Проективный подход к решению задач на построение циркулем и линейкой точек пересечения прямой и алгебраической плоской линии второго пор

    МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

    Учреждение  образования

    "БЕЛОРУССКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

    УНИВЕРСИТЕТ им. М.Танка" 
 

    Математический  факультет

    Кафедра алгебры и геометрии 
 

    Дипломная работа 

    Проективный подход к решению  задач на построение циркулем и линейкой точек пересечения прямой и алгеброической плоской линии второго порядка 
 
 

студентки 5-го курса

математического факультета

дневного  отделения

Стащенюк  Александры Анатольевны 

Научный руководитель

кандидат  физико-математических наук

доцент

Рачковский  Николай Николаевич 
 

    Минск 2003 
 

    Оглавление

    1. Введение……………………………………………………………….2

    2. Основные обозначения, понятия  и теоремы………………………...3

    3. Точки пересечения прямой с  гиперболой и параболой…………….6

3.1. Построение  проективного преобразования, переводящего гиперболу и параболу в эллипс……………………………………6

    3.1.1. Гипербола и парабола как конические  сечения………6

3.1.2. Задание  проективного преобразования определенного  типа на плоскости……………………………………………...7

    3.1.3. Свойства построенного преобразования……………...10

    3.1.4. Построение образа точки………………………………10

3.1.5. Доказательство  равенства построенного и искомого  преобразований………………………………………………..11

    3.2. Гипербола……………………………………………………………14

    3.3. Парабола………………………………………………………..……19

    4. Эллипс………………………………………………………………….24

    5. Заключение…………………………………………………………….26

    Литература………………………………………………………………..27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    1. Введение

    Иногда  в задачах на построение возникает  геометрическое место точек, для  которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек есть величина постоянная. Множество таких точек составляют гиперболу. Аналогично в задачах конструктивной геометрии совершенно естественно могут возникать парабола и эллипс. Но так как построить эти фигуры с помощью циркуля и линейки нельзя, то возникает вопрос, можно ли построить точки пересечения гиперболы, параболы или эллипса и некоторой заданной прямой, не строя эти кривые и не используя методы аналитической геометрии. В данной дипломной работе рассматривается эта проблема и предлагается способ ее решения.

      Что касается гиперболы и параболы, то способ решения поставленной  задачи основан на проективной  точке зрения. А именно: найдено  такое проективное преобразование, которое переводит заданные гиперболу  и параболу в окружность. Понятно,  что это преобразование переводит заданную прямую в некоторую прямую. Найдем точки пересечения построенных прямой и окружности. Применив к ним преобразование, обратное к рассмотренному, получим искомые точки.

      О том, каким образом было  найдено проективное преобразование, переводящее гиперболу или параболу в окружность, рассказывается в третьем разделе дипломной работы. Там же приведено конструктивное доказательство существования такого проективного преобразования, т.е. описано, как его задать, как строить образы и прообразы точек.

      С эллипсом ситуация гораздо  проще. Достаточно найти аффинное  преобразование плоскости, переводящее  данный эллипс в окружность; данная  прямая перейдет в прямую. Задача  нахождения точек пересечения  прямой и эллипса рассматривается  в четвертом разделе. 
 
 

    2. Основные обозначения,  понятия и теоремы

    Определение 1. [1, стр.112] Пусть f:X→Y – некоторое отображение, область определения которого совпадает с X.

1. Если для двух различных элементов x₁, x₂∈X имеем: f(x₁) ≠ f(x₂), то отображение а f называется инъективным отображением или коротко инъекцией.
2. Если f(X)=Y, т.е. каждая точка множества Y является образом по крайней мере одной точки множества X, то f называется отображением множества X на множество Y или сюръективным отображением (сюръекцией).
3. Если отображение f:X→Y одновременно является инъективным и сюръективным, то оно называется взаимно однозначным отображением множества X на множество Y или биективным отображением множества X на множество Y (коротко биекцией).

    Определение 2. [1, стр.142] Преобразование плоскости называется аффинным, если оно любые три точки M₁, M₂ и M₃, лежащие на одной прямой, переводит в три точки M'₁, M'₂ и M'₃, лежащие на одной прямой, и сохраняет их простое отношение, т.е. (M₁ M₂,M₃)=(M'₁ M'₂,M'₃).

