Классические задачи на построение, не разрешимые с помощью циркуля и линейки

Министерство образования и  науки Российской Федерации 

Государственное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования

Тульский государственный педагогический университет

имени Л. Н. Толстого

 

кафедра алгебры, математического  анализа и геометрии

 

 

 

 

 

ВЫПУСКНАЯ   КВАЛИФИКАЦИОННАЯ   РАБОТА

 на тему:

 

 

 

КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ, НЕ РАЗРЕШИМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ

 

 

Выполнена: студенткой 5 курса

заочной  формы обучения

факультета  математики, физики и

информатики

Антиповой Татьяной Александровной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тула – 2010

 

 

 

Содержание.

Введение.                                                                                                                    3

Глава 1.  Элементы конструктивной геометрии.                                                   6

1. 1. Задача на построение.                                                                                       6

1. 2. Элементарные геометрические  задачи на построение.                                   9

Глава 2.  Алгебраический метод.                                                                             15

2.1. Построение отрезков, заданных  простейшими формулами.                          15

2.2. Построение корней  квадратных уравнений.                                                    18

2.3. Разрешимость алгебраического  уравнения в радикалах.                               20

Глава 3. Классические задачи древности.                                                               30

3.1. Задача об удвоении  куба.                                                                                   30

3.1.1. Решение, приписываемое  Платону.                                                               30

3.1.2. Решения Диокла, Паппа и Спора.                                                                  31

3.1.3. Решение Виета.                                                                                                33

3.1.4. Приближенный способ решения  задачи об удвоении куба.                        34

3.2. Трисекция угла.                                                                                                   34

3.2.1. Решение с помощью «вставок».                                                                     35

3.2.2. Решение Архимеда.                                                                                         35

3.2.3. Решение с помощью квадратрисы  Динострата.                                           36

3.2.4. Приближенные решения  задачи о трисекции угла.                                     39

3.3. Квадратура круга.                                                                                               40

3.3.1. Решение с помощью  квадратрисы Динострата.                                           41

3.3.2. Приближенное решение  задачи с использованием треугольника Бинга.  42

Литература.                                                                                                                 43

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Геометрические построения привлекли внимание древнегреческих  математиков ещё вVI – V вв. до нашей эры. Ими занимались почти все крупные греческие геометры: Пифагор (VIв. до н. э.) и его ученики, Гиппократ (V в. до н. э.), Евклид, Архимед, Аполлоний (III в. до н. э.), Папп (III в. н. э.) и многие другие.

Математики из школы  Пифагора уже сумели справиться с такой сравнительно сложной задачей, как построение правильного пятиугольника. В V в до н. э. возникли знаменитые классические задачи о квадратуре круга, об удвоении куба, о трисекции угла. Эти задачи, как оказалось впоследствии, не разрешимы с помощью циркуля и линейки, в течение многих веков вызывали живейший интерес различных исследователей. В IV в. до н. э. греческие мыслители разработали ту общую схему решения геометрической задачи на построение (анализ – построение – доказательство – исследование), которой мы пользуемся и поныне.

Вся история геометрии  и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием  теории геометрических построений. Важнейшие  аксиомы геометрии, сформулированные основоположником научной геометрической системы Евклидом около 300 г. до н. э. ясно показывают, какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию», «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать», Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг» -- эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних.

Древнегреческие математики считали «истинно геометрическим»  лишь построения, производимые циркулем и линейкой, не признавая «законным» использование других средств для решения конструктивных задач. При этом, в соответствии с постулатами Евклида, они рассматривали линейку как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности любых размеров. Эта традиция до сих пор сказывается в школьном курсе геометрии. С другой стороны, именно греки первые стали привлекать для геометрических построений другие средства, отличные от циркуля и линейки. Так, например, Платон около 400 г. до н. э. решал задачу об удвоении куб с помощью двух прямых углов. Архимед дал решение задачи о трисекции угла с помощью линейки с двумя пометками. Ту же задачу решали с помощью различных кривых Никомед (с помощью конхоиды), Диолекс (с помощью циссоиды), Папп и другие.

Много внимания уделяли  конструктивным задачам творцы современной  математики: Декарт, Ферма, Ньютон, Паскаль, Эйлер Гаусс и др. Так, например, Декарт и Ньютон решали задачу о трисекции угла с помощью конических сечений.

