Актуарные расчеты в страховании жизни и пенсионном страховании

      МОСКОВСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ 

      ИНСТИТУТ  ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ 

      КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

        И ЭКОНОМЕТРИКИ 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Лабораторная  работа

      по дисциплине  
 

      «Актуарные расчеты в страховании жизни

      и пенсионном страховании» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

МОСКВА 2010

Лабораторная  работа №1 

Вариант Q41163LF 

     Неотъемлемой  частью предлагаемого страховщиками  спектра услуг является личное страхование. Объектами личного страхования  являются жизнь, здоровье, трудоспособность человека. Личное страхование подразделяется на страхование жизни и страхование от несчастных случаев. Несомненно, жизнь или смерть не может быть объективно оценена, но страхователь, заключив договор личного страхования, попытается предотвратить материальные трудности, с которыми может столкнуться он сам в случае потери трудоспособности или его семья в случае его смерти.

     В данном разделе рассмотрено построение таблицы смертности для сельского населения женского пола Саратовской области за 1994г. Далее представлен расчет страховых тарифов для разных видов страхования с разным периодом действия договоров. Выполнен сравнительный анализ:

• для кого обходится дороже тот или иной договор,
• что предпочтительнее: единовременная или ежегодная уплата взносов,
• как меняется цена договора с возрастом и т.д.;

с указанием  причин этого.

1. Определение возрастного  интервала для  исследования

     В данном параграфе для выбора исследуемого возрастного интервала сельских женщин Саратовской области построим кривую смертности. 

Рис. 1. Число умирающих женщин в возрасте х лет из 100000 родившихся. 

     Рис. 1. иллюстрирует, что кривая смертности выглядит вполне стандартным образом, существует локальный экстремум который объясняется последствиями войны. На этой кривой можно продемонстрировать основные закономерности.

     Построим  ещё один график, чтобы определить верхнюю границу возрастного  интервала.

     Рис. 2.. Вероятность умереть в данном возрасте для женщин. 

     На  рис. 2. проиллюстрировано, что с возраста 80 лет начинается существенное экспоненциальное увеличение вероятности умереть, из чего следует, что наибольший риск у страховщика будет при страховании (на случай смерти) лиц старше 80 лет. Этим объясняется наличие возрастных ограничений в страховой практике. Таким образом, целесообразно ограничить исследуемый возрастной интервал участком от 20 до 80 лет.

2. Расчёт тарифных ставок для женского населения сельских районов Саратовской области.

     Построим  графики нетто-ставок для основных видов страхования при сроке  страхования 10 лет и процентной ставке и сравним полученные результаты (е.с.с. – единица страховой суммы). 

Рис. 3. Единовременные нетто-ставки для основных видов

договоров страхования жизни.

     Рис. 3. иллюстрирует, что нетто-ставки возрастают по всем трём договорам на случай смерти с увеличением возраста клиента (в договоре смешанного страхования тоже присутствует составляющая договора страхования жизни на срок), что объясняется увеличением вероятности смерти застрахованного (см. рис. 2.). Надо заметить, что страхование жизни на срок гораздо дешевле пожизненного страхования, но с увеличением возраста страхователя эта разница сокращается.

     На  рис. 3 можно увидеть, что рост нетто-ставки по договору пожизненного страхования и договору страхования жизни на срок с увеличением возраста страхователя происходит по разному, у первого почти линейно, а у второго – по некоторой экспоненте. Можно заметить, что при экспоненциальном росте нетто-ставки растут подобно росту на рис. 2. При пожизненном страховании играет не такую важную роль.

     Нетто-ставки по договору на дожитие с увеличением возраста страхователя уменьшаются, так как растёт , а это означает, что вероятность страхователя умереть до следующего года с каждым годом увеличивается. 

     Рис. 4. Ежегодные нетто-ставки для основных видов договоров страхования. 

     Как видно из рис. 4., если перейти к ежегодным нетто-ставкам, то ситуация с договорами страхования жизни меняется. Увеличение стоимости договора пожизненного страхования принимает экспоненциальный характер.