    Лемма 1. [2, стр.99] В любом аффинном отображении эллипс переходит в эллипс.

    Определение 3. [2, стр. 7] Плоскость, дополненную несобственной прямой, называют расширенной (проективной) плоскостью.

    Определение 4. [3, стр. 71] Пусть в расширенном евклидовом пространстве даны две расширенные евклидовы плоскости α₁, α₂ и точка S (центр перспективы), не принадлежащая данным плоскостям. Тогда отображение φ:α₁→ α₂, при котором образом точки A∈α₂ считается точка A'=(SA) Çα₂, называется перспективой.

    Определение 5. [2,стр. 34] Преобразование проективной плоскости называется проективным, если точкам любой прямой соответствуют точки, лежащие на некоторой прямой так, что сохраняется сложное отношение четырех точек, т.е. для любых четырех точек M₁, M₂, M₃, M₄ одной прямой и их образов M'₁, M'₂, M'₃, M'₄ выполняется равенство (M₁M₂, M₃M₄)=(M'₁M'₂, M'₃M'₄).

    Свойства  проективных преобразований [2, стр.36]:

1. При проективном  преобразовании три точки, не лежащие  на одной прямой, переходят  в  три точки, также не лежащие на одной прямой.
2. При проективном преобразовании любой репер переходит в репер
3. При проективном преобразовании прямая переходит в прямую.

    Определение 6. [1, стр. 124] Точку плоскости назовем инвариантной (неподвижной) точкой преобразования, если она переходит в себя в этом преобразовании. Прямую назовем инвариантной (неподвижной) прямой преобразования, если любая ее точка переходит в точку этой же прямой. В частности, прямая является инвариантной, если каждая ее точка инвариантна в данном преобразовании (такую прямую будем называть прямой инвариантных точек).

    Определение 7. [2, стр. 37-38] Нетождественное проективное преобразование называется гомологией, если оно имеет по крайней мере три инвариантные точки, лежащие на одной прямой. Точка пересечения прямых, проходящих через соответственные точки гомологии, называется центром гомологии. Если центр гомологии не лежит на оси гомологии, то гомология называется гиперболической..

    Свойства  гомологии [2, стр. 37]:

1. Прямая, проходящая через несовпадающие соответственные точки гомологии, является инвариантной прямой.
2. Прямые, проходящие через несовпадающие соответственные точки гомологии, принадлежат одному пучку, центр которого является инвариантной точкой гомологии.

    Определение 8. [3, стр. 5] Пусть A, B, C, D – точки проективной прямой. Если точки C, D лежат на разных отрезках с концами A, B, то пара (C, D) называется разделяющей пару (A, B), если на одном, то неразделяющей.

    Теорема 1. [3, стр. 17] Для того, чтобы пары точек AB и CD были неразделенными, необходимо и достаточно, чтобы двойное отношение (AB,CD) было положительным, т.е. (AB,CD)>0.

    Лемма 2. При проективном преобразовании проективный отрезок переходит в проективный отрезок.

    Доказательство:

      Покажем, что отрезок [AB] перейдет в отрезок [A'B'], где A', B' – образы точек A, B в данном проективном преобразовании. Для этого необходимо показать, что для любых двух точек C, D∈[AB] их образы C', D'∈[A'B']. Т.е. если пара AB, CD – неразделенная, то A'B', C'D' - неразделенная.

      Из определения проективного  преобразования плоскости следует,  что если (AB,CD)>0, то(A'B',C'D')>0, так как оно сохраняет сложное отношение четырех точек, т.е. (AB,CD)= (A'B',C'D').

      Таким образом, мы показали, что  образом проективного отрезка  [AB] является проективный отрезок [A'B'].

                                                                                                         ⊠                                                                                                                                                                                       

    Теорема 2. [2, стр. 55] При любом проективном преобразовании линия второго порядка ранга r переходит в линию второго порядка того же ранга.

    Определение 9. [1, стр. 100] Два диаметра центральной линии второго порядка называются сопряженными, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру.

    Определение 10. [1, стр. 145] Нетождественное аффинное преобразование называется перспективно-аффинным, если оно имеет по крайней мере две неподвижные точки. Прямая неподвижных точек называется осью перспективно-аффинного преобразования.

