Формирование математических способностей

        Введение

Наше Государство  и современное общество ставят множество  целей перед образованием, среди  которых огромное значение уделяется  развитию личности ребенка, его способностям. В Послании Президента РК Н.А. Назарбаева от 27 января 2012 года указывается о том, что образование должно давать не только знания, но и умение их использовать в процессе социальной адаптации [1].

 На создание необходимых  условий для получения качественного  образования, направленного на  формирование, развитие личности, ориентирует Закон Республики Казахстан «Об образовании» [2].

В концепции развития Республики Казахстан до 2015 года указывается  на то, что основная задача начального образования – обеспечение первоначального  становления личности ребенка, выявление  и развитие его способностей [3].

 Одна из  основных задач начального образования, как указано в учебной программе по математике, состоит в том, чтобы помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, включая, в том числе, и математические способности ребенка [4].

Проблеме исследования математических способностей посвящены  труды многих известных психологов и педагогов - Колмогорова А.Н. [5], Крутецкого В.А. [6], Калмыкова З.И. [7],  Лейтеса Н.С. [8], Колягина Ю.М. [9], Рыбникова К.А. [10].

Наиболее детально были изучены известным советским психологом В.А. Крутецким еще в середине прошлого века. В своих исследованиях он указал, что компоненты математических способностей в младшем школьном возрасте представлены лишь в своем зачаточном состоянии. Поэтому вопрос их развития наиболее остро встает именно в период младшего школьного возраста [6].

Анализ школьной практики также показал, что во внеклассной  работе, ориентированной на  углубление и расширение математических знаний, недостаточное внимание отводится  развитию математических способностей, что было подтверждено также опытным путем – высоким уровнем математических способностей обладает лишь пятая часть второклассников, низким уровнем обладает почти половина второклассников.

Отсюда следует  противоречие между необходимостью развития математических способностей и недостаточным уровнем развития математических способностей у второклассников на практике.

Это противоречие обусловило проблему исследования, которая  заключается в недостаточном  уровне развития математических способностей  второклассников, поэтому для решения этой проблемы мы обозначили  тему исследования: развитие математических способностей второклассников в процессе внеклассной работы по математике.

Цель  исследования: отбор и разработка заданий для развития математических способностей учащихся второго класса в процессе применения

различных форм внеклассной работы по математике.

Объект  исследования: процесс обучения математике учащихся второго класса.

Предмет  исследования: развитие математических способностей в процессе применения внеклассной работы по математике у учащихся второго класса.

Гипотеза  исследования: если в процессе внеклассной работы, в различных ее формах (кружковой, групповой, олимпиадной, зачетной, игровой, при организации математических вечеров и выпуске математической стенной газеты), использовать с учащимися логические задания, не только в готовом виде для выполнения, но и составленные, подобранные, нарисованные, созданные ими, то это будет способствовать развитию математических способностей, т.к. эти задания  ориентированы на развитие мыслительного процесса, оперирование  числовой и знаковой символикой, способности учащихся контролировать свою работу, планировать ход и этапы своего рассуждения.

Задачи  исследования:

1) охарактеризовать сущность понятия «математические способности», его составляющие и компоненты, а также сущность внеклассной работы и ее формы;

2) проанализировать  состояние практики развития  математических способностей младших  школьников в процессе внеклассной  работы;

3) обосновать выбор методики определения развития математических способностей второклассников;

4) разработать  планирование и содержание различных форм внеклассной работы для второклассников по развитию математических способностей;

5) установить  влияние разработанных и отобранных заданий на уровень математических способностей второклассников.

Методы  исследования: анализ психолого-педагогической, методической литературы, нормативно – правовых документов об образовании, базовых понятий, анкетирование, эксперимент, анализ продуктов деятельности учащихся.

