Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Дифференциальные уравнения. 4

Содержание

Список заданий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Задание 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Задание 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Задание 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Задание 4.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Задание 5.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Задание 6.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Задание 7.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Условия заданий

1. Найти особые точки системы. Определить их тип. Построить схематически фазовый портрет в окрестности каждой особой точки:

2. Найдя первый интеграл, изобразить фазовый портрет уравнения на плоскости :

3. Исследовать устойчивость нулевого решения, пользуясь критерием Рауса-Гурвица или Льенара-Шипара:

4. Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева:

5. С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость все состояния равновесия системы:

6. Используя теорему Пуанкаре-Бендиксона, доказать существование цикла у системы:

7. Методом Пуанкаре найти приближенно периодические решения данного уравнения:

Задание 1

Найти особые точки системы. Определить их тип. Построить схематически фазовый портрет в окрестности каждой особой точки:

Решение:

Для начала, найдём особые точки системы, для чего решим следующую систему уравнений:

(1)

Выразим из второго уравнения x:

(2)

Подставим x в первое уравнение:

По формулам Виета, решениями этого уравнения будут:

Подставив y₁ и y₂ в уравнение (2), получим:

В итоге получаем следующие решения системы (1):

Итак, особыми будут точки: M₁(1,4), M₂(4,1).

Для того чтобы определить тип особых точек, составим для исходной системы матрицу Якоби:

1. Для точки M₁(1,4) матрица A₁ имеет вид . Найдём собственные значения матрицы A₁:

Так как собственные значения матрицы A₁ положительны, то особая точка M₁(1,4) является точкой типа «неустойчивый узел».

Построим фазовый портрет в окрестностях данной особой точки. Для этого найдём собственные векторы, соответствующие полученным собственным значениям матрицы A₁. Имеем:

Так как точка M₁(1,4) неустойчивый узел, то есть 0<λ₂<λ₁. По теореме 1.3.2[1], в направлении собственного вектора, соответствующего λ₂, проведем через точку M₁ прямую Р, а в направлении собственного вектора, соответствующего λ₁ – прямую Q. Оказывается, что все траектории, начинающиеся достаточно близко от точки M₁, асимптотически приближаются при к точке M₁ и имеют в этой точке касательную. При этом только две траектории входят в точку M₁ по касательной к прямой Q, а остальные – по касательной к прямой Р, как показано на рисунке:

Для доказательства правильности рисунка, построим фазовый портрет с помощью математического пакета Maple (текст программы см. в приложениях):

2. Для точки M₂(4,1) матрица A₂ имеет вид . Найдём собственные значения матрицы A₂:

Так как собственные значения матрицы A₂ положительны, то особая точка M₂(4,1) является точкой типа «седло».

Построим фазовый портрет в окрестностях данной особой точки. Для этого найдём собственные векторы, соответствующие полученным собственным значениям матрицы A₂. Имеем:

Пусть Р – прямая, проходящая через точку M₂(4,1) в направлении собственного вектора матрицы