Восстановление расфокусированного изображения

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

1.1 Цифровая обработка изображений

1.1.1 Представление изображения  в цифровом виде

Изображение можно определить как  двумерную функцию f (х, у), где х и у - координаты в пространстве (конкретно, на плоскости), и значение f, которой в любой точке, задаваемой парой координат (х, у), называется интенсивностью или уровнем серого изображения в этой точке. Если величины х, у и f принимают конечное число дискретных значений, то говорят о цифровом изображении. Цифровой обработкой изображений называется обработка цифровых изображений с помощью цифровых вычислительных машин (компьютеров). Заметим, что цифровое изображение состоит из конечного числа элементов, каждый из которых расположен в конкретном месте и принимает определенное значение. Эти элементы называются элементами изображения или пикселями.

Зрение является наиболее совершенным  из наших органов чувств, поэтому неудивительно, что зрительные образы играют важнейшую роль в человеческом восприятии. Однако, в отличие от людей, способных воспринимать электромагнитное излучение лишь в видимом диапазоне, машинная обработка изображений охватывает практически весь электромагнитный спектр от гамма-излучения до радиоволн. Обрабатываемые изображения могут порождаться такими источниками, которые для человека непривычно связывать с наблюдаемыми изображениями. Таковы, например, ультразвуковые изображения; изображения, получаемые в электронной микроскопии или генерируемые компьютером. Таким образом, цифровая обработка изображений охватывает широкие и разнообразные области применения.

Во всем диапазоне от обработки  изображений до машинного зрения нет четких границ, тем не менее, можно различать в нем компьютеризованные процессы низкого, среднего и высокого уровня. Процессы низкого уровня касаются только примитивных операций типа предобработки с целью уменьшения шума, повышения контраста или улучшения резкости изображений. Для низкоуровневых процессов характерен тот факт, что на входе и на выходе присутствуют изображения. Обработка изображений на среднем уровне охватывает такие задачи, как сегментация (разделение изображения на области или выделение на нем объектов), описание объектов и сжатие их в удобную для компьютерной обработки форму, а также классификация (распознавание) отдельных объектов. Для процессов среднего уровня характерно наличие изображений только на входе, на выход же поступают признаки и атрибуты, извлекаемые из этих изображений (например, границы областей, линии контуров, отличительные признаки конкретных объектов). Наконец, высокоуровневая обработка включает в себя «осмысление» набора распознанных объектов, как это делается в анализе изображений, и, в пределе, осуществление познавательных функций, которые принято связывать со зрением.

1.1.2 Области применения цифровой  обработки изображений

 

Области применения цифровой обработки  изображений столь разнообразны, что попытка охватить их во всей широте требует какой-то системы изложения. Один из простейших способов — классификация прикладных областей в соответствии с видами источников, формирующих соответствующие изображения (например, оптические, рентгеновские и т.д.). Главным источником энергии для формирования применяемых сегодня изображений является электромагнитное излучение. Среди других важных энергетических источников, которые могут создавать изображения, упомянем акустические и ультразвуковые (механические) колебания, а также электронные пучки, применяемые в электронной микроскопии. Кроме того, имеется целый класс синтетических (искусственных) изображений, которые синтезируются компьютерными программами и используются для моделирования и визуализации. В этом разделе мы кратко обсудим, как регистрируются изображения этих многочисленных категорий и каковы области их применения. Методы преобразования изображений в цифровую форму будут рассмотрены в следующей главе.

 

Формирование изображений  с помощью гамма-лучей

Изображения, полученные с помощью  гамма-излучения, используются главным  образом в медицинской радиологии и астрономических наблюдениях. В медицинской радиологии применяется подход, при котором пациенту вводится радиоактивный изотоп, распад которого сопровождается гамма-излучением. Это излучение регистрируется детекторами гамма-излучения, сигналы которых и используются для формирования изображения. Изображения такого вида используются для обнаружения участков различных патологий костей, в частности, при инфекционных или онкологических заболеваниях.

