Гармониялық тербелістер мен олардың сипаттамалары

Мазмұны.

Кіріспе......................................................................................................................3

ТЕОРИЯЛЫҚ БӨЛІМ

§1. Гармониялық тербелістер  мен олардың сипаттамалары ........................5

§2. Механикалық  гармониялы  тербелістер...................................................8

§3. Гармониялық осцилятор.............................................................................9

§4. Тербеліс контурдағы еркін гармониялық  тербелістер...........................12

§5. Бірдей бағыттағы және бірдей жиілікті гармониялық тербелістердің қосылуы....................................................................................................15

§6. Өзара перпендикуляр  тербелістердің қосылуы......................................18

§7. Еркін өшуші тербелістер..........................................................................20

§8. Мәжбүрлік тербелістер.............................................................................24

§9. Мәжбүр тербеліс амплитудасы мен  фазасы...........................................28

§10. Актив кедергісі жоқ контурдағы еркін тербелістер.............................31

§11. Өшетін еркін тербелістер.......................................................................34

§12. Еріксіз электр тербелістер......................................................................38

§13. Өшпейтін тербелістері алу.....................................................................43

ПРАКТИКАЛЫҚ бөлім      

  Есеп шығару мысалдары.....................................................................................44     

 Жаттығулар...........................................................................................................47     

 Бақылау сұрақтары...............................................................................................50

Қорытынды...........................................................................................................53

Пайдаланған әдебиеттер тізімі...............................................................54

 

 

 

 

 

 

 

Кіріспе   

 Компъютерлік оқу  құралы деп білім берудің компьютерлік  технологиясын кеңінен пайдалануға  негізделген электрондық оқып-үйрену  қүралдарын айтады. Өз функционалдық  мүмкіндіктеріне қарай компьютер  қазіргі кезде оқытудың ең  керекті жабдығына айналды, бірақ оны тиімді түрде пайдалану жолдарының әлі ашылмаған тәсілдері, күнделікті сабақтарға қолдану үшін әлі де айқындалатын жақтары көп екенін ғалымдар да, мүғалімдер де жиі айтып келеді. Еліміздің үлттық ғылым академиясы да компьютер арқылы үздіксіз білім беру ісіне көңіл бөліп, көптеген педагогикалық тақырыптарда ғылыми жүмыс жүргізу ісін қаржыландырып келеді. Осы бағыттағы мәселелермен білім саласының мамандары алғашқы дербес пайдаланылатын компыотер шыққан кездерден бастап айналысып келеді, соңғы кездегі компьютерлердің көптеп қолданысқа енуі бұл проблеманың өте өзекті мәселеге айналғанын тағы да дәлелдеп отыр.   

 Оқу жүйесінде информациялық  технологияны жалпы қолданудың  маңызынан гөрі оны пайдалану  ісі білім беру жүйесіндегі  қойылған талаптарға қаншалықты жауап бере алатыны маңыздырақ болып табылады.   

 Компьютермен оқыту  әдісін жүзеге асыру жалпы  білім беру ісін жетілдіру  тәсілдерімен бірге сонымен тығыз  байланысты белгілі бір пәннің  өз ерекшеліктерін де есепке  алуды талап етеді. Мүнда бірнеше мәселені қатар шешугс тура келеді, олар:   

- компьютерді оқыту  ісінің қай жақтарын жетілдіру  үшін баса пайдалануға болатынын  анықтау;   

- оқу процесін компьютерлендірудің  қажетті деңгейін анықтау;   

- компьютерге жүктелетін  функциялар (іс-әрекетгер) тізбегін анықтау;   

- әр пән мүғалімдері  мен әдіскерлерінің талап-тілектеріне  сәйкес келетін компьютерлік  оқу құралын жасау;   