Новизна  исследования заключается в отборе и разработке заданий для проведения различных форм внеклассной работы по математике (кружковой, групповой, олимпиадной, зачетной, игровой, математических вечеров и выпуску математической стенной газеты), направленных на развитие математических способностей второклассников, в создании методических рекомендаций по организации и проведению выпуска математической стенной газеты с учащимися второго класса.

Практическая  значимость исследования: разработанные и отобранные задания, а также разработки внеклассных занятий и методические рекомендации можно будет использовать учителям начальных классов в своей педагогической деятельности для развития математических способностей второклассников.

База  исследования:

- школа №7  г. Петропавловска, 2 «а» класс, 2 «б»  класс.

        1 Состояние теории и практики развития математических способностей второклассников и проведения внеклассной работы

         1.1 Сущность понятия «математические способности», его составляющие и компоненты

Современный этап развития образования в Казахстане, как пишут в своем исследовании Ведилина Е.А и Кененбаева М.А., характеризуется обновлением целей воспитания и обучения. Это связано с социальным законом общества, которому нужны знающие, самостоятельно мыслящие, творческие личности. Учащийся получил право на способное «я», трансформировавшись из объекта в субъект воспитания. Во главу угла ставится создание благоприятных условий для максимального раскрытия и развития его способностей [11, c. 4].

Также, в своей  статье Ведилина Е.А. и Кененбаева М.А. указывают, что проблема формирования и развития математических способностей детей - одна из наименее разработанных на сегодня методических проблем обучения математике в начальных классах [11, c. 5]. Такого же мнения придерживается Белошистая А.В., указывая, что крайняя разнородность взглядов на само понятие «математические способности» обуславливает отсутствие сколько-нибудь концептуально обоснованных методик, что в свою очередь порождает сложности в работе учителей. Именно поэтому не только среди родителей, но и среди учителей распространено почти фатальное отношение к математике в жизни ребенка: математические способности либо даны, либо не даны, и тут уж ничего не поделаешь! [12, c. 44]. Способности к тому или иному виду деятельности обусловлены индивидуальными различиями психики человека, в основе которых лежат генетические комбинации биологических (нейрофизиологических) компонентов. А.В. Белошистая дает следующее определение способностям «способности - сложное, интегральное, психическое образование, своеобразный синтез свойств, или компонентов личности» [12 c. 45].

Как показало исследование Кертановой Валерии Викторовны: «Общий закон образования способностей состоит в том, что они формируются в процессе овладения и выполнения тех видов деятельности, для которых они необходимы». Математические способности относятся к группе так называемых специальных способностей (как и музыкальные, изобразительные и другие). Для их проявления и развития необходимо усвоение определенного запаса знаний и наличие определенных умений, в том числе и умение, применять имеющиеся знания в мыслительной деятельности. «Математика, - говорит Кертанова В.В. - является одним из тех предметов, где индивидуальные особенности психики (внимание, восприятие, память, мышление, воображение) ребенка имеют решающее значение для его усвоения» [13].

Кенжебекова Р.И. в своем исследовании установила, что способности ребенка формируются посредством овладения тем содержанием материальной культуры, науки, искусства, техники, которые осваивает подрастающий человек в процессе обучения. Она считает, что исходной предпосылкой для развития способностей служат врожденные задатки, с которыми ребенок появляется на свет. Вместе с тем, биологически унаследованные свойства человека не определяют его способностей. Мозг заключает в себе лишь способность к формированию этих способностей [14, c. 5].

Кенжебекова Р.И. выделила следующие «условия, от которых зависит уровень развития математических способностей:

- от качества  знаний и умений (верные или  неверные, твердые и нетвердые), от  степени их объединения в единое  целое;

- от природных задатков человека, качества врожденных нервных механизмов элементарной психической деятельности;

- от большей или меньшей тренированности самих мозговых структур, участвующих в осуществлении познавательных и психомоторных процессов» [14, c. 6].