 

Рентгеновские изображения

Рентгеновские лучи - один из самых старых источников электромагнитного излучения, используемых для получения изображений. Хорошо известно применение рентгеновских лучей для медицинской диагностики, однако они также широко используются в промышленности и других областях, в частности, астрономии. Рентгеновское излучение для формирования изображений в медицине и промышленности генерируется с помощью рентгеновской трубки - вакуумного прибора с катодом и анодом. Катод находится в нагретом состоянии, вследствие чего испускает свободные электроны, которые с высокой скоростью летят к положительно заряженному аноду. При соударении электронов с ядрами атомов материала анода выделяется энергия в форме рентгеновского излучения. Энергия рентгеновских лучей, от которой зависит их проникающая способность, регулируется изменением приложенного к аноду напряжения, а интенсивность излучения (количество рентгеновских лучей) регулируется изменением тока, проходящего через нить накала катода. При прохождении рентгеновских лучей через тело пациента, их интенсивность изменяется в зависимости от степени поглощения вдоль конкретной траектории, и окончательный уровень энергии фиксируется на рентгеновской пленке, экспонируя ее почти также, как лучи света формируют изображение на фотопленке.

 

Изображения в ультрафиолетовом диапазоне

Ультрафиолетовый «свет» находит  разнообразные применения, в частности, в литографии, производственном контроле, микроскопии, лазерной технике, биологических и астрономических наблюдениях, изображения ультрафиолетового диапазона используются в микроскопии и астрономии. Явление флуоресценции было открыто в середине XIX в., когда впервые было замечено, что минерал флуорит (плавиковый шпат) излучает свет при направлении на него ультрафиолетового излучения. Сами по себе ультрафиолетовые лучи невидимы, но при столкновении фотона ультрафиолетового излучения с электроном атома флуоресцентного материала, электрон переходит на более высокий энергетический уровень. Последующее возвращение возбужденного электрона на нижний уровень сопровождается излучением фотона с меньшей энергией, что соответствует видимому (ближе к красному) диапазону спектра. Принцип работы флуоресцентного микроскопа заключается в облучении подготовленного препарата ярким активизирующим освещением и последующем выделении значительно более слабого флуоресцентного свечения. Таким образом, глаз наблюдателя или другой детектор будет воспринимать только вторичное излучение.

 

 

Изображения в микроволновом  диапазоне

Изображения микроволнового диапазона  применяются главным образом в радиолокации. Уникальным качеством радиолокации является возможность получения изображения любого района независимо от условий освещения и погоды. Микроволновое излучение некоторых диапазонов способно проникать даже сквозь облака, растительность, лед и сухой песок. Во многих случаях радиолокация остается единственным способом исследования труднодоступных районов Земли. Применяемый для получения изображения радиолокатор работает аналогично фотоаппарату со вспышкой, в том смысле, что он использует собственный источник освещения (микроволновые импульсы), которое направляется на снимаемый участок поверхности. Роль объектива фотоаппарата в радиолокаторе играет антенна, сигнал от которой проходит через компьютерную систему, осуществляющую регистрацию и обработку изображения. Радиолокационное изображение отображает распределение интенсивностей отраженной энергии микроволнового диапазона, которую уловила антенна локатора.

1.1.3 Обзор методом цифровой обработки  изображений

 

Главная цель улучшения заключается в такой обработке изображения, чтобы результат оказался более подходящим с точки зрения конкретного применения. Слово конкретное является здесь важным, поскольку оно с самого начала устанавливает, что методы, обсуждаемые в настоящей главе, в значительной степени проблемно ориентированы. Так, например, метод, являющийся весьма полезным для улучшения рентгеновских изображений, не обязательно окажется наилучшим для обработки снимков Марса, переданных космическим аппаратом. Однако, безотносительно к применяемым методам, улучшение изображений является одной из наиболее интересных и привлекательных с позиции визуального анализа областей обработки изображений.

Множество подходов к улучшению  изображений распадается на две  большие категории:

• методы обработки в пространственной области (пространственные методы)
• методы обработки в частотной области (частотные методы).

Термин пространственная область относится к плоскости

изображения как таковой, и данная категория объединяет подходы, основанные на прямом манипулировании пикселями изображения. Методы обработки в частотной области основываются на модификации сигнала, формируемого путем применения к изображению преобразования Фурье. Наряду с этим не являются бесполезными и технологии, базирующиеся на различных комбинациях методов из данных двух категорий.