 Компьютерлік технологияны  қолдану кезінде оқу материалының  негізгі көлемі мүғалім емес, компьютер арқылы беріледі. Оқыту процесін жүргізіп отырған мүғалім көбінесе компьютерлік оқу қүралын жасауға қатыспайды. Сондықтан мұндай компьютер арқылы оқытуға арналған ақпараттық-оқу материалдарын жасауда оның авторы мен оқыту процесінің " алшақтығы" білім берудің негізігі принципі деп айтуға болады. Бүл принциптің негізінде берілген материалдарды оқып-үйрену процесі оның авторының кеңесі қажет етілмейтіндей болып ұйымдастырылуы жатады, яғни оқу құралы жаңа материал беріп қана қоймай, оны толық түсіндіре алатындай дәрежеде жасалуы тиіс. Оқу қүралын жасауға берілген техникалық тапсырмада осындай әдістемелік жағына баса көңіл аудару ісі алдын ала анықталады. Сонымен компьютер арқылы беруге арналған ақпараттық-оқыту және әдістемелік құралдар құрамына төмендегідей материалдар кіруі тиіс:   

 - таратылып берілетін оқу материалдары;    

- бақылау және тестен  өткізу материалдары;   

- жаттығулар;   

- сыныппен (топпен) немесе  жекелеп оқытуға және өздігінен  оқып-үйренуге арналған әдістемелер;    

- әрбір материалды  немесе олардьщ бірнешеуін қатарластыра иайдалану тәсілі, яғни оның стратегиясы мен тактикасы және оларды бір-бірімен алмастыру жолдары;    

- экраннан берілетін  барлық ақпараттық-оқу материалдарын  компьютердің мультимедиалық мүмкіндігіне  және сабақтарды сол арқылы  беру тәсілдеріне қарай бейімдеу.   

 Компьютерлік оқу  күралы жалпы оқу жүйесіне  қойылатын талаптарға сәйкес  жасалады, ал оның ақпараттык-әдістемелік  негзін жоғарыда айтылған материалдар  құрайды. Ол алдын ала жоба  бойынша анықталған компьютерлік  технология негізінде жасалған білм беру мәселелерін шешіп, оқыту-үйрету функциялары мен оқу процесін басқару істерін жүзеге асыруы тиіс.   

 Оқыту жүйссіне  арналған программалық жабдықтама  ретінде жасалатын компьютерлік  оқу қүралын даярлау көпжақты  мәселе болып саналады, оны жүзеге асыру үшін әр түрлі салаларда істейтін мамандарды пайдалана білу қажет. Төменде осындай жоғарыда айтылған талаптарға сай Электрондық оқулық жасалынды.

 

§1. Гармониялық тербелістер мен олардың сипаттамалары .        

 Уақыттың белгілі  бір қайталанумен сипатталатын қозғалыс немесе процестер тербелістер деп аталады. Тербелістік процестер табиғатпен техникада кең таралған, мысалы, сағат маятнигінің тербелісі, айнымалы электр тогы және т.б. маятниктің тербелістік қозғалысы кезіндегі оның массалық центірінің координатасы өзгереді, ол айнымалы ток кезінде тізбектегі кернеу мен ток тербеледі. Тербелістердің физикалық табиғаты әртүрлі, сондықтан тербеліс механикалық, электромагниттік және т.б. болып бөлінеді. Дегенмен әртүрлі тербелістік процестер бірдей сипаттамалар және бірдей теңдіктермен жазылады. Бұдан әртүрлі физикалық табиғатты тербелісті зерттеудің біріңғай әрекетінің мақсаткершілігі шығады. Мысалы, механикалық және электромагниттік тербелістерді зертеудің біріңғай әрекетін ағылшын физиктері Д.У. Релей (1842-1919),  А.Г. Столетолв пен орыс инженер – тәжірибешісі П.Н. Лебедев (1866-1912) қолданды. Тербеліс теориясының дамуына кеңес физигі Л.И. Мандельштам (1879-1944) мен оның шәкірттері қомақты үлес қосты.         

