Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Классификация целочисленных бинарных квадратичных форм

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого»

Институт электронных и информационных систем

_________________________________________________________________________

Кафедра алгебры и геометрии

УТВЕРЖДАЮ

Зав. кафедрой АГ

к.ф.-м. н., доцент

____________В.Е. Подран

"____"___________201__г.

КЛАССИФИКАЦИЯ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

Выпускная квалификационная работа

по специальности 050201 Математика, квалификация – учитель математики

Руководитель

к.ф.- м. н., доцент

________Н.В.Неустроев

Студентка группы 6131

__________В. Ю. Матвеева

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………………..……3

§ 1 КЛАССИФИКАЦИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ПРИВЕДЕННЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ…………………………………………………………………………………….………......……5

Основные определения и теоремы…………………………………………………5

1.2 Алгоритм нахождения всех собственных представления числа...……...……...13

§ 2 КЛАССИФИКАЦИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ПРИВЕДЕННЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ……………………………………………………………………………...………….…15

§ 3 КЛАССИФИКАЦИЯ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ С ПОМОЩЬЮ ТОПОКАРТ……………………………………………………………………………………..21

3.1 Бинарная квадратичная форма, как функция на некоторой плоской решетке…21

3.2 Классификация форм по знакам……………………………………………...........29

3.3 Классификация форм по виду топокарт…………………………………… …....32

§ 4 РЕШЕНИЕ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ МЕТОДОМ ТОПОКАРТ И МЕТОДОМ ГАУССА…………………………………………………...……44

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….…….54

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………………………………………..55

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Теория квадратичных форм возникла как естественное обобщение ряда частных задач с неопределенными уравнениями.

Еще в 1773 г. Лагранж в своей работе „Recherches d’ arithmetique" опубликовал основные результаты о представлении чисел бинарными квадратичными формами. В то время как до Лагранжа: Ферма, Эйлер и другие математики — изучали только формы частного вида, Лагранж, рассматривая бинарные квадратичные формы вида ; заложил основы общей теории. Установил основную связь между вопросом о представимости чисел квадратичной формой и существованием решений соответствующего сравнения 2-й степени.

Лежандр в 1798 г., излагая в своей книге „Essai sur la theorie des nombres" результаты Лагранжа по теории квадратичных форм, внес существенные упрощения и дополнения.

Применяемая в настоящее время в теории квадратичных форм терминология введена в основном Гауссом, который в своих „Disquisitiones arithmeticae" дал систематическую теорию бинарных квадратичных форм, причем в отличие от Лагранжа он так же, как Лежандр, брал формы вида . Гаусс далеко продвинул теорию таких форм. Рассматривая линейные преобразования с произвольными определителями, он ввел понятие эквивалентности квадратичных форм, существенно различая преобразования с определителями, равными +1 и -1. Гаусс, не ограничиваясь делением на классы, дал более полную классификацию бинарных квадратичных форм. Исследования Гаусса существенно опирались на развитую им теорию композиции форм.

Число классов h() данного дискриминанта рассматривается как числовая функция от . Эта функция играет большую роль в различных задачах теории чисел. Изучение этой функции было начато в работах Гаусса и Якоби, но особенно важные результаты были получены здесь Дирихле, который дал вывод формул, выражающих эту функцию через другие, сравнительно простые арифметические величины.

Квадратичные формы с большим, чем два, числом переменных начали изучаться еще Гауссом (тернарные формы). Наиболее общие квадратичные формы от переменных также изучались уже в XIX веке. В настоящее время теория таких форм с большим успехом развивается многими математиками.

Цель моей работы заключается в исследовании результатов полученных Гауссом в теории квадратичных форм и применении их в новом методе представления значений бинарной квадратичной формы с помощью топокарт.

Основные методы, которые я использовала при исследовании - это, сравнение, обобщение, дедукция, индукция.

Основные источники, которые я использовала для написания своей работы – это

Бухштаб А.А. Теория чисел. М., 1966, с. 384
Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях/Перевод с англ. С.М.Львовского.- М.:МЦНМО, 2008, с.144
Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. Том 2. М.: Мир, 1990, с. 376

Перейдем теперь к краткой характеристике содержания нашей работы.

