В результате измерений 100 валов установлено среднее значение диаметра 50,02 мм, дисперсия – 0,01

В результате измерений 100 валов установлено среднее значение диаметра 50,02 мм, дисперсия – 0,01 мм2. С какой вероятностью можно утверждать, что среднее значение вала не отклонится от найденной величины больше, чем на 5%?

Формула расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины X имеет вид:
P(a<X<b)= Ф(b-Xσ )-Ф(a-Xσ ), (1)
где Ф(z) – нормированная функция Лапласа ,
a,b – границы интервала;
σ – среднее квадратическое отклонение
С учетом того, что отклонение от среднего значения Δ одинаково , функция Лапласа нечетна, то есть Ф(-z) = - Ф(z) , формулу (1) можно представить в следующем виде
P(a<X<b)= Ф(X+Δ-Xσ )-Ф(X-Δ-Xσ )=Ф(∆σ)-Ф(-∆σ)=
=Ф(∆σ)+ Ф(∆σ)=2·Ф(∆σ), (2)
По условию X=50,02мм ; Δ =0,05·50,02=2,501мм, тогда
a=X-∆ = 50,02-2,501=47,519мм
b=X+∆ = 50,02+2,501=52,521мм
Cреднее квадратическое отклонение σ рассчитывается по формуле:
σ=D, (2)
где D – дисперсия, D=0,01мм2
σ=D=0,01 =0,1 мм
P(47,519<X<52,521)=2·Ф(∆σ)=2·Ф(2,50,1 )=2·Ф(25,01)=2·0,5=1
Ответ: С вероятностью 100%.