Общей теории улучшения изображений  не существует. Когда изображение обрабатывается, визуальное восприятие результатов является индикатором того, насколько хорошо действует конкретный метод. Визуальная оценка качества изображения это субъективный процесс. Когда целью является обработка изображения для дальнейшей обработки компьютером, задача оценивания несколько проще. Например, в задаче распознавания символов наилучшим (оставляя в стороне другие вопросы, такие как вычислительные требования) будет тот метод обработки изображений, который дает более точные результаты распознавания. Тем не менее, даже в ситуации, когда проблема позволяет установить четкие критерии качества, обычно требуется определенное количество попыток тестирования, пока будет выбран конкретный подход к улучшению изображений.

Результат Фурье, относящийся к  предмету рассмотрения настоящей главы, состоит, по существу, в том, что любая  функция, периодически воспроизводящая свои значения, может быть представлена в виде суммы синусов и/или косинусов различных частот, умноженных на некоторые коэффициенты (теперь эта сумма носит название ряд Фурье). Сложность поведения функции при этом не имеет значения. Если только функция является периодической и удовлетворяет необременительным математическим условиям, она может быть представлена в виде вышеуказанной суммы.

Когда функция не является периодической (но площадь под ее графиком конечна), она может быть выражена в виде интеграла от синусов и/или косинусов, умноженных на некоторую весовую функцию. В таком случае мы имеем дело с преобразованием Фурье, которое в большинстве практических задач оказывается даже более полезным, чем ряд Фурье. Оба представления обладают важной характерной особенностью. Функция, заданная как рядом, так и преобразованием Фурье, может быть полностью, без потери информации, восстановлена (реконструирована) при помощи некоторой процедуры обращения. Это свойство является одним из наиболее важных свойств рассматриваемых представлений, поскольку оно позволяет работать в фурье-области, а затем вернуться в исходную область определения функции без потери какой-либо информации.

Наступление эпохи ЭВМ и открытие алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) в конце 50-х годов (или немного позднее) произвели революцию в области обработки сигналов. Эти две основные технологии впервые сделали возможным обработку и интерпретацию огромной совокупности сигналов исключительной важности в разных сферах человеческой деятельности от медицинской диагностики до новейших средств электронной связи.

 

1.2. Морфологический анализ изображений

 

Традиционные классические подходы  при обработке изображений не дают прямого ответа, каким образом  численно описывать форму или  геометрическую структуру объектов на изображении. Напротив, математическая морфология, которая воплощает теоретико-множественную методологию анализа изображений, позволяет дать строгое количественное описание многих особенностей геометрической структуры изображений в виде, согласуемом с интуицией и восприятием человека. Математический фундамент этого метода составляют теория множеств, интегральная геометрия, анализ выпуклых функций, стереология, геометрическая теория вероятностей. Математическая морфология широко используется для анализа изображений в биомедицинских исследованиях и в электронной микроскопии и служит эффективным инструментом во многих приложениях, связанных с машинным зрением, особенно в области автоматизированного визуального контроля.

1.2.1. Символическое описание изображений

Получение символического описания изображений представляет собой задачу перехода от набора простейших признаков изображения, таких, как значение яркости, контурные точки или параметры текстуры, к значительно меньшему набору средств описания, которые могут служить в качестве исходных данных для последующей семантической интерпретации. Типичными графическими символами являются цепочки контурных точек, образующих границу объекта, связанные области постоянной яркости, цвета или текстуры и элементарные фигуры, такие, как прямоугольники, окружности, треугольники.

1.2.2. Связность

Основной этап при формировании символического описания изображения по массиву элементов или набору простейших признаков заключается в определении геометрических соотношений и связности между элементами, относительно которых предполагается, что они принадлежат одному классу. Для двоичной картинки, представленной на рис. 3.1 (а), кольцо из четырех элементов, согласно всем принятым определениям связности, делит эту картинку на три области: белые элементы с внешней стороны кольца, белые элементы внутри кольца и черные элементы самого кольца. Говорят, что элементы внутри каждой области связаны друг с другом. Смысл этого понятия легко уяснить, обратившись к рис. 3.1 (а), но если рассматривать рис. 3.1 (б), то возникает неоднозначность. Определяют ли все черные элементы кольцо или же они представляют собой четыре прямолинейных отрезка? Ответ на этот вопрос до некоторой степени зависит от желаемого определения связности.

