельной прямой пересечения третьей и четвертой плоскостей.

1) Найдем уравнение прямой пересечения первой и второй плоскостей. Для этого найдем координаты двух точек, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям. Рассмотрим систему уравнений
x+2y+z+2 = 0
x-y-z = 0
Пусть z = 0. Тогда
x+2y+2 = 0
x-y = 0
Получим решение:
x0 = -2/3; y0 = -2/3
Координаты первой точки А(-2/3; -2/3; 0)
Найдем координаты второй точки. Пусть z = 1. Тогда можно записать систему уравнений.
x+2y+3 = 0
x-y-1= 0
Получим решение: x1 = -1/3; y1 = -4/3
Координаты второй точки В(-1/3; -4/3; 1)
Уравнение прямой AB, проходящей через две точки:
x-x0x1-x0=y-y0y1-y0=z-z0z1-z0
x+2/31/3=y+2/3-2/3=z-01
Направляющий вектор прямой AB q1={m1, p1, l1}={1/3, −2/3, 1}
2) 1) Найдем уравнение прямой пересечения третьей и четвертой плоскостей

. Для этого найдем координаты двух точек, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям. Рассмотрим систему уравнений
x+y-1 =0
3x+z +1 =0
Пусть z = 0. Тогда
x+y-1 =0
3x +1 =0
Получим решение:
x0 = -1/3; y0 = 4/3
Координаты первой точки С(-1/3; 4/3; 0)
Найдем координаты второй точки. Пусть z = 1. Тогда можно записать систему уравнений.
x+y-1 =0
3x+2 =0
Получим решение: x1 = -2/3; y1 = 5/3
Координаты второй точки D(-2/3; 5/3; 1)
Уравнение прямой СD, проходящей через две точки:
x+1/3-1/3=y+2/31/3=z-01
Направляющий вектор прямой CD q2={m2, p2, l2}={−1/3, 1/3, 1}
3) Найдем уравнение плоскости, содержащей прямую АВ и параллельной прямой CD
Поскольку плоскость α проходит через прямую AB , то она проходит также через точку 
А(x1, y1, z1)=А(−2/3, −2/3, 0)
и нормальный вектор плоскости n={A, B, C} перпендикулярен направляющему вектору 
q1={m1, p1, l1}={1/3, −2/3, 1} прямой АВ.
Тогда уравнение плоскости должно удовлетворять условию:
A·x1+B·y1+C·z1+D=0
Так как плоскость α должна быть параллельной прямой CD, то должно выполняться условие:
А*m2+B*p2+C*l2=0
Решим систему уравнений
A*(-2/3)+B*(-2/3)+C*0+D=0
A*(1/3) +B*(-2/3) +C*1 =0
A*(-1/3) +B*(1/3)+C*1 = 0
Представим уравнения в матричном виде:
Решим систему линейных уравнений относительно A, B, C, D:

Тогда уравнение плоскости
910x+35y+110z+1=0
Преобразуем
9x+6y+z+10 = 0
ОТВЕТ: правильный вариант
С) 9x+6y+z+10 = 0