Первый параграф работы носит вспомогательный характер. Она содержит необходимые в дальнейшем результаты Гаусса о квадратичных формах, приводятся все основные понятия.

Второй параграф содержит полную классификацию неопределенных приведенных форм, основанных на понятии цикла приведенных форм.

Основные результаты содержаться в третьем и четвертом параграфах. В третьем параграфе я применяю метод топокарт к бинарным квадратичным формам.

В четвертом параграфе применяю классификацию и метод Гаусса, иллюстрацией теоретической разработки примерами решения диофантовых уравнений.

§ 1 КЛАССИФИКАЦИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ПРИВЕДЕННЫХ ФОРМ

1.1 Основные определения и теоремы

Определение 1. Выражение вида

называется бинарной квадратичной формой, где — некоторые целые числа.

Будем называть коэффициентами формы и для краткости такую форму обозначать через , так что

. (1)

Переменным будем придавать только целые значения. Форма (1) представляет собой функцию от двух аргументов, у которой в качестве множества значений аргументов берется кольцо целых чисел. Основная задача в данной главе — отыскание представлений заданного N в форме (1), т. е. нахождение целых , таких, что

. (2)

Определение 2. Соотношение (2) при целых будем называть представлением числа N формой .

Для каждой формы (1) будем рассматривать множество целых чисел N, представимых этой формой.

Определение 3. Две формы называются равными, если

Таким образом, равенство двух форм означает тождественное равенство, и если две формы равны, то они принимают одинаковые значения для каждой пары значений х и у. Если в форме (1) после замены на а на , где— целые, получается форма , то будем говорить, что линейная подстановка:

(3)

переводит форму в форму

Замену в форме (1) их выражениями из (3) будем называть применением линейной подстановки (3) к форме (1).

Рассмотрим некоторые общие свойства бинарных квадратичных форм.

Определение 4. Формы и называются эквивалентными, если существует линейная подстановка

(3)

с целыми коэффициентами и определителем , переводящая в , т. е. такая, что

(4)

Эквивалентность форм и , обозначим

Линейные подстановки (3) с целыми и определителем мы будем называть унимодулярными подстановками, и обозначать в сокращенной записи знаком

Из соотношений (4) и (3) следует:

(5)

Таким образом, формы и эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют целые числа такие, что имеют место соотношения (5).

Определение 5. Под дискриминантом формы называется число .

Теорема 1. Эквивалентные формы имеют один и тот же дискриминант.

Теорема 2. Отношение эквивалентности квадратичных форм обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, т. е.:

2. Если , то

3. Если , , то

Теорема 3. Если , и не равны одновременно нулю, то наибольший общий делитель

Определение 6. Форма называется примитивной, если .

Теорема 4. Эквивалентные квадратичные формы представляют одно и то же множество целых чисел.

Определение 7. Классом называется множество всех квадратичных форм, эквивалентных форме .

Определение 8. Представление N в виде (2) с взаимно простыми называется собственным представлением.

Очевидно, что достаточно рассматривать собственные представления. Действительно, если и N представимо в виде (2), то и

собственное представление .

Теорема 5. Число N представимо собственным образом формой . тогда и только тогда, когда существует форма

, такая, что ,

Доказательство. 1) Пусть при целых , где (, выполняется равенство

Решив неопределенное уравнение

с неизвестными , находим , а затем представим число

в виде:

, где |.

Преобразование:

с определителем

переводит форму в некоторую эквивалентную форму , где, согласно формулам (5):

,так что |.

2) Существование формы , где , означает, что некоторая унимодулярная подстановка (3) переводит , т. е. выполняется тождественное равенство

В частности, при , где , и соответствующих целых значениях имеем

N=A=, (8)

т. е. N представимо формой

Это доказательство показывает, что, зная подстановку (3), переводящую в , мы по формуле (8) находим представление N формой .