 

Рис. 3.1. К определению связности:

а – кольцо;

б – неоднозначная фигура

Возвращаясь к более  общему случаю многоградационных изображений, рассмотрим рис. 3.2 (а), на котором представлен некоторый элемент (элемент А), окруженный восемью соседними элементами (от В до 1). Предположим, что элемент А обладает свойством S, установленным на основе некоторого простейшего описания (яркости, цвета, текстуры и т.д.). По определению четырехсвязности элемент А и элемент В связаны, если они обладают свойством S. Аналогично четырехсвязность можно установить между элементом А и элементами Е, С и Д, граничащими с А по ребру, при условии, что оба члена пары обладают одним и тем же свойством. Восьмисвязность позволяет связывать элемент А с одним из его соседей по диагонали, например, с элементом F, граничащим с А в точке, если оба они обладают одинаковым свойством.

На рис. 3.1 (б) в соответствии с определением четырехсвязности имеется четыре несвязных черных прямолинейных отрезка, а согласно определению восьмисвязности, изображено кольцо из связных четырех элементов. Заметим, однако, что при восьмисвязности – белые элементы, расположенные внутри кольца на рис. 3.1 (б), связаны с белыми элементами с внешней стороны кольца. Таким образом, возникает парадокс. Если бы черные элементы связывались по принципу восьмисвязности в кольцо, то следовало бы ожидать разделения внутренних и внешних белых элементов этого кольца. Чтобы разрешить эту дилемму, можно для элементов со свойством S определить восьмисвязность, а принцип четырехсвязности установить для элементов, обладающих свойством S (S – дополнение множества S), или наоборот.

 

 

 

 Рис. 3.2. Определение связных  элементов изображения

Обратимся к рис. 3.2. Пусть заштрихованный элемент обладает свойством S, а незаштрихованный – не обладает свойством S. Тогда элемент А на рис. 3.2 (б) называется изолированным, если для него не соблюдается принцип восьмисвязности относительно любого из его соседей. На рис. 3.2 (в) элемент А является внутренним элементом, для которого выполняется принцип четырехсвязности относительно каждого из его соседей В, С, Д, Е. Граничный элемент, как показано на рис. 3.2 (г), не обладает четырехсвязностью по крайней мере с одним из ближайших соседей. Следуя этому определению, элемент С из окрестности А не может быть классифицирован как граничная точка. Рис. 3.2 (д) иллюстрирует определение точки дуги; элемент А обладает четырехсвязностью только со своими верхним и нижним (или правым и левым) соседями. Дуговой концевой элемент обладает четырехсвязностью лишь с одним соседом. Наконец, минимально связная дуга по определению есть множество точек дуги, для которых каждая внутренняя точка дуги (не являющаяся ее концом) обладает восьмисвязностью лишь с двумя соседями.

1.2.3. Сжатие, утончение и построение остова

Сжатие и утончение представляют собой необратимые операции, цель которых состоит в том, чтобы попытаться свести связные области элементов изображения с заданным набором свойств к областям меньших размеров. Посредством сжатия область сводится к единственному элементу, а с помощью утончения область приводится к минимальной ширине поперечного сечения. Построение остова – это операция, с помощью которой область преобразуется в фигуру, напоминающую каркас.

На рис. 3.3 приведены примеры, иллюстрирующие обработку объекта прямоугольной формы и области неправильной формы простым алгоритмом сжатия. С помощью этого алгоритма граничные точки, не являющиеся точками дуги (отмеченные на рисунке знаком ´), удаляются из области, если удаление элемента не ведет к нарушению связности области согласно определению восьмисвязности. Точки дуги удаляются лишь в том случае, если они являются концевыми точками дуги, и их удаление не приводит к исчезновению области. Алгоритм заканчивает свою работу, когда остается единственный элемент.

Работа простого алгоритма утончения иллюстрируется на рис. 3.4 (а) на примере утончения объекта прямоугольной формы. На первом шаге первого этапа работы алгоритма граничные элементы с левой стороны объекта, обозначенные буквой L, удаляются, если они не являются точками дуги и их удаление не ведет к нарушению восьмисвязности. На втором шаге удаляются граничные элементы с правой стороны объекта, обозначенные буквой R, если соблюдаются такие же условия, как и для левых граничных точек. Затем процесс удаления повторяется для верхних (Т) и нижних (В) граничных точек, которые удаляются, если они не являются точками дуги и их удаление не ведет к нарушению восьмисвязности. После четырех шагов первого этапа работа алгоритма повторяется до тех пор, пока нельзя будет удалить ни один элемент без нарушения связности. На рис. 3.4 (б и в) приведены примеры, иллюстрирующие работу этого алгоритма применительно к области неправильной формы, ориентированной вертикально и горизонтально. Результаты получаются различные вследствие заданной последовательности выполнения шагов.