 Егер тербеліс тербелістік  жүйеге сыртқы әсерлердің кезекті болмаған кезіндегі алғашқы хабарлама энергия есебінен жасалатын болса, онда ол еркін (немесе өзіндік) деп аталады. Тербелістің қарапайым типі синус (косинус) заңы бойынша уақытпен тербеліс шамасы өзгеретін гармониялық тербелістер. Гармониялық тербелістерді екі себеп бойынаша қарастыру маңызды: 1) табиғат пен техникада кездесетін тербеліс гармониялық сипатқа жақын: 2) әртүрлі периодты процестер (бірдей уақыт аралығында қайталанатын процестер).  шамалы гармониялық тербеліс мына типті теңдікпен жазылады:

                                           (1.1)

мұндағы А – тербеліс амплитудасы деп аталатын шама тербелістің максималды мәні, w шеңберлік (циклдік) жиілік, j - t = 0 уақыт сәтіндегі  тербелістің бастапқы фызысы, (w₀t + j) – t уақыт сәтіндегі тербеліс фазасы «+1» – ден «– 1» – ге дейін косинус өзгерсе,  мәні «+А»  – дан «– А» – ға дейінгі шаманы қабылдайды.         

 Гармоникалық тербелістер  жасайтын жүйенің белгілі бір  күйі тербеліс фазасы 2p кеңею алатын, Т уақыт аралығында тербеліс периоды деп аталатын айналып жасайды; w₀ (t +Т) + j = (w₀ t + j) + 2p, мұндағы

Т = 2p/w₀                                                   (1.2)

Тербелістің кері период шамасы

n = 1/Т                                                      (1.3)

уақыт бірлігінде жасалатын толқын тербеліс саны тербеліс жиілігі деп аталады. (1.2) мен (1.3) салыстыра отырып w₀ = 2pn аламыз.         

 Жиілік бірлігі  – Герц (Гц): 1Гц – 1с ішіндегі процестің бір циклі жасайтын периодты процесс жиілігі. Бірінші және екінші туындыларды гармониялық тербеліс шамасының

   (1.4) 
 (1.5)

Сол циклдік жиіліктегі гармониялық тербелісті аламыз. (1.4) және (1.5) шамаларының амплитудалары  сәйкесінше Аw₀ мен  тең. (1.4) фазасының жылдамдығы (1.1) шамасының фазасынан p/2 – ге,  ал  (1.5) жеделдеу фазасы (1.1) шамасының фазасынан p - ге ерекшеленеді.  кезіндегі уақыт сәтінде үлкен мәнге жетеді,  максималды теріс мәнге жеткенде,   ең жоғары оң мәнге жетеді  (1 – сурет).         

(1.5) мәннен гармониялық  тербелістің дифференциялды теңдігі шығады:

                                             (1.6)

Бұл теңдік шешімі болып (1.1) мәні табылады.         

 Гармониялық тербеліс  графикалық  (сызбалы) түрде амплитуданың айналмалы векторының әдісімен немесе векторлық диограмма әдісімен кескінделеді. Бұл үшін тербелістің бастапқы фазасына тең,  j бұрышы х өсінде таңдалып алынған 0 нүктесінен модулді қарастырушы тербеліс амплитудасына А тең А векторына салынады (2 – сурет). Егер осы векторы w₀ бұрышының проекциясы х өсі бойынша орналасып, - А – дан + А – ға дейін мәндерді қабылдайды, ал тербелуші шама  заңы бойынша уақытпен өзгеретін болады. Осылайша, гармониялық тербелісті А амплитудасы векторының таңдалып алынған өсінің проекциясы түрінде алуға болады.         