Теорема 6. Для каждого собственного представления формой :

, и заданной формы , эквивалентной форме , существует только одна унимодулярная линейная подстановка вида переводящая в .

Теорема 7. Пусть дискриминант квадратичной формы и число N представимо собственным образом этой формой; тогда:

1) сравнение (11)
имеет решения;

2) для каждого собственного представления N формой существует форма такая, что В удовлетворяет сравнению (11) и

Доказательство. Пусть существуют целые, взаимно простые , такие, что . Согласно теореме 5 существует форма , такая, что .

Теорема о равенстве дискриминантов эквивалентных форм показывает, что тогда (12)

т. е. сравнение (11) имеет решения и B удовлетворяет этому сравнению, причем

Теорема 8. Для каждой квадратичной формы существует эквивалентная форма , такая, что

. (13)

Доказательство. Формы и эквивалентны, так как унимодулярная подстановка переводит первую из них во вторую. Поэтому мы можем всегда начать с формы, у которой , и если при этом , то искомая форма найдена. Если , то найдем целые и такие, что

где , т. е. возьмем в качестве наименьший по абсолютной величине вычет по модулю , который заключен в сегменте

Унимодулярная подстановка , где , т.е. подстановка

переводит форму в эквивалентную форму , где согласно формулам (5) , , т.е. в форму, где .

Если , то форма , удовлетворяет постав-

ленным условиям.

Если ₁₁ то подстановкой , в эквивалентную форму , т.е. в форму , где

a₂c₁a₁ c₂a₁

Произведение подстановок и равно подстановке

Таким образом, при из двух унимодулярных подстановок либо первая дает квадратическую форму, удовлетворяющую поставленным условиям, либо вторая переводит в эквивалентную форму с коэффициентом при , меньшим по модулю, чем у первоначальной формы, причем коэффициент при не увеличивается по модулю. Продолжая такие преобразования, мы должны встретиться с первым случаем, т. е. прийти к эквивалентной форме , такой, что.

Теорема 9. При любом ∆≠ 0 существует только конечное число неэквивалентных форм, имеющих дискриминант, равный.

Определение 9. Форма при ∆<0, а>0 называется положительно определенной, а при ∆<0, а<0 — отрицательно определенной.

Поскольку при таком числа а и с имеют одинаковые знаки и каждой положительно определенной форме соответствует отрицательно определенная форма ,, принимающая те же значения, но с обратным знаком, достаточно рассмотреть только один из этих двух случаев. Мы будем рассматривать положительно определенные формы.

Из теоремы 4 следует, что если - положительно определенная форма, то и весь класс состоит из положительно определенных форм. Можно поэтому говорить о классах положительно определенных форм. Для положительно определенных форм теорему 8 можно несколько уточнить и дать ее в следующем виде.

Теорема 8'. Для каждой положительно определенной формы существует эквивалентная форма , такая, что

a₁b₁a₁c₁

Определение 10. Положительно определенная форма называется приведенной, если

а при (15)

Теорема 10. В каждом классе положительно определенных форм имеется в точности одна приведенная форма, т. е. одна форма, удовлетворяющая условиям (15).

Пример 1. Определить, эквивалентны ли формы и Если они эквивалентны, то найти подстановку, переводящую вторую форму в первую.

Форму подстановкой переводим в форму

Подстановка переводит в приведенную форму .

Подстановка T== переводит непосредственно в . Форму подстановкой переводим в . Здесь

Подстановка переводит в а подстановка S= форму непосредственно в

Формы эквивалентны.

T^-1=, ST^-1=- подстановка, переводящая

{3, -3, 1} в {73, 17, 1}.

Возникает вопрос: сколько существует таких подстановок и чем они отличаются друг от друга?

Теорема 11. Для любой приведенной примитивной положительно определенной формы с дискриминантом, отличным от и , существуют в точности две унимодулярные подстановки, переводящие эту форму самое в себя.

Одна из этих подстановок , а другая .

Определение 10. Унимодулярные линейные подстановки, переводящие квадратичную форму самое в себя, называются ее автоморфизмами.