    Определение 11. [1, стр. 147] Если прямые, соединяющие соответственные точки перспективно-аффинного преобразования, не параллельны его оси, то преобразование называется косым сжатием плоскости, а направление прямых, соединяющих соответственные точки, - направлением сжатия.

    Обозначения:

 [AB] – отрезок с концами A и B;

 [ACB] – проективный отрезок с концами A и B, содержащий точку C;

 (AB) - прямая;

 /AB/ - длина отрезка с концами A и B;

 a//b – прямые a и b параллельны;

 a∦b – прямые a и b не параллельны. 
 

    3. Точки пересечения  прямой с гиперболой  и параболой

    3.1. Построение проективных  преобразований, переводящих  гиперболу и параболу  в эллипс

    3.1.1. Гипербола и парабола  как конические  сечения

    Рассмотрим  конус с вершиной в точке  S, направляющей которого является эллипс e, лежащий в плоскости b. Пересечем этот конус плоскостью a так, чтобы в сечении получилась фигура g - гипербола либо парабола.

    Рассмотрим  отображение f₁: a®b - центральное проектирование плоскости a на плоскость b с центром в точке S. Это отображение переводит фигуру g в эллипс e.

    Теперь  рассмотрим отображение f₂: b®a - параллельное проектирование плоскости b на плоскость a вдоль какой-нибудь прямой l, где l∦a,l∦b. При этом отображении образом эллипса e станет некоторый эллипс e', так как параллельная проекция является аффинным отображением (см. Лемму1).

    Заметим, что отображение f₂ биективно, а f₁ – нет. Превратим f₁ в биективное отображение, встав на проективную точку зрения, т.е. дополнив плоскости a и b их несобственными элементами. Тем самым мы превратим центральную проекцию евклидовой  плоскости a на евклидову плоскость b в перспективное отображение проективных плоскостей. Тогда композиция f₂◦f₁: a®a - проективное преобразование плоскости a, которое переводит фигуру g в эллипс e'. 

    3.1.2. Задание проективного  преобразования определенного  типа на плоскости

    Найдем  способ задания такого преобразования с помощью элементов плоскости a.

    Введем  следующие обозначения:

       S – как и выше, центр центрального проектирования;

       (SO) – направление параллельного проектирования f₂, где O∈a;

       g:= aÇb - неподвижная прямая в отображениях f₁ и f₂, а следовательно в их композиции  f₂◦f₁;

      l₁Ìb - образ несобственной прямой плоскости a при перспективном отображении f₁, т.е. линия пересечения плоскости b с плоскостью, параллельной плоскости a и проходящей через точку S;

      l=f₂(l₁) – образ прямой l₁ при параллельном проектировании f₂.

    Нетрудно  видеть, что прямая l  является образом несобственной прямой плоскости a при композиции  f₂◦f₁.

     Прежде, чем определить правило, по которому любой точке плоскости a ставится ее образ в композиции f₂◦f₁, выясним, как строить образ прямой в этой композиции. Таким образом, рассмотрим произвольную прямую mÌa и найдем ее образ m' в композиции f₂◦f_1.

    Сначала рассмотрим случай, когда прямая m не параллельна и не совпадает с прямой g. Обозначим M:=gÇm.

    Построим  f₂◦f₁(m). Найдем сначала образ прямой m при центральном проектировании f₁. Для этого через точку S и прямую m проведем плоскость (S, m) (такая плоскость существует и единственна, так как S∉a, а значит S∉m). Эта плоскость пересечет плоскость b по прямой m₁, потому что плоскости b и (S, m) имеют общую точку M и не совпадают.

    Теперь  найдем образ прямой m₁ при параллельном проектировании f₂ вдоль прямой (SO). Так как M∈g, т.е. M – неподвижная точка, то f₂(M)=M. Остается найти образ точки L=l₁Çm₁: f₂(L)=L'∈l, так как L∈l₁. Таким образом, m'= f₂◦f₁(m)=(ML').

    Рассмотрим  прямую (OL') и покажем, что (OL')//m. Во-первых, имеем

                                                    (OL')//(SL)                                 (*)

    как прямые, по которым плоскость, проходящая через параллельные прямые (SO) и (LL'), пересекает параллельные плоскости a и (S, l₁).