Многовековые неудачные попытки решить классические задачи о квадратуре круга, об удвоении куба, о трисекции угла навели на мысль, что эти задачи вовсе не разрешимы циркулем и линейкой (такое предположение относительно задачи о квадратуре круга высказал ещё в XV в. Леонардо да Винчи). В связи с этим возникла необходимость выяснить, какие задачи разрешимы циркулем и линейкой. Этот вопрос оказался тесно связанным с алгебраической проблемой разрешимости уравнений в радикалах. Замечательные исследования, проведенные в этой области К. Гауссом (1777 – 1855), позволили ему в 1796 г. полностью решить одну из наиболее трудных проблем конструктивной геометрии: каким должно быть натуральное число п, Чтобы правильный п-угольник можно было построить циркулем и линейкой? Задача о квадратуре круга привела к глубоким исследованиям в области теории чисел, связанным с изучением свойств числа . Эти исследования, которые были закончены лишь во второй половине XIX в., позволили доказать, что задача о квадратуре круга не разрешима циркулем и линейкой.

Большой практический интерес  представляют приближенные способы  решения геометрических задач на построение. Часто оказывается, что  приближенный способ решения с точки зрения чертежной практики значительнее выгоднее и проще теоретически точного способа построения. В течение многовековой истории конструктивной геометрии были даны многие интересные способы решения знаменитых классических задач, а также и многих других задач. Еще Архимед дал приближенный способ построения правильного семиугольника; из его исследований можно вывести приближенный способ решения задачи о квадратуре круга. Приближенные методы геометрических построений составляют в настоящее время важную часть теории геометрических построений.

В настоящее время  теория геометрических построений представляет обширную и глубоко развитую область математики, связанную с решением разнообразных принципиальных вопросов, уходящих в другие ветви математики.

Изложение многих геометрических вопросов опирается на геометрические построения. Это особенно характерно для «доказательств существования»: существование центра окружности, вписанной в треугольник, существование подобных треугольников, существование параллельных прямых и др. доказывается с помощью построений.

Основные этапы решения  геометрической задачи на построение характерны для плана решения любой содержательной математической задачи: анализ, синтез доказательство и исследование являются его необходимыми элементами.

Теория геометрических построений составляет теоретическую  основу практической графики: многие чертежные приемы опираются на решения геометрических задач на построение.

Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса  геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.

Глава 1. Элементы конструктивной геометрии.

1. 1. Задача  на построение.

Задача на построение состоит в том, что требуется построить наперёд указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

Каждая фигура, удовлетворяющая  условиям задачи, называется решением этой задачи.

Найти решение задачи на построение – значит, свести её к  конечному числу основных построений, т. е. указать конечную последовательность основных построений, после выполнения, которых искомая фигура будет  уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии. Перечень допустимых основных построений, а, следовательно, и ход решения задачи, существенно зависит от того, какие именно инструменты употребляются для построений.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу: построить середину отрезка, заданного своими концами A и B.

Найдем решение этой задачи с помощью различных инструментов.

1. Циркулем и линейкой (рис. 1).

Строим последовательно:

1. прямую AB;
2. окружность ω₁ (A, AB);
3. окружность ω₂ (B, BA);
4. общие точки M и N окружностей ω₁ и ω_2;
5. прямую MN.

2. Циркулем (рис. 2)

                             

 

Рис. 1.                                                                            Рис.2.

1. окружность ω (B, BA);
2. окружность ω₁ (A, AB);
3. общую точку C окружностей ω₁ и ω;
4. окружность ω₂ (C, CA);
5. общую точку D окружностей ω и ω₂, отличную от точки A;
6. окружность ω₃ (D, DB);
7. общую точку E окружностей ω и ω₃, отличную от C.

Заметим, что точки A, B и E расположены на одной прямой, причём AE=2AB. Строим далее:

8. окружность ω₄ (E, EA);
9. общие точки М и N окружностей ω₁ и ω₄;
10. окружность ω₅ (M, MA);
11. окружность ω₆ (N, NA);
12. общую точку X окружностей ω₅ и ω₆, отличную от A.

Нетрудно усмотреть, что  точка X расположена на прямой AB.

Кроме того, треугольник AMX подобен треугольнику AEM, так как они равнобедренные и имеют общий угол MAE при основаниях. Поэтому AX:AM=AM:AE или AX:AB=AB:2AB, так что AX=1/2AB и, значит, точка X искомая.

1. Двусторонней линейкой (рис. 3).

Строим последовательно:

1. прямую AB;
2. прямую a, параллельную AB и проходящую на расстоянии h от неё (h – ширина линейки);
3. прямую b, параллельную a, отстоящую от неё на расстоянии h и отличную от прямой AB;
4. точку C на прямой b;
5. прямые AC и BC;
6. точки DºaÇAC и EºaÇBC;
7. прямые AE и BD;
8. точку PºAEÇBD;
9. прямую CP;
10. точку XºCPÇAB.

                 

   Рис.3.                                                              Рис. 4.

Так как DE – средняя линия треугольника ACB, то AE и BD – его медианы, а, следовательно, и CP – медиана, так что точка X искомая.

2. Прямым углом (рис. 4).

1. Строим прямую AB;
2. Проводим прямые AA¢ и BB¢, перпендикулярные прямой AB;
3. Выбираем на AA¢ произвольную точку C, отличную от A;
4. Через точку C проводим CC¢^AC.