Теорема 12. При существует только одна приведенная положительно определенная форма, а именно форма . Эта форма имеет четыре автоморфизма:

,, . (21)

Теорема 13. При 3 существует только одна приведенная положительно определенная форма, а именно форма . Эта форма имеет шесть автоморфизмов:

,, ,.

Теорема 14. Число автоморфизмов примитивной положительно определенной формы с дискриминантом равно:

1) 4 при 4,

2) 6 при 3,

3) 2 при всех остальных значениях

Теорема 15. Примитивная положительно определенная форма с дискриминантом , кроме ,

имеет еще только следующие автоморфизмы:

при ;
при 3.

Теорема 16. Число унимодулярных линейных подстановок, переводящих примитивную положительно определенную форму в эквивалентную ей форму

а₁b₁с₁ дискриминантом равно:

1) 4 при 4;

2) 6 при 3;

3) 2 при всех остальных значениях

Доказательство. Пусть S - такая линейная подстановка, переводящая в , U — произвольный автоморфизм ; тогда US также переводит в ,

Мы получим все унимодулярные подстановки, переводящие {а, b, с} в {а₁, b₁ ,с₁} если при заданном S будем в качестве U брать различные автоморфизмы формы . Действительно, если Т — произвольная унимодулярная линейная подстановка, переводящая в , то TS^-1 — автоморфизм то есть , .

Вместе с тем равенство возможно только при .

Таким образом, число унимодулярных подстановок, переводящих в равно числу автоморфизмов , т. е., согласно предыдущей теореме, равно: 4 при 4; 6 при 3 и 2 при всех остальных значениях .

1.2 Алгоритм нахождения всех собственных представления числа

Чтобы найти все собственные представления числа N примитивной положительно определенной формой надо:

1) Решаем сравнение x² (mod4|N|) и находим значения B, удовлетворяющие этому сравнению, такие, что . Если таких значений B нет, то ([1],теорема 288) не существует представлений N формой . Если же такие B существуют, то каждому представлению N формой соответствует ([1],теоремы 288 и 282) эквивалентная форма с такими B и C, определяемыми из равенства (12).

2) Найдя все B, удовлетворяющие сравнению , такие, что и соответствующие С, мы можем составить все формы , а затем, выделив из них, как это было показано выше, формы, эквивалентные , найти все унимодулярные подстановки вида , переводящие

в такие .

Согласно формулам (5), где , каждая пара, есть решение неопределенного уравнения

Пример:

Найти все представления числа 73 формой

Решение:

Очевидно, что в данном случае все представления собственные. Дискриминант 3. Сравнение , эквивалентное системе , имеет четыре решения. Находя эти решения, получаем

Из возможных значений условию удовлетворяют . Значения , определяемые из равенства , равны соответственно 1 и 57.

Форма , (§1,пример 1), эквивалентна форме {73, 17, 1} и переходит в нее с помощью подстановки так что х₁ =1, y₁=10 представляет собой решение уравнения = 73.

Умножая слева на указанные ([1], теорема 296) для случая 3 автоморфизмы находим еще две подстановки, переводящие , а именно , что дает еще два решения:.

Остальные три подстановки получаются из найденных переменой знаков всех элементов, что дает еще три решения:

При форма подстановкой переводится в форму . Форма подстановкой в и , наконец, эта форма подстановкой переводится в .

Произведение U= = переводит непосредственно в , а произведение SU^-1, где S=, переводит . Находим

SU^-1==;

— решения неопределенного уравнения= 73.

Умножая слева на автоморфизмы находим еще две подстановки: переводящие {, и получаем соответствующие решения: Меняя знаки, находим еще три решения: так что уравнение = 73. имеет всего 12 решений в целых числах.

§ 2 КЛАССИФИКАЦИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ПРИВЕДЕННЫХ ФОРМ

Теорема 1. Пусть (сокращенно обозначимая – бинарная целочисленная квадратичная форма с детерминантом и пусть не является квадратом. определим последовательность

бинарных квадратичных форм с детерминантом следующим образом:

оределяют по формуле ;

определяют как наибольшее решение сравнения

для которого имеет место неравенство

в случае, когда такое решение существует, а если такого решения нет, то определяется как наименьшее по модулю решение сравнения , причем если имеются два равных по модулю решения, то в качестве следует выбирать положительное.