    Во-вторых,

                                                     (SL)//m                                    (**)

    как прямые, по которым плоскость (S,m) пересекает параллельные плоскости a и (S, l₁).

    Из (*) и (**) следует, что (OL')//m.

     Таким образом, получили следующее правило для  построения образа прямой m//g в композиции  f₂◦f₁.

      Алгоритм 1:

1. M:=gÇm – неподвижная точка
2. Через точку O проведем прямую s//m
3. L:=sÇl
4. m'=(LM) – образ прямой m в композиции f₂◦f_1.

    3.1.3. Свойства построенного  преобразования

    Прежде, чем указать алгоритм для построения любой точки плоскости, рассмотрим свойства самого преобразования f₂◦f₁, обозначив его через F.

    1^o.  F – проективное преобразование плоскости a в силу равенства         F= f₂◦f₁. В частности, F – биекция.

     2^o. Точка O – инвариантная точка преобразования F, прямая g – прямая его инвариантных точек.

    Доказательство:

    Покажем, что O – инвариантная точка, т.е. F(O)=O. f₁(O)=(SO) Çb =:O', f₂(O')=(O'S) Ça =(OS) Ça =O. Таким образом, F(O)= f₂◦f₁(O)=O.

    Поскольку любая точка G прямой g является общей точкой плоскостей a и b, то f₁(G)=G и f₂(G)=G, и потому F(G)= f₂◦f₁(G)=G.

                                                                                                         ⊠                                                                                                                                                                                       

    3^o. Отображение F является гиперболической гомологией.

    Доказательство  следует непосредственно из свойства 2^о и определения 7.

    4^o. Любая прямая, проходящая через точку O и не параллельная прямой g является инвариантной прямой отображения F.

    Доказательство  следует из свойств гомологии (см. выше).  

    3.1.4. Построение образа  точки

     Теперь построим образ произвольной точки A. Для этого рассмотрим ее как точку пересечения двух прямых. При этом выберем одну из прямых так, чтобы она проходила через точку O, и в качестве второй прямой – произвольную прямую m, проходящую через точку A, отличную от прямой (OA) и не параллельную прямой g.

    Найдем  образы этих прямых:

      F((OA))=(OA) – по свойству 4^o;

      F(m)=m' - см. Алгоритм 1.

    Тогда F(A)=F((OA) Çm); в силу свойства 1^o F((OA) Çm)= F((OA)) ÇF(m)= (OA) Çm'=A'. Следовательно, F(A)= (OA) Çm'=A'.

    Таким образом, получили правило для построения образа точки A в преобразовании F.

      Алгоритм 2:

1. A=(OA) Çm, где m – произвольная прямая, m∦l, m≠(OA);
2. m'=F(m) – см. Алгоритм 1;
3. A':=(OA) Çm'.

    Мы  уже знаем, как строить образ  любой прямой m, не параллельной и не совпадающей с прямой g, и образ любой точки A. Случай, когда прямая m совпадает с g тривиален, так как g – инвариантная прямая. Остается найти правило построения образа прямой m//g. Докажем, что образом прямой m в композиции f₂◦f₁ будет прямая m', параллельная прямой m. Построим m₁=f₁(m)=(S,m) Çb.  Так как g//m, то g//(S,m), а значит g//m₁( прямые g и m₁ лежат в одной плоскости b, а значит не скрещиваются). Таким образом, f₁(m)= m₁//m. Так как f₂ – аффинное отображение, то f₂◦f₁(m)= f₂(m₁)=m'//m. 

    3.1.5. Доказательство равенства  построенного и  искомого преобразований

    Рассмотрим  плоскость a, в которой лежат две параллельные прямые g и l и точка O, им не принадлежащая. Рассмотрим отображение F_o, заданное прямыми l и g и точкой O, такое что каждой точке А ставится в соответствие точка А' по Алгоритму 2. Покажем, что для отображения F_o найдутся такие отображения f₁ и f₂, что их композиция f₂◦f₁=F_o, где f₁ – центральная проекция плоскости a на некоторую плоскость b с центром в некоторой точке S, f₂ – параллельная проекция плоскости b на плоскость a вдоль прямой (SO). Для этого необходимо указать как выбрать точку S и плоскость b.