 Физикада формасы  бойынша амплитуданың айнымалы векторы әдісінен ерекшеленетін басқа да тәсілдер жиі қолданылады. Бұл әдісте тербелуші шаманы кешенді сан көрсетеді. Эйлер формасына сай, кешенді сан үшін

                                     (1.7)

Сондықтан гармониялық  тербеліс теңдігін (1.1) экспоненциялды түрде жазуға болады:

                                           (1.8)

(1.8) теңдігінің заттың  бөлігі гармониялық тербеліс   түрінде болады. Заттық бөліктің  мәнін жібере отырып, (1.8) мына түрде жазамыз:

        

 Тербеліс теориясында  тербелуші  шамасы осы теңдіктің оң жағында тұрған кешенді мәннің заттық бөлігіне тең.

 

 

 

 

§2. Механикалық  гармониялы  тербелістер.        

 Материялдық нүкте  координат басы деп қабылданған  тепе – теңдік жағдайына жазық х координатасы өсі бойында тіксызықты гармониялық тербеліс жасайды делік. Сонда t уақытқа х координатасының тәуелділігі  болатын (1.1) теңдігіне аналогиялық ұқсас теңдікпен беріледі:

                                              (2.1)

(1.4) және (1.5) мәндеріне  сай, тербелуші нүкте жылдамдығы u мен жеделденуші µ сәйкесінше мынаған тең:

                       (2.2)

(2.1) және (2.2) есепті, m массалы тербелуші материялдық нүктеге әсер етуші  күші мынаған тең:

Күш тепе – теңдік жағдайының материялдық  нүктесінің орынбасуына пропорционалды және қарама – қарсы жаққа бағытталған (тепе – теңдік жағдайына).         

 Тіксызықты гармониялық  тербеліс жасайтын материялдық  нүктенің кинетикалық энергиясы  мынаған тең: 

                           (2.3)

немесе 

                            (2.4)

Серпімді   күшінің әсерінен гармониялық тербеліс жасайтын материялық нүктенің потенциялдық энергиясы мынаған тең:

                  (2.5)

немесе 

                             (2.6)

(2.3) пен (2.5) көбейте  отырып, толық энергия үшін мына  формуланы аламыз:

                                    (2.7)

Толық энергия тұрақты  болып, гармониялық тербеліс кезінде  серпімді күш консервативті болғандықтан, механикалық энергия сақталу заңы әділ болып табылады.         

(2.4) және (2.6) формулаларынан  гармониялық тербеліс жиілігін  екі есе жоғарылататын, 2w₀  жиілікпен Т  мен p  өзгереді.         

3 – суретте уақытқа х,Т және p тәуелдіктерінің графиктері келтірілген. Егер   болса, онда (2.3), (2.5) және (2.7) формулаларынан

. 

 

§3. Гармониялық осцилятор.        

 Серіппелі (пружиналы), физикалық және математикалық  маятниктер (1.6) теңдеуі түрінде жазылатын  тербелістерді жасаушы жүйе гармониялық  осцилятор деп аталады:

                                              (3.1)

Гармониялық осцилатор  тербелісі периодты қозғалыстың  маңызды мысалы болып табылады, классикалық  және квантты физиканың көптеген тапсырмаларының нақты немесе жуықтатылған модулі қызметін атқарады. Гармониялық осцилятор мысал ретінде шиыршық, физикалық және математикалық маятниктерді, тербеліс контурын алуға болады.

1.Серіппелі маятник   серпімді күш әсерінен гармониялық тербеліс жасап, аюсолютті серпімді серіппеде таратылған, т массалы жүк, мұндағы k – қатты серіппе жағдайындағы серпімділік коэффициенті.         

 Маятник қозғалысының теңдігі    немесе .

(3.1) және (1.1) мәндерден 

                                                (3.2)

Цикілді жиілікті және

                                                (3.3)

периодты   заңы бойынша гармониялық тербелісті серпімді маятниктің жасайтындығы шығады.

(3.3) формуласы Гук заңы орындалатын  шамадағы серпімді тербелістер  үшін әділ болып табылады.         