     В других договорах принципиальная картина  поведения нетто-ставок с увеличением  возраста страхователя не изменилась. 

     Теперь  проанализируем договоры страхования  и ставки по ним в численном  выражении 
 
 
 

     Таблица 1.

     Сокращённая расчётная таблица (

     Выполнив  расчеты тарифов для сельского населения женского пола в Саратовской области, построив графики и таблицы, и проанализировав полученные данные, можно сделать следующие выводы:

1. при страховании на дожитие на срок 10 лет единовременная нетто-премия уменьшается с 0, 639 е. с. с. для 20-летнего страхователя до 0, 163 е. с. с. для 80-летнего страхователя, т. е. нетто-премия уменьшается на 74,4% , что можно объяснить увеличением вероятности умереть до окончания срока действия договора. Сумма ежегодных взносов при страховании на дожитие на срок 10 лет (для 20-летнего страхователя е.с.с.) больше единовременного взноса по такому же договору (0,639 е.с.с.) на 16,6%, что объясняется недополучением дохода от процентов. Из этого можно сделать вывод, что если у страхователя имеется необходимая сумма, то дешевле будет заключить договор с единовременной уплатой взноса.
2. при пожизненном страховании на случай смерти, выплаты в конце года смерти, наблюдается противоположная картина, при единовременной уплате взноса нетто-премии выросли с 0, 1147 е.с.с. для 20-летнего до 0, 7349 е.с.с. для 80-летнего (в 6,4раза).

          В соответствии с актуарной теорией, можно заметить, что номинальная сумма всех годичных взносов превышает размер единовременного страхового взноса, так как при расчёте годичных тарифов учитывается недоплата взносов за счёт смертности среди страхователей и недополучения дохода от процентов. Рассмотрим на примере, в каком возрасте для 20-летнего страхователя стоимость договора с ежегодными взносами станет выше стоимости договора с единовременной уплатой взноса: 

Рис. 5. Сравнение стоимости договора пожизненного страхования

при единовременной и ежегодной уплате взносов. 

      На  рис. 5 видно, что у 20-летнего страхователя уже к 39 годам стоимость договора пожизненного страхования с ежегодной уплатой взносов станет больше стоимости такого же договора, но с единовременной уплатой взноса. Это позволяет дать те же рекомендации: при наличии суммы для единовременной уплаты взноса по такому договору лучше заключить договор пожизненного страхования на случай смерти с единовременной уплатой взноса.

3. при страховании жизни на случай смерти на срок 10 лет, выплаты сразу после смерти, при единовременной уплате взноса нетто-премии выросли с 0,0067 е.с.с. для 20-летнего страхователя до 0,614 е.с.с.,  для 80-летнего страхователя, что объясняется увеличением вероятности смерти застрахованного в период срока действия договора.
4. при смешанном страховании жизни на срок 10 лет, в случае смерти выплаты сразу, при единовременной уплате взносов нетто-премии возросли с 0,645 е.с.с. для 20-летнего страхователя до 0,778 е.с.с. для 80-летнего страхователя (на 20,5%). «Удорожание» такого договора объясняется несколькими причинами:

• высокая начальная цена составляющей договора страхования на дожитие;

• высокая конечная цена составляющей договора страхования на случай смерти, выплаты сразу после смерти;
• в случае ежегодных нетто-премий учитывается риск недополучения премий из-за возможной смерти застрахованного в период действия договора.

3. Изменение срока действия договора страхования

     Изменим срок страхования на лет, построим сокращённую таблицу и посмотрим, как это изменение отразилось на тарифных ставках.

     Таблица 2. 

     По  найденным значениям нетто-ставок построим сравнительный график: 

Рис. 6. Единовременные нетто-ставки по основным видам договоров  страхования на срок 10 и 15 лет. 

