Восстанавливаемая система с экспоненциальным распределением времени жизни и времени восстановления имеет коэффициент готовности –

Восстанавливаемая система с экспоненциальным распределением времени жизни и времени восстановления имеет коэффициент готовности – Кг = 0.9. Определить вероятность застать систему в исправном состоянии в момент времени t = 50 ч, если среднее время безотказной работы системы – То = 500ч.

Вероятность застать восстанавливаемую систему в исправном состоянии в момент времени t (или функция готовности Pг (t) ) определяется по формуле:
Pг(t) = Kг+(1-Kг)∙e-tKгTВ , (1)
где Кг - коэффициент готовности системы, Кг =0,9;
t - заданный момент времени работы системы, t =50 ч;
ТВ - среднее время восстановления системы, ч
Для определения неизвестного значения среднего времени восстановления системы ТВ используем формулу расчета коэффициента готовности Кг :
Kг =TоTо+Tв , (2)
где ТО - среднее время безотказной работы системы , ч
ТВ - среднее время восстановления системы, ч
Преобразовав формулу (2) относительно ТВ , получим:
Kг (Tо+Tв)=Tо
Kг Tо+Kг Tв=Tо
Kг Tв=Tо-Kг Tо
Tв=Tо-Kг TоKг
Tв=Tо(1-Kг)Kг , (3)
Подставив в формулу (3) заданные значения Кг =0,9 и ТО =500ч, определим среднее время восстановления системы ТВ :
Tв=Tо(1-Kг)Kг =500∙(1-0,9)0,9 =55,6 ч
Приняв значение ТВ =56 ч, по формуле (1) определяем вероятность застать систему в исправном состоянии в момент времени t = 50 ч :
Pг(t=50) = Kг+(1-Kг)∙e-t KгTВ=0,9+(1-0,9)∙e-500,9∙55,6 =
=0,9+0,1∙e-1=0,9+0,1∙2,718-1=0,9+0,1∙12,718=0,9+0,1∙0,37=
=0,937
Ответ : Pг(t=50) =0,937