В сечении x=x0∈(0;l) стержня, концы которого x=0 и x=l поддерживаются при постоянных температурах μ1

В сечении x=x0∈(0;l) стержня, концы которого x=0 и x=l поддерживаются при постоянных температурах μ1 и μ2 соответственно, действует источник тепла постоянной мощности Q0 столь долго, что в стержне устанавливается стационарный тепловой режим. В момент t=0 источник отключается.

Считая изотермические поверхности плоскими, температура будет функцией только одной пространственной координаты x∈[0,l], т.е. u=u(x,t).
Составим уравнение баланса энергии для элемента стержня отсекаемого плоскостями x и x+∆x. По закону Фурье поток энергии пропорционален градиенту температуры
q=-k grad u,
где k − коэффициент теплопроводности. Знак минус означает, что тепло распространяется противоположно градиенту температуры, т.е. из областей с большей температурой в область с меньшей температурой.
В одномерном случае через площадку S в сечении x за интервал времени ∆t в объем поступит количество тепла
Q1=-k∂ux,t∂xS∆t.
Аналогично, через площадку в сечении x+∆x поступает тепло
Q2=k∂ux+∆x ,t∂xS∆t.
Формулы для Q1 и Q2 отличаются знаками, потому что нормаль в сечении x+∆x совпадает с направлением оси x, а в сечении x противоположна.
Через боковую поверхность стержня тепло не поступает и при t>0 внутренних источников тепла в стержне нет

.
В результате этих потоков изменение энергии объема ∆V=S∆x за время ∆t равно
Q=cρ∂u∂tS∆x∆t,
где c − теплоемкость; ρ − плотность материала стержня.
Закон сохранения энергии
Q=Q1+Q2,
приводит к уравнению
cρ∂u∂tS∆x∆t=k∂ux+∆x ,t∂xS∆t-k∂ux,t∂xS∆t
Делим обе части равенства на cρS∆x∆t и осуществим предельный переход ∆x→0, получим
∂u∂t=kcρlim∆x→01∆x∂ux+∆x ,t∂x-∂ux,t∂x.
Следовательно, дифференциальное уравнение распространения тепла в стержне
∂u∂t=kcρ∂2ux,t∂x2.
Введем обозначение a2=k/cρ (коэффициент температуропроводности), тогда уравнение примет вид
∂u∂t=a2∂2ux,t∂x2.
(1)
По условию концы стержня x=0 и x=l поддерживаются при постоянных температурах μ1 и μ2, соответственно, поэтому имеем граничные условия
u0,t=μ1, ul,t=μ2.
(2)
Начальное условие имеет вид
ux,0=Ux, 0<x<l,
(3)
где Ux стационарное распределение температуры, которое установилось в стержне в результате действия источника мощности Q0 в сечении x=x0