Вычислите поверхностный интеграл второго рода по поверхности S, где S – часть плоскости π,

Вычислите поверхностный интеграл второго рода по поверхности S, где S – часть плоскости π, отсеченная координатными плоскостями в направлении нормали, образующей острый угол с осью Oz. Sxdydz+x+zdxdz+y+zdxdy, π: 3x+3y+z=3

Представим данный поверхностный интеграл второго рода в виде суммы трех интегралов и, используя уравнение плоскости π, преобразуем каждый из них по области Dγ (γ=1, 2, 3).
I=Sxdydz+x+zdxdz+y+zdxdy=I1+I2+I3,
где
I1=Sxdydz, I2=Sx+zdxdz, I3=Sy+zdxdy.
Вычислим последовательно все интегралы . При этом учтем, что нормаль к плоскости π это вектор n=3, 3, 1, который образует острый угол со всеми осями координат.
Так как D1 – это треугольник OBC – проекция S на плоскость yOz, то x=1-y-z3 и
I1=Sxdydz=D11-y-z3dydz=01dy03-3y1-y-z3dz=
=01z-yz-z26 z=0z=3-3ydy=
=013-3y-y3-3y-3-3y26dy=0132y2-3y+32dy=
=y32-3y22+3y201=12-32+32=12.
Так как D2 – это треугольник OAC – проекция S на плоскость xOz, то
I2=Sx+zdxdz=D2x+zdxdz=01dx03-3xx+zdz=
=01xz+z22 z=0z=3-3xdx=01x3-3x+3-3x22dx=
=0132x2-6x+92dx=x32-3x2+9x201=12-3+92=2.
Так как D3 – это треугольник OAB – проекция S на плоскость xOy, тоz=3-3x-3y и
I3=Sy+zdxdy=D3y+3-3x-3ydxdy=D33-3x-2ydxdy=
=01dx01-x3-3x-2ydy=013y-3xy-y2 y=0y=1-xdx=
=0131-x-3x1-x-1-x2dx=012x2-4x+2dx=
=2x33-2x2+2x01=23-2+2=23.
Таким образом,
I=I1+I2+I3=12+2+23=196.
Ответ: 196.

. При этом учтем, что нормаль к плоскости π это вектор n=3, 3, 1, который образует острый угол со всеми осями координат.
Так как D1 – это треугольник OBC – проекция S на плоскость yOz, то x=1-y-z3 и
I1=Sxdydz=D11-y-z3dydz=01dy03-3y1-y-z3dz=
=01z-yz-z26 z=0z=3-3ydy=
=013-3y-y3-3y-3-3y26dy=0132y2-3y+32dy=
=y32-3y22+3y201=12-32+32=12.
Так как D2 – это треугольник OAC – проекция S на плоскость xOz, то
I2=Sx+zdxdz=D2x+zdxdz=01dx03-3xx+zdz=
=01xz+z22 z=0z=3-3xdx=01x3-3x+3-3x22dx=
=0132x2-6x+92dx=x32-3x2+9x201=12-3+92=2.
Так как D3 – это треугольник OAB – проекция S на плоскость xOy, тоz=3-3x-3y и
I3=Sy+zdxdy=D3y+3-3x-3ydxdy=D33-3x-2ydxdy=
=01dx01-x3-3x-2ydy=013y-3xy-y2 y=0y=1-xdx=
=0131-x-3x1-x-1-x2dx=012x2-4x+2dx=
=2x33-2x2+2x01=23-2+2=23.
Таким образом,
I=I1+I2+I3=12+2+23=196.
Ответ: 196.