Пуанкаре А. пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает умение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению задачи. Кроме того, для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. По мнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловить порядок, в котором должны быть расположены элементы, необходимые для математического доказательства. Наличие интуиции такого рода - есть основной элемент математического творчества [15, c. 39].

Известный советский  психолог Венгер Л.А. относит к математическим способностям такие особенности умственной деятельности, как обобщение математических объектов, отношений и действий, то есть способность видеть общее в разных конкретных выражениях и задачах; способность мыслить “свернутыми”, крупными единицами и “экономно”, без лишней детализации; способность переключения с прямого на обратный ход мысли [16, c. 76].

Исследователи, занимавшиеся проблемой математических способностей, проблемой формирования и развития математического мышления (Колмогоров А.Н. [5], Крутецкий В.А. [6], Калмыков З.И. [7],  Лейтес Н.С. [8], Колягин Ю.М. [9], Рыбников К.А. [10]) отмечают, прежде всего, специфические особенности математически способного ребенка, в частности гибкость мышления, т.е. нетаблонность, неординарность, умение варьировать способы решения позновательной проблемы, легкость перехода от одного пути решения к другому, умение выходить за пределы привычного способа деятельности и умение находить новые способы решения проблемы при измененных условиях. Эти особенности напрямую зависят от особой организованности памяти, воображения и восприятия. Среди наиболее важных компонентов математических способностей данные исследователи выделяют: специфическая способность к обобщению математического материала, способность к пространственным представлениям, способность к отвлеченному мышлению. Некоторые исследователи (Волкова М.Г [17], Голубева Э.А. [18], Дружинин В.Н. [19], Шадриков В.Л. [20], Бине А. [21], Ефремоф Е.П. [22]) выделяют также в качестве самостоятельного компонента математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и способы подхода к ним. Одним из них является В.А. Крутецкий. Он так определяет математические способности: ”Под способностями к изучению математики мы понимаем индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие на прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики” [6, с. 41].

В своей работе мы, главным образом, будем опираться на исследования известного советского психолога Крутецкого В.А.

 Итак, Крутецкий В.А. различает девять способностей (компонентов математических способностей):

• «способность к формализации математического материала, к отделению формы от содержания, абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм и оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей;
• cпособность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от несущественного, видеть общее во внешне различном;
• cпособность к оперированию числовой и знаковой символикой;
• cпособность к “последовательному, правильно расчлененному логическому рассуждению”, связанному с потребностью в доказательствах, обосновании, выводах;
• cпособность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;
• cпособность к обратимости мыслительного процесса (к переходу с прямого на обратный ход мысли);
• гибкость мышления, способность к переключению от одной умственной операции к другой, свобода от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов;
• математическая память. Можно предположить, что ее характерные особенности также вытекают из особенностей математической науки, что это память на обобщения, формализованные структуры, логические схемы;
• способность к пространственным представлениям, которая прямым образом связана с наличием такой отрасли математики, как геометрия» [6, c. 56-57].

Таким образом, под способностями к изучению математики мы будем понимать индивидуально-психологические особенности, отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие при прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики.

Белошистая  А.В. выявила, что математические способности детей, как и другие стороны их личности, находятся в процессе становления и связаны с ходом возрастного развития. Возрастные особенности имеют самое непосредственное отношение к формированию способностей и индивидуальных различий по способностям. Очень важно, именно в связи с вопросом о способностях, не упускать из виду, что каждый детский возраст имеет свои особые, неповторимые достоинства [23, c. 12].

Михалева С.Г. отмечает, что в младшем школьном возрасте дети удивительно легко осваивают очень сложные умственные навыки и формы поведения. Дети этого возраста на короткое время могут быть замечательными собеседниками взрослого, активными и отзывчивыми. Возрастные особенности во многом представляют собой предпосылки способностей - они существеннейшим образом влияют на развитие, и сохранение таких особенностей в дальнейшем может быть очень ценным для личности [24, c. 136].