Чтобы выразить структурные соотношения  сложных объектов в сцене, часто  оказывается достаточным представление объектов в виде остова, или каркаса. Ясно, что остов большинства объектов, как правило, можно представить значительно эффективнее, чем сам объект. Один из подходов к получению остова заключается в утончении объекта до тех пор, пока не будет получена цепочка элементов с минимальной связностью. Недостаток этого подхода состоит в том, что остов определяется неоднозначно; форма получающейся в результате фигуры обычно сильно зависит от алгоритма утончения.

 

 

 

 

 Рис. 3.3. Примеры работы алгоритма сжатия

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.4. Примеры работы алгоритма утончения

 

Рассмотрим способ получения остова, названный преобразованием к  срединным осям, который для каждого  заданного объекта дает однозначный  результат. Интуитивное определение такого преобразования основывается на аналогии со “степным пожаром”. Рассмотрим изображенные на рис. 3.5 области круглой и прямоугольной формы и представим себе, что это участки земли, покрытые высохшей травой. Если бы огонь возник одновременно по всему периметру участков, то он распространялся бы к их центрам до тех пор, пока не сгорела бы вся трава. В случае круглой области огонь распространялся бы к центру круга, который представляет собой точку самогашения огня. Для прямоугольной области огонь распространялся бы с каждой стороны. По мере продвижения огня слева и сверху линии огня будут встречаться, и пожар будет затухать. Геометрическое место точек самогашения огня образует линию самогашения. Точки или линии самогашения называются срединными осями или остовом фигуры. Вообще срединоосный остов состоит из множества точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от двух ближайших к ним точек на границе фигуры. Это расстояние называется расстоянием самогашения фигуры. Границу фигуры можно восстановить по ее срединоосному остову и расстоянию самогашения. Эта граница есть огибающая окружностей с радиусом, равным расстоянию самогашения, с центрами в каждой точке срединоосного остова.

 

Рис. 3.5. Примеры преобразования к срединным осям:

а – круг;

б – прямоугольник

1.2.4. Эрозия, наращение, размыкание и замыкание

Пусть есть множественное представление двоичного входного изображения, и пусть есть компактное множество малого размера и простой формы (например, d-мерная сфера). Множество В называется структурирующим элементом. Пусть выражает векторный перенос X на . Фундаментальными морфологическими операторами для множеств являются наращение (dilation) и эрозия (erosion) – X с помощью В, которые определяются как

, (3.1)

. (3.2)

Исходя из этих определений, можно  показать, что выход оператора  наращения представляет собой множество перенесенных точек, такое, что перенос отраженного структурирующего элемента образует непустое пересечение со входным множеством, то есть . Аналогично, выход оператора эрозии представляет собой множество перенесенных точек, такое, что перенесенный структурирующий элемент содержится во входном множестве.

Другие операторы могут быть определены как комбинации эрозии и  наращения. Например, 2 дополнительных фундаментальных оператора – размыкание (opening) и замыкание (closing) X с помощью В определяются как

, (3.3)

.  (3.4)

Для иллюстрации геометрического  поведения этих операторов полезно  рассмотреть такие двумерные  множества, как множество X и структурирующий элемент В, показанные в верхней части рис. 3.6. Этот рисунок иллюстрирует, что эрозия приводит к уменьшению множества X, а наращение – к его увеличению. Размыкание подавляет острые выступы и прорезает узкие перешейки в X, тогда как замыкание заполняет узкие заливы и малые отверстия, и таким образом . Следовательно, если структурирующий элемент В имеет регулярную форму, размыкание и замыкание можно рассматривать как нелинейную фильтрацию, которая сглаживает контуры входного сигнала. Ясно, что форма и размер структурирующего элемента определяют природу и степень сглаживания.