 Серіппелі маятниктің потенциялды  энергиясы (2.5) және (3.2) сай - ге тең.

2. Физикалық маятник – С денесі массасының ортасынан өтпейтін, қозғалмайтын көлденең өсі айналасында тербелісті ауырлық күші әсерінен жасайтын қатты дене (4 – сурет).         

 Егер маятник кейбір a бұрышының тепе теңдік жғдайынан ауытқитын болса, онда қатты дененің айнымалы қозғалысы динамикасының теңдігіне сай айнымалы күштің М күйін мына түрде жазуға болады:

                   (3.4)

мұндағы  нүктесі арқылы өтетін, өске салыстырмалы маятник  инерциясының күйі, l – маятник массасының ортасы мен көтерілу нүктесі аралығындағы қашықтық,  - оралушы күш (теріс белгісі  болып және барлық кезде қарама - қарсы). (3.4) теңдігін мына түрде жазуға болады:

   немесе 

                                            (3.5) 

Қабылдай отырып,  теңдігін (3.1) индетикалық түрде аламыз, мұндағы (1.1) шешімі беріледі:

                                         (3.6)

(3.6) мәннен кіші тербеліс  кезінде физикалық маятниктің w₀ (3.5) циклді жиілікті және

                               (3.7)

периодты гармониялық  тербеліс жасайды, мұндағы  физикалық  маятниктің келтірілген ұзындығы.         

 Келтірілген L ұзындығы қашықтығындағы көтерілу өсінен ОС түзу жалғаспасында жатқан О нүктесі физикалық маятниктің тербелу орталығы деп (201 – сурет) аталады. Штенер теориясын (16.1) қолдана отырып, , сондай – ақ 00¢ барлық кезде ОС үлкен. Көтерілу нүктесі О мен тербелу орталығы О¢ өзара алмасушылық қасиетке ие: егер бастапқы көтерілу өсінің 0 нүктесі тербелудің жаңа орталығы болып  табылып, физикалық маятниктің тербеліс периоды өзгермейді.

3. Математикалық маятник  – ауырлық күші әсерінен тербелетін т массалы материялдық нүктеден тұратын идеалданған жүйе. Математикалық маятниктің жақсы жуықтауы жұқа ұзын жіпке ілінген кішірек ауыр шар болып табылады.

Математикалық маятниктің инерциясының күйі:

                                               (3.8)

мұндағы l – маятниктің ұзындығы.         

 Математикалық маятникті  физикалық маятниктің жекелеген  жағдайы ретінде қарастыра отырып, оның бүкіл массасы бір нүктеде  – масса  орталығына шоғырланған деп ұйғарып, (3.8) мәнін (3.7) формуласына қоя отырып, математикалық маятниктің кіші тербеліс периоды үшін мәнді аламыз:

                                              (3.9)

(3.7) және (3.9) формулаларын  салыстыра отырып, егер физикалық  маятниктің келтірілген ұзындығы L математикалық маятник l ұзындығына тең болса, онда олардың тербеліс периодтарының бірдей болатындығын көреміз. Физикалық маятниктің келтірілген ұзындығы сол физикалық маятник тербеліс периодымен тербеліс периоды сай келетін осындай математикалық маятник ұзынығы.  

 

§4. Тербеліс контурдағы еркін гармониялық  тербелістер.        