Перейдем теперь к рассмотрению собственно выраженности компонентов математических способностей в младшем школьном возрасте. Это  невозможно сделать без опоры  на структуру математических способностей в школьном возрасте. Схему таковой мы можем найти у В.А. Крутецкого. Он выводит такую общую схему структуры математических способностей в школьном возрасте:

«Получение математической информации:

А) Способность  к формализированному восприятию математического  материала, схватыванию формальной структуры задачи.

Переработка математической информации

А) Способность  к логическому мышлению в сфере  количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими  символами.

Б) Способность  к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.

В) Способность  к свертыванию процесса математического  рассуждения и системы соответствующих  действий. Способность мыслить свернутыми структурами.

Г) Гибкость мыслительных процессов  в математической деятельности.

Д) Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.

Е) Способность к быстрой  и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении).

Хранение математической информации

А) Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним).

Общий синтетический  компонент

А) Математическая направленность ума.

Выделенные  компоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей  совокупности единую систему, целостную  структуру, математический склад ума.

Кроме перечисленных, есть и такие компоненты, наличие которых в структуре математических способностей, хотя и полезно, не обязательно. Учителю, прежде чем относить ученика к числу способных или неспособных к математике, необходимо это учитывать» [6, c. 68-70].

Голиков А.И. в  своей работе, анализируя схему структуры математической деятельности младшего школьника вообще и возрастные особенности младшего школьника выявил выраженность компонентов математических способностей в младшем школьном возрасте. «К началу школьного обучения мы вряд ли можем говорить о сколько-нибудь выраженных математических способностях, исключая случаи особой одаренности. И это понятно, что по отношению к ребенку правильнее говорить не о самих способностях (больших или выдающихся), а об их предпосылках: далеко не у всех детей, привлекавших к себе внимание теми или иными признаками математической одаренности, сформируется подлинный талант, разовьются выдающиеся математические способности. Однако заметное развитие отдельных компонентов математических способностей в процессе школьного обучения и под влиянием его наблюдается от 2 к 4 классу». Таблица 1.1. [25, c. 35].

Таблица 1.1 –  Компоненты математических способностей и их выраженность в младшем школьном возрасте

        Рассматривая возрастную динамику развития структуры математических способностей, В.А. Крутецкий так охарактеризовал младший школьный возраст возраст: ”Понятие “математических способностей ” в известной степени условно в применении к младшим школьникам, и при исследовании компонентов математических способностей в этом возрасте речь обычно может идти лишь об элементарных формах этих компонентов. Но отдельные компоненты математических способностей формируются уже и в начальных классах. Однако это формирование не должно быть пущено на самотек. Математические способности в младшем школьном возрасте должны формироваться в результате целенаправленной деятельности учителя [6, с. 115].

Из всего  вышесказанного можем сделать вывод, что при наличии благоприятных задатков и при оптимальных условиях жизни и деятельности математические способности у ребенка могут формироваться очень рано и развиваться весьма быстро. Однако следует заметить, что отсутствие ранних достижений не свидетельствует об отсутствии способностей.

Таким образом, исследуя структуру способностей вообще и математических способностей в  частности, а также возрастные и  индивидуально характерологические  особенности детей младшего школьного  возраста, можем сделать следующие выводы:

В психологической и педагогической науке еще не выработано единого взгляда на проблему способностей, их структуры, происхождения и развития.

Если под  математическими способностями  подразумевать все индивидуально-психологические  особенности человека, способствующие успешному овладению математической деятельностью, то нужно вычленить такие группы способностей:

1. Самые общие способности (условия), необходимые для успешного осуществления любой деятельности:

• трудолюбие;

• настойчивость;
• работоспособность;
• хорошо развитые произвольная память и произвольное внимание, интерес и склонность заниматься данной деятельностью;
• общие элементы математических способностей - те общие особенности мыслительной деятельности, которые необходимы для очень широкого круга деятельности;
• специфические элементы математических способностей - особенности умственной деятельности, которые свойственны только математику, специфичные именно для математической деятельности в отличие от всех других.