1.2.5. Описание линий

Прямолинейные и криволинейные  отрезки образуют структуру многих изображений. Для таких изображений математические соотношения между выделенными точками на границе объекта дают символическое описание изображения. Мы рассмотрим один из подходов к установлению математических соотношений – подбор кривых, основанный на их аппроксимации. Рассмотрим совокуп-ность точек (x_i, y_i) при i=0, 1, 2,..., M, взятых на границе двумерного объекта, как показано на рис. 3.7. Предположим, что эти точки упорядочены в том смысле, что точки (x_i, y_i) и (x_i+1, y_i+1) – ближайшие соседи вдоль границы. Если x_i+1 > x_i, то говорят, что эти точки находятся в функциональной связи. Аппроксимация кривой на множестве точек состоит в определении некоторой функции y=g(x), для которой ошибка аппроксимации, то есть мера отклонения совокупности исходных точек (x_i, y_i) от точек [x_i, g(x_i)], принимает минимальное значение. Если точки объекта находятся в функ-циональной связи, то ошибка аппроксимации обычно измеряется по координате y. Типичными ошибками аппроксимации являются:

абсолютная ошибка

,   (3.5)

квадратическая ошибка

,   (3.6)

максимальная ошибка

.  (3.7)

Для общего случая произвольно заданных точек объекта меры ошибки, заданные выражениями (3.5-3.7), часто оказываются бессмысленными. При этом ошибку, которая связана с каждой точкой (x_i, y_i), можно измерить расстоянием от этой точки до аппроксимирующей кривой по нормали к ней и, аналогично формулам (3.5-3.7), записать выражения для абсолютной, квадратической и максимальной ошибок. Минимизация получающейся в результате ошибки аппроксимации для общего случая обычно представляет собой довольно трудную задачу.

 

Рис. 3.6. Эрозия, наращение, размыкание, замыкание Х (двоичного изображения “острова”) с помощью диска В, сцентрированного относительно начала координат

 

 

Рис. 3.7. Точки, взятые на границе объекта:

а – точки объекта;

б – точки, находящиеся в функциональной связи

Среди наиболее часто используемых способов аппроксимации кривых для  функционально связанных экспериментальных  точек следует указать кусочно-полиномиальную аппроксимацию. В этом случае аппроксимирующая функция имеет вид:

, (3.8)

где  – коэффициенты полинома. Подстановка эксперимен-тальных точек в выражение (3.8) приводит к соотношению в векторной форме

 

, (3.9)

которое можно записать в компактном виде

.  (3.10)

Для ошибки по критерию наименьших квадратов 

 (3.11)

оптимальный набор коэффициентов  полинома получается из уравнения

. (3.12)

При М>N, то есть когда число экспериментальных точек превышает число коэффициентов полинома, псевдообратная матрица вычисляется по формуле

  (3.13)

при условии, что все экспериментальные  точки x различны. В случае линейной аппроксимации требуется определить лишь коэффициенты a₀ и a₁. В противоположном крайнем случае, когда функция представляет собой полином n-ого порядка, имеет место  

равенство , и уравнение (3.10) справедливо для каждой 
экспериментальной точки; аппроксимирующий полином проходит через каждую экспериментальную точку. В этом случае интерполирующий полином единственный, но его можно представить и подсчитать различным образом, например, по формулам интерполяции Лагранжа, Ньютона, Эйткена.

1.2.6. Описание формы

Прямые и кривые линии  можно рассматривать как простейшие элементы более крупных структур, например, таких, как прямоугольники, треугольники, окружности и пятна произвольной формы. Эти структуры затем можно описать и проанализировать с помощью характеристик их формы: метрических и топологических.

Метрические характеристики изображения основаны на измерении  расстояния между точками на его  плоскости. Расстояние – это вещественная функция d [(x_i, y_i), (x_j, y_j)] двух точек (x_i, y_i) и (x_j, y_j), обладающая следующими свойствами:

,  (3.14)

,  (3.15)

  (3.16)

Известно довольно много  функций, удовлетворяющих условиям (3.14-3.16). Большинство обычных метрик, встречающихся в задачах анализа изображений, имеет следующий вид:

евклидово расстояние

,  (3.17)

 

абсолютное расстояние

,  (3.18)

максимальное расстояние

.   (3.19)

В случае дискретного  изображения разности координат x_i – x_j и y_i – y_j представляют собой целые числа, а евклидово расстояние обычно не целочисленно. Это обстоятельство неизбежно ведет к ошибке вследствие округления или усечения числа при цифровой обработке.