 Әртүрлі электрлік  құбылыстар ішінде электрлік  шамалар (зарядтар, токтар) периодты  түрде өзгерісіз жүретін сондай  – ақ, электрлік және магниттік  өрістердің өзара айналуы жүзеге  асатын электромагниттік толқындар  ерекше маңызға ие. Электромагниттік тербелістерді қоздыру мен демеу үшін L индуктивті, С конденсатор сыйымдылықты және R кедергілі резисторлы бір – біріне тібектей жалғанған катушкалардан құралған тербелістік контур қолданылады. Кедергісі салыстырмалы түрде өте аз , идеалды контурдағы тербелістік процестің сатыларын қарастырайық. Контурда тербеліс туындату үшін конденсаторды алдын – ала зарядтайды. Сонда бастапқы уақыт сәтіндегі t = 0 (5a - сурет) конденсатор қабықшалары арасында  энергиялы электрлік өріс туындайды. Егер индукивтік катушкасы конденсаторын бітер болсақ, ол зарядтала бастайды да, контурда уақытпен өсуші ток І жүреді. Нәтижесінде электрлік өріс энергиясы азая отырып, катушканың магниттік өрісінің энергиясы (ол ге тең) өсетін болады.         

   болғандықтан, энергия сақталу заңына сай толық энергия  болып, ол қыздыруда шығындалмайды. Сондықтан конденсатор толығымен зарядталып, электрлік өріс энергиясын нөлге айналған  сәтінде магниттік өріс энергиясы (кейін, ток) ең жоғары мәнге жетеді (5,б – сурет).         

 Осы сәттен бастап контурдағы тоқ азая бастайды; орташа катушканың магниттік өрісі әсерінен, онда тоқ индуцирленеді. Конденсатор қайта зарядтала бастайды да, соңында нолге айналатын токты әлсіретуге ұмтылған электр өрісі туындайды, ал конденсатор қабықшаларындағы заряд максимум мәнге жетеді (5,в – сурет). Ары қарай осы процесс кері бағытта жүре бастайды да (5,г – сурет), уақыт   сәтінде   жүйе бірінші бастапқы жағдайға келеді (5,а – сурет). Бұдан кейін конденсатор зарядталуы мен разрядталуының қарастырылған циклінің қайталану басталады. Егер де энергия  жоғалуы болмаса, онда контурда периодты өшпейтін тербелістер жүзеге асып, катушка индуктивтілігі арқылы жүретін ток күші І мен конденсатордағы  кернеулігі конденсатор қабықшасындағы заряд периодты түрде өзгерер еді (тербелер еді). Артынша, контурда электрлік тербелістер туындап, электрлік және магниттік өрістер энергияларының айналуымен тербеліс жүзеге асады.         

 Тербелістік контурдағы  электрлік тербелісті маятниктің  потенциялдық және механикалық  энергияларының өзара айналуларымен жүретін маятниктің механикалық тербелісімен салыстыруға болады. Бұл жағдайдағы конденсатордың электрлік өрісінің энергиясы  серпімді соқынның потенциялды энергиясын  катушканың магниттік өрісінің энергиясы  кинетикалық энергияға , контурдағы ток күші маятник қозғалысының жылдамдығына ұқсас аналогты. Индуктивтілік L массада m, ал контур кедергісі – маятникке әсер ететін үйкеліс күшінің рольін ойнайды.         

 Ом заңына сай, R кедергілі резистор мен С сыйымдылықты конденсаторлы, L индуктив катушкалы контур үшін:

мұндағы IR – резистордағы кернеу,  конденсаторындағы кернеу;  айнымалы токтың өтуі кезіндегі катушкада туындайтын өзіндік индукция кезінде катушкада туындайтын өзіндік индукция э.қ.к. (e - контурдағы жалғыз э.қ.к.).  Артынша

                                            (4.1)

(4.1) – ді L – ге бөле отырып, I = Q және  қойып контурдағы  тербелісі зарядының дифференциялды теңдеуін аламыз:

                                           (4.2)        

 Бұл тербелістік  контурдағы сыртқы э.қ.к. болмайды. Сондықтан қарастырылушы тербеліс еркін тербеліс (§1 қара) түрінде болады. Егер кедергі  болса, онда контурдағы еркін электромагниттік тербеліс гармониялы болады. Сонда (4.2) – ден контурдағы зарядтың еркін гармониялық  тербелісінің дифференциялды теңдеуін аламыз:

(3.1) мен (1.1) мәндерден   зарядының

                                        (4.3)

заңы бойынша гармониялық  тербеліс жасайтындығы шығады, мұндағы   - контурдың өзіндік жиілігі деп аталатын w₀ циклді жиілікті конденцатор зарядының тербеліс амплитудасы, сондай – ақ

                                           (4.4)

және периоды 

                                          (4.5)        

(4.5) формуласын алғаш  рет Х. Томсон алғандықтан,  ол Томсон формуласы деп аталады.          