Последние и  есть собственно математические способности.

2. Математические способности - это сложное, интегрированное образование, основными компонентами которого являются:

- способность к формализации математического материала;

- способность к обобщению математического материала;

- способность к логическому рассуждению;

- способность к обратимости мыслительного процесса;

- гибкость мышления;

- математическая память;

- стремление к экономии умственных сил.

Компоненты  математических способностей в младшем  школьном возрасте представлены лишь в своем “зародышевом” состоянии. Однако в процессе школьного обучения происходит заметное их развитие, младший же школьный возраст является наиболее плодотворным для этого развития.

• Существуют так же и природные предпосылки развития математических способностей, к коим надо отнести:
• высокий уровень общего интеллекта;
• преобладание вербального интеллекта над невербальным;
• высокая степень развития словесно-логических функций;
• сильный тип нервной системы;
• некоторые личностные особенности, такие как разумность, рассудительность, упорство, независимость, самостоятельность.

При разработке занятий по развитию математических способностей следует учитывать  не только возрастные и индивидуально  типологические особенности детей, но и соблюдать определенные условия, чтобы это развитие было максимально возможным:

- деятельность должна вызывать у ребенка сильные и устойчивые положительные эмоции;

-   деятельность должна быть по возможности творческой.

1.2 Теоретические особенности внеклассной работы по математике

Байрамукова П.У. в своем исследовании дает следующее определение «организационные занятия школьников во внеурочное время по математике по материалу, связанному с программой, основанные на принципе добровольности, называют внеклассными занятиями» [26, c. 21].

Гуленикина В. отмечает, что внеклассная работа по математике составляет неразрывную часть учебно-воспитательного процесса обучения математике, сложного процесса воздействия на сознание и поведение младших школьников, углубления и расширения их знаний и навыков [27, c. 23].

Всякая деятельность имеет свои цели. Альхова З.Н и  Макеева А.В. в своем исследовании выделяют следующие цели внеклассной  работы по математике:

1. «Повысить уровень математического развития детей и расширить их кругозор;
2. Развивать у школьников интерес к занятиям математикой;
3. Углубить представления учеников об использовании сведений из математики на практике;
4. Дать некоторые навыки самостоятельной работы;
5. Воспитывать у детей настойчивость, волю и упорство в достижении цели.

Поставленные  цели свидетельствуют о том, что внеклассные занятия повысят общую культуру детей и помогут успешному овладению программным материалом» [28, c. 68].

Байрамукова П.У. в своей диссертации установила, что развитие и воспитание математической инициативы способствует возникновению у человека интереса к математике, поднимает на более высокую ступень общее качество ума и воли. Обучение математики - это основное, но не единственное средство развития математической инициативы. Активно содействует математическому развитию и в не учебные средства (сюда можно отнести массовые популярные математические журналы, сборники математических развлечений, игр и занимательных задач, математические олимпиады школьного, городского и более высоких уровней, пропаганда математических знаний по телевидению), основным из которых является внеклассная работа по математике в школе [29, c. 34].

Болотина Л.Р. и Латышина Д.И. говорят «внеклассная работа потому так и называется, что, имея непосредственное отношение к работе классной, все же существенно отличается от нее». И выделяют основные особенности внеклассной работы, которые заключаются в следующем:

• «некоторая произвольность выбора тематики занятий, они не регламентированы по содержанию, но материал, предъявляемый детям, должен соответствовать наличным у них знаниям, умениям и навыкам.
• разнообразие форм и видов работы с учащимися.
• особый занимательный материал, широкое использование игровых форм и элементов соревнования.
• занятия не регламентированы по времени, на одну и ту же тему отводится сравнительно небольшое учебное время.
• занятия <span class="dash0411_0435_0437_0020_0438_043d_0442_0435_0440_0432_0430_043b_0