Далее строим последовательно:

5. точку DºCC¢ÇBB¢;
6. прямые AD и BC;
7. точку PºADÇBC;
8. прямую PP¢^AB;
9. точку XºPP¢ÇAB.

Точка X искомая.

Может оказаться, что  какая-либо задача на построение имеет  несколько различных решений, т. е. существует несколько различных  фигур, удовлетворяющих всем условиям задачи. Так, например, к двум данным внешнерасположенным окружностям можно провести, как известно, четыре различные общие касательные.

Решить задачу на построение – значит, найти все её решения.

Встречаются задачи, имеющие  бесконечно много решений. Таковы, например, задачи: построить окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой; построить прямую, касательную к данной окружности; построить окружность, проходящую через две данные точки. Такого рода задачи называют неопределёнными.

Иногда задача не имеет  решений потому, что на искомую фигуру наложено слишком много условий. Например, нельзя построить окружность, проходящую через четыре заданные точки, или построить треугольник, зная три его стороны и один из углов. Задачи такого рода называются переопределёнными.

 

1. 2. Элементарные  геометрические задачи на построение.

Примеры геометрических построений показывают, что непосредственное расчленение решения на основные построения даже в простейших задачах  приводит к большому числу логических «шагов». В случае сколько-нибудь сложных задач это может привести к тому, что за общей логической структурой решения уследить будет трудно. Поэтому в практике решения геометрических задач на построение поступают несколько иначе.

Если найдено решение  какой-либо задачи, то в дальнейшем разрешается пользоваться этим решением «в целом», т. е. не расчленяя его на основные построения.

Существует ряд простейших геометрических задач на построение, которые особенно часто входят в  качестве составных частей в решение  более сложных задач. Задачи такого рода рассматриваются преимущественно в первых главах школьного курса геометрии. Будем называть их элементарными геометрическими задачами на построение. Список элементарных задач является, конечно, условным. К числу элементарных задач относят обычно следующие:

1. Деление данного отрезка пополам.
2. Деление данного угла пополам.
3. Построение на данной прямой отрезка, равного данному.
4. Построение угла, равного данному.
5. Построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой.
6. Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной прямой.
7. Деление отрезка в данном отношении.
8. Построение треугольника по трём данным сторонам.
9. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам.
10. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
11. Построение прямой, проходящей через данную точку и касающейся данной окружности.
12. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.

 

 

1. 3. Методика  решения геометрической задачи на построение.

Вопрос о выборе той  или иной схемы решения конструктивной задачи является чисто методическим вопросом.

Решение геометрической задачи на построение является вполне доброкачественным, если оно проведено, например, по следующей схеме:

1. Устанавливается конечное число случаев, исчерпывающих все возможности в выборе данных.
2. Для каждого случая даётся ответ на вопрос, имеет ли задача решения и сколько.
3. Для каждого случая, когда задача имеет решение, даётся способ нахождения каждого из возможных решений или устанавливается, что оно не может быть получено данными средствами.

При решении каждой сколько-нибудь сложной задачи на построение возникает  вопрос о том, как нужно рассуждать, чтобы разыскать способ решения  задачи, чтобы получить все решения  задачи, чтобы выяснить условия возможности  решения задачи и т. п. Поэтому, при решении конструктивных задач в учебных условиях рекомендуется пользоваться известной схемой решения, состоящей из следующих четырёх этапов: 1) анализ; 2) построение; 3) доказательство; 4) исследование.

1. Анализ. Это подготовительный и в то же время наиболее важный этап решения задачи на построение, т. к. именно он даёт ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру. Это достигается с помощью построения чертежа-наброска, изображающего данные и искомые примерно в том расположении, как это требуется условием задачи. Этот чертёж можно выполнять «от руки». Иногда построение вспомогательного чертежа сопровождают словами: «предположим, что задача уже решена».

На вспомогательном  чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые  элементы. Практически часто удобнее  начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а  с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанных в условии задачи.

Если вспомогательный  чертёж не подсказывает непосредственного  способа построения искомой фигуры. В более общем случае рассуждение  ведётся следующим образом. Подмечают, что построение искомой фигуры Ф сводится к построению некоторой другой фигуры Ф₁. Затем подмечают, что построение фигуры Ф₁ сводится к построению фигуры Ф₂ и т. д. После конечного числа шагов можно прийти к некоторой фигуре Ф_n, построение которой уже известно.

Полезно учесть следующие  частные замечания, помогающие при  проведении анализа.