     Проанализировав таблицу 2. и рис. 6, можно сделать следующие выводы:

• изменение срока действия договора никаким образом не отражается на нетто-ставках по договору пожизненного страхования на случай смерти;
• увеличение срока страхования на дожитие привело к снижению нетто-ставок (на 20,33% для 20-летнего страхователя и на 77,09% для 80-летнего страхователя), но в случае с 80-летним страхователем такая маленькая нетто-премия объясняется очень большой вероятностью умереть в период срока действия договора;
• при страховании на случай смерти на срок n лет (выплаты сразу после смерти) стоимость договоров возросла (страховщик несет ответственность на дополнительном временном интервале). Разница в стоимости договоров с разным сроком страхования (10 и 15 лет, соответственно) при единовременной уплате взноса для 20-летнего составила 61,8%, а для 80-летнего разность составила 17,31% (т.к. вероятность умереть в течение срока действия договора весьма близка к 1, и стала еще ближе);
• при смешанном страховании на срок n лет с увеличением срока страхования нетто-премии уменьшились на 19,49% для 20-летнего страхователя и на 2,53% для 80-летнего.

          Проанализируем изменение нетто-ставки  в различных договорах при  ежегодной уплате взноса: 

Рис. 7. Ежегодные нетто-ставки по основным видам договоров

страхования на срок 7,9 и 11 лет. 

     Проанализировав таблицу 2. и рис.5. можно сделать следующие  выводы:

• увеличение срока страхования на дожитие при ежегодной уплате взносов также привело к снижению нетто-ставок (на 41,18% для 20-летнего страхователя и на 79,05% для 80-летнего страхователя). Видно, что для 20-летнего страхователя ежегодная нетто-ставка снизилась более существенно, чем единовременная (различие около 20% );
• при смешанном страховании на срок n лет с увеличением срока страхования при ежегодной уплате взносов нетто-ставки уменьшились на 40,55% для 20-летнего страхователя (риск страховщика меняется существенно) и на 10,84% для 80-летнего (риск страховщика практически не меняется).

4. Изменение процентной ставки.

     Изменим процентную ставку на , построим сокращённую таблицу и посмотрим, как это изменение отразилось на тарифных ставках.

     Таблица 3. 

     Сокращённая расчётная таблица (

     Сравнивая таблицу 3. с таблицей 1., отмечаем, что  во всех договорах с увеличением  процентной ставки уменьшаются нетто-ставки. Оценим существенность влияния этого  фактора в различных договорах. Для этого построим вспомогательную  таблицу. 
 
 
 
 
 

     Таблица 4.

     Относительные изменения, в %.

     Проанализировав таблицу 4. можно отметить, что увеличение процентной ставки наиболее существенно  отразилось на договоре пожизненного страхования на случай смерти, где для 20-летнего страхователя тариф снизился на 59,97%.

     Однако, если проанализировать влияние процентной ставки на договор страхования на дожитие на срок, то характер этого влияния сохраняется при изменении возраста страхователя. Проиллюстрируем на графике изменение нетто-ставок для договоров при единовременной уплате взноса: 

Рис. 8. Единовременные нетто-ставки по основным видам договоров  страхования на срок 10 лет при  разной процентной ставке.

     Уменьшение  нетто-ставок при увеличении процентной ставки объясняется тем, что страховщик закладывает в тариф большую доходность от вложенных средств. Резонно предположить, что при уплате взносов в рассрочку влияние исследуемого фактора несколько снизится (страховщик получит от клиента меньше денег, на меньший срок, и возникнет риск недополучения последних взносов).

5. Сравнительная характеристика выплат в договорах 

страхования жизни на разные сроки

     На  практике, некоторые страхователи могут  задаться вопросом, как лучше страховаться: - одним договором на 20 лет, или, например, - двумя договорами по 10 лет. Естественно, это актуально лишь для договоров страхования на дожитие на срок n лет, так как только в этих договорах страхователь получает выплату, если доживёт до конца срока действия договора. Рассмотрим эту задачу, построив таблицу для договоров при единовременной уплате взносов для возрастов 20, 30, 40 и 50 лет, с целью анализа устойчивости отмеченного эффекта для любого возраста. 

     Таблица 5. 

     Сокращённая расчётная таблица (

     Единовременные  нетто-премии

     Таблица 6. 

     Сравнение 2-х договоров страхования по 10 лет с одним на 20 лет

     Стоимости договоров