В системе из двух массивных тел M1 и M2 существуют пять точек, называемых точками

В системе из двух массивных тел M1 и M2 существуют пять точек, называемых точками Лагранжа, в которых третье тело массы m≪M1,M2 может оставаться неподвижным относительно M1 и M2. Точка Лагранжа L2, расположенная на отрезке между Землёй и Солнцем (см. рис.), используется для размещения космических телескопов, наблюдающих за Вселенной. Найти расстояние r2 от L2 до Земли. Расстояние Земля-Солнце R=1.5∙108 км, отношение масс β=MС/MЗ∼3∙105.

В точке L2 на тело массы m действуют силы притяжения Солнца и Земли:
ma=FС+FЗ
Так как масса Солнца на 5 порядков превышает массу Земли, то считаем, что центр масс системы Земля-Солнце находится в центре Солнца. Там же и поместим начало координат.
Перепишем второй закон Ньютона в проекции на ось, соединяющую центр Солнца и Землю:
ma=GMСmR+r22+GMЗmr22
a=GMСR+r22+GMЗr22
a=GMСR21+r+R-2+GMЗr22
Предположим, что r1≪R и разложим 1+r1R-2∼1-2r1R . Получим:
a=GMСR21-2r2R+GMЗr22
a=GMСR2-2GMСr2R3+GMЗr22
Перепишем нормальное ускорение для тела через его угловую скорость вращения:
a=ω2R+r2
ω2R+r2=GMСR2-2GMСr2R3+GMЗr22
Учтем, что для Земли выполняется следующее:
MЗa=MЗω2R=GMСMЗR2→ω2R=GMСR2
r2ω2=-2GMСr2R3+GMЗr22
ω2r23R3=-2GMСr23+GMЗR3
r23ω2R3+2GMС=GMЗR3
r2=MGЗR3ω2R3+2GMС1/3
Используем равенство:
ω2R3=GMС
r1=RMЗ3MС1/3
r1=R13∙β1/3
Подставим числа:
r1=1.5∙1011∙13∙3∙1051/3=1.5∙109
Ответ: точка L2 находится от Земли на расстоянии r2=1.5 млн км.

. Получим:
a=GMСR21-2r2R+GMЗr22
a=GMСR2-2GMСr2R3+GMЗr22
Перепишем нормальное ускорение для тела через его угловую скорость вращения:
a=ω2R+r2
ω2R+r2=GMСR2-2GMСr2R3+GMЗr22
Учтем, что для Земли выполняется следующее:
MЗa=MЗω2R=GMСMЗR2→ω2R=GMСR2
r2ω2=-2GMСr2R3+GMЗr22
ω2r23R3=-2GMСr23+GMЗR3
r23ω2R3+2GMС=GMЗR3
r2=MGЗR3ω2R3+2GMС1/3
Используем равенство:
ω2R3=GMС
r1=RMЗ3MС1/3
r1=R13∙β1/3
Подставим числа:
r1=1.5∙1011∙13∙3∙1051/3=1.5∙109
Ответ: точка L2 находится от Земли на расстоянии r2=1.5 млн км.