 Тербелуші контурдағы  ток күші (1.4 қара)

                (4.6)

мұндағы  - ток күшінің аплитудасы.         

(3.3) және (4.6) мәндерден   - де  зарядының  тербеліс фазасы бойынша тоқ тербелісінің І басып озатындығы шығады.  

 

§5. Бірдей бағыттағы және бірдей жиілікті гармониялық тербелістердің қосылуы. Соғу.        

 Тербелуші дене  бірнеше тербелістік процестерге  қатысуы мүмкін, сонда нәтижелеуші  тербелісті табу керек, басқаша  айтсақ, тербелістерді қосу қажет.  Бірдей бағытты және бірдей жиілікті гармониялық тербелістерді қосайық:

ол үшін амплитуданың айнымалы векторының әдістерін қолданамыз (§1 қара). Осы тербелістердің векторлық  диаграммаларын тұрғызайық (6 – сурет). А₁ және А₂ векторлары бірдей бұрыштық жылдамдықпен w₀ айналады, ал олардың арасындағы фазалар айырмасы (j₂ - j₁) тұрақты болып қалады.         

 Нәтижелеуші тербеліс  теңдігі мынадай болады:

                                      (5.1)        

(5.1) мәндердегі А амплитудасы мен j бастапқы фазасы сәйкесінше мына қатынастармен беріледі:

                              (5.2)

Осылайша, бірдей бағытты  және бірдей жиілікті екі гармониялық  тербеліске қатысқан дене сондай бағытты және сондай жиілікті гармониялық тербеліс жасайды. Нәтжелеуші тербеліс амплитудасы тербеліске кіретін фазалар айырмасына (j₂ - j₁) тәуелді.         

 Фазалар айырмасына (j₂ - j₁) тәуелділіктегі (5.2) мәнін талдайық:

1)     j₂ - j₁ = ± 2mp (m = 0,1,2…..), сонда  А = А₁ + А₂, нәтижелеуші  тербеліс амплитудасы А тербеліске қосылатын амплитудалар жиынтығына тең:

2)     j₂ - j₁ = ± (2m+1)p    (m = 0,1,2 ......), сонда А = ½А₁ – А₂½,  нәтижелеуші тербеліс амплитудасы тербеліске қосылатын амплитудалар айырмасына тең.

Іс – тәжірибе үшін бірдей бағытты екі қосылма гармоникалық тербелістің жиіліктері бойынша  аз ерекшеленетін жағдайы ерекше қызығушылық тудырады. Осы тербелістерді қосу нәтижесінде амплитудалары периодты түрде өзгеретін тербелістер алынады. Жақын жиілікті екі гармониялық тербелістерді қосу кезінде туындайтын тербеліс амплитудаларының периодты өзгерісі соғу деп аталады.         

 Тербеліс жасаушы  амплитудалар А – ға ал жиіліктер w және w+Dw - ға тең болса,, онда Dw << w. Есептеу басында екі тербелістің бастапқы фазаларын нөлге тең деп аламыз:

Осы мәндерді жинақтай және есептей отырып, екінші көбейткіште Dw/2 << w мынаны табамыз:

                                      (5.3)

Алынған мән екі тербеліс туындысы болып табылады. Dw << w болса, онда жақшада тұрған көбейткіш мүлдем өзгермейді. Сондықтан нәтижелеуші тербелісті х А_б амплитудасы келесі периодты заңымен:

                                          (5.4)

өзгеретін w жиілікті гармониялық тербеліс деп қарастыруға болады.         