Тогда полученная таким способом из данной формы последовательность форм, начиная с некоторого места, является переодической. Формы из этого периода и называются циклом приведенных форм. Кроме того, две бинарные формы эквивалентны тогда и только тогда, когда они порождают один и тот же цикл приведенных форм.

Предположим, что не квадрат. Тогда в случае неопределенных форм из теоремы 1 можно вывести, что приведенные формы (лежащие в цикле) – это в точности формы, удовлетворяющие неравенствам

Приведенные формы можно отыскать так же легко, как и раньше: для каждого положительного целого числа разложим число на множители, , всеми возможными способами, удовлетворяющими неравенству (4).

В случае когда число является квадратом, мы должны слегка видоизменить теорему 1, в частности строгое неравенство (3) должно быть заменено на нестрогое . Далее, процесс, описанный в теореме 1, завершается на некотрой форме с . если этот процесс провести в противоположном направлении, то он завершится на некоторой форме . Гаусс доказал, что двее формы собственно эквивалентны тогда и только тогда, когда , и несобственно эквивалентны тогда и только тогда, когда

где через обозначен наибольший общий делитель. Вследствии этого мы расширим понятие приведенной формы так, чтобы помимо форм, удовлетворяющих ( 4), приведенными считались и все формы вида

Тогда «цикл» приведенных форм превращается в конечную последовательность

Таблица1. Приведенные положительно определенные бинарные формы

	Формы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Таблица 2. Приведенные неопределенные бинарные формы

	Формы
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
-15

В табл. 1 и 2 с использованием обозначений теоремы 1 перечислены некоторые приведенные бинарные квадратичные формы. Все приведенные бинарные квадратичные формы приведены в Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. Том 2. стр. 455-457 с . В табл. 1 приведены положительно определенные формы с , а в табл. 2 все четыре цикла

представлены в виде одного элемента

В расстановке знаков следует помнить, что перед нижними символами они чередуются. Определенная осторожность требуется в восстановлении исходных циклов, так как некоторые из только что упомянутых четырех циклов могут совпадать, и поэтому элемент таблицы может представлять один, два или четыре цикла. Мы употребляем круглые и фигурные скобки для дальнейшего уменьшения размеров таблицы. Символы, стоящие, в круглых скобках, означают период или полупериод. Так, для элемент представляет четыре различных цикла

Однако элемент

для дает нам только два неэквивалентных цикла, а именно цикл

и его обращение. Большинство элементов в таблице содержится внутри фигурных скобок, которые указывают на отражение относительно наиболее удаленных от середины разрядов. Так, для элемент

представляет единственный цикл

в то время как для элемент

представляет два цикла

Если точный квадрат, то циклы превращаются в цепочки, оканчивающиеся нулями. Так, для элемент

представляет

§ 3 КЛАССИФИКАЦИЯ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ С ПОМОЩЬЮ ТОПОКАРТ

3.1 Бинарная квадратичная форма, как функция на некоторой плоской решетке

Мы определяли функцию f как функцию от упорядоченной пары , но можно рассматривать ее как функцию от двумерного вектора , где - два линейно независимых вектора. Линейные комбинации с целыми коэффициентами образуют плоскую решетку, как на рисунке ниже, векторы на этой решетке можно складывать и вычитать.

Базисом, решетки называется пара векторов решетки наподобие , обладающая тем свойством, что всякий вектор решетки единственным образом записывается в виде линейной комбинации векторов из базиса с целыми коэффициентами.

Итак, бинарная квадратичная форма- это некоторая функция на плоской решетке.

Функция f является квадратичной формой тогда и только тогда, когда:

Скаляры ведут себя квадратично, т.е. ;
Функция является симметрической билинейной формой; это означает, что

Классификация целочисленных бинарных квадратичных форм 📙 Дипломная → 🆔 7763