1. Если на вспомогательном чертеже не удаётся непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертёж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т. д. Иногда бывает полезно проводить параллели и перпендикуляры к уже имеющимся прямым.
2. Если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует изобразить на вспомогательном чертеже, если их ещё на нём нет.
3. В процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и ранее решённые задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, сходные с теми, о которых говорится в условии рассматриваемой задачи.
4. Проводя анализ на основании изучения некоторого чертежа-наброска, мы невольно связываем свои рассуждения в известной мере с этим чертежом. Чтобы получаемый нами способ решения был пригоден для возможно более широкого выбора данных, желательно изображать искомую фигуру в возможно более общем виде. Например, искомый треугольник, если в условии задачи нет специального указания о его форме, надо изображать как разносторонний, четырёхугольник – как неправильный и т. п. чем более общий случай будет разобран при анализе, тем проще будет провести в дальнейшем полное решение задачи.
2. Построение. Данный этап исследования состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений (или ранее решённых задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена.

Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого  его шага с помощью инструментов, принятых для построения.

В качестве примера обратимся к задаче о построении окружности, вписанной в данный треугольник ABC. Для построения искомой окружности нужно последовательно построить (см. рис. 5):

                     

        Рис. 5.                                                                     Рис.6.

1. биссектрисы каких-либо двух внутренних углов данного треугольника;
2. точку их пересечения O;
3. прямую, проходящую через точку О перпендикулярно прямой AB;
4. основание М проведённого перпендикуляра;
5. окружность (О, ОМ).
3. Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.

Чтобы провести доказательство правильности приведённого выше построения окружности, вписанной в данной треугольник, надо установить, что построенная нами окружность (О, ОМ) действительно коснётся всех сторон треугольника АВС. Для этого прежде всего заметим, что прямая АВ касается проведённой окружности, т. к. эта прямая перпендикулярна к радиусу ОМ. Вместе с этим ясно, что радиус окружности равен расстоянию её центра от стороны АВ данного треугольника АВС. Далее замечаем, что центр окружности О одинаково удалён от всех сторон треугольника, т. к. лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Следовательно, расстояние центра окружности от стороны АС или стороны ВС также равно радиусу построенной окружности, так что если провести через О перпендикуляры к сторонам к сторонам треугольника АС и ВС, то основания этих перпендикуляров (точки N и P на рис. 6) располагается на той же окружности. Таким образом, каждая из прямых АС и ВС перпендикулярна к соответствующему радиусу в конце его, лежащем на окружности, и поэтому каждая из этих прямых касается построенной окружности.

Доказательство обычно проводится в предположении, что каждый шаг  построения действительно может  быть выполнен.

4. Исследование. При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причём предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно ещё выяснить следующие вопросы: 1) всегда ли (т. е. при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом; 2) можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить; 3) сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных. Рассмотрение всех этих вопросов и составляет исследование. Таким образом, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений.

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Алгебраический метод.

2.1. Построение  отрезков, заданных простейшими  формулами.

В школьном курсе геометрии  даются способы для построения циркулем и линейкой отрезков, заданных простейшими  формулами.

x=a+b. Построение ясно из рисунка 7.

x=a-b. Построение на рисунке 8.

x=na, где n – натуральное число. Сводится к построению 1. На рисунке 9 построен отрезок x такой, что x=6a

 

Рис. 7.

Рис.8.

 

Рис. 9.

Строим луч, выходящий  из какого-либо конца О данного отрезка a под произвольным углом к нему. Откладываем на этом луче n произвольный отрезок b, так что OB=nb (рис. 10). Соединяем точку B со вторым концом A отрезка a.Через точку B₁, определяемую условием OB₁=b, проводим прямую, параллельную AB, и отмечаем точку A₁, в которой она пересечёт отрезок a.

x=OA_1.

5.

(n и m – данные натуральные числа).

Первый способ. Разделим отрезок a на m равных частей (см. построение 4) и увеличим полученный отрезок в n раз (см. построение 3).

                    

Рис. 10.                                                              Рис. 11.

Второй способ. Пусть OA=a.на произвольном луче, исходящем из точки О (рис. 11), откладываем отрезок OB₁=mb и отрезок OB=nb. Через точку B₁ проводим отрезок B₁A₁, параллельный BA. Тогда .

6. (построение отрезка, четвёртого пропорционального трём данным отрезкам).

Запишем условие в виде c : a = b : x. Пусть (рис. 12) OA=a, OC=c, так что члены одного из отношений отложены на одном луче, исходящем из той же точки О. На другом луче, исходящем из той же точки, откладываем известный член другого отношения OB=b. Через точку А проводим прямую, параллельную BC, и отмечаем точку Х её пересечения с прямой ОВ. Отрезок ОХ искомый, т. е. ОХ=х.

Рис. 12.

7.

Первый способ. Воспользоваться построением 6, полагая b=a.

Вторрой способ (применимый, если а<с). строим (рис. 13) полуокружность с диаметром <span class="dash041e_0441_043d_043e_0432_043d_0