 Өзгеру жиілігі А_б косинустың өзгеру жиілігінен екі есе үлкен, соғу (соғыс) жиілігі тербеліске қосылатын жиілік айырмасына тең: w_б = Dw. Соғу (соғыс) периоды: Т_с = 2p/Dw.

Тәуелділік сипаты (5.3) 7 – суретте көрсетілген, мұндағы  тұтас (қалың) жуан сызықтар нәтижелеуші  тербеліс графигін (5.3), ал ирек сызықтар – амплитуданың (5.4) теңдігі бойынша  баяу өзгеретін графикті береді.         

 Соғу тоны жиілігін (белгілі бір биіктіктегі үн ) этолонды өлшенетін шамамен салыстырғанда іс – тәжірибеде кеңінен қолданылатын әдіс. Соғу әдісі музикалық аспаптарды, есту қабілетін реттеу үшін қолданылады.         

 Кез – келген  күрделі периодты тербеліс s = ¦ (t) бастапқы фазалы, сондай – ақ қысқа циклді жиіліктегі w₀:

       (5.5)

әртүрлі амплитудалы  әртүрлі гармониялық тербелістерді  бірмезгілде жасайтын суперпозиция түрінде болады.         

 Периодты функция  ұстанымы (5.5) түрінде күрделі периодтық тербелісті гармониялық талдау немесе Фурье ыдырауы түсінігімен байланысады. w₀, 2w₀, 3w₀, ....., жиілікті гармониялық тербелістерді анықтаушы Фурье қатарының мүшелері күрделі периодтық тербелістің бірінші (немесе негізгі), екінші, үшінші және т.б. гармоникалары деп аталады.

 

 

 

 

§6. Өзара перпендикуляр тербелістердің қосылуы. w екі бірдей жиілік

Гармоникалық тербелістердің қосылысуының нәтижелерін қарастырайық. Бұл қосылу х және у өстері бойындағы өзара перпендикуляр (көлденең) бағыттар бойынша жүреді. Есептеуді бастаудың қарапайымдығылығы үшін бірінші тербелістің алғашқы фазасы нөлге тең болатындай етіп таңдап аламыз:

                                      (6.1)

Екі тербеліс фазаларының  айырмасы тербеліске қосылатын амплитудалар А және В, j  тең.         

 Нәтижелеуші  тербеліс траекториясының теңдігі t параматрінің (6.1) мәнінен шектемесінде орналасады. Қосылушы тербелістерді мына түрде жазамыз:           x/A=coswt; y/B=cos(wt+j)=coswtcosj - sin wt sin j

және екінші теңдіктегі coswt – ны х/А – ға ал, sin wt – ны  алмастыра отырып, өрістері координата өстеріне салыстырмалы бағытталған эллипс  теңдігін аламыз:                               (6.2)        

 Нәтижелеуші тербеліс  траекториясы эллипс формасына  ие болады, ал мұндай тербеліс  эллипсті поляризацияланған деп аталады. Эллипс өсінің бағытталуы мен оның өлшеуі қосылушы тербеліс амплитудасы мен фазалар айырмасына j тәуелді. Физикалық қызығушылыққа ие кейбір жекелеген жағдайларды қарастырайық:

1) j = mp (m = 0, ± 1, ± 2, ….). Бұл жағдайда эллипс қосу белгісі нөл мен жұп мәнге т сай келеді (8,а – сурет) ал теріс таңба тақ мәнге т сай келеді (8,б – сурет). Нәтижелуші тербеліс – х өсімен  бұрышын құраушы, түзу бойымен (6.3) жүзеге асатын, w жиілікті және  амплитуданы гармониялы тербеліс болып табылады. Бұл жағдайда сызықты поляризацияланған тербеліспен жұмыс жасаймыз.