В сфере радиуса R случайно и независимо друг от друга разбросано N точек. Чему

В сфере радиуса R случайно и независимо друг от друга разбросано N точек. Чему равна вероятность того, что расстояние от центра до ближайшей точки будет не меньше r? К чему стремится вероятность, найденная выше, если ?

Представим заданные области на графике:
Пусть событие Ai – расстояние от центра до i-ой точки будет не меньше r.
Согласно геометрическому определению вероятности, вероятность противоположного события (Āi – расстояние от центра до i-ой точки будет меньше r) соответствует попаданию точки в сферу радиуса r определяется отношением объема этой сферы к объему сферы радиуса R:
Таким образом, вероятность события Ai: .
Так как бросание каждой точки – событие независимое, вероятность попадания ближайшей точки за пределы сферы радиуса r (событие B) по закону умножения вероятностей:
Если или , тогда , получаем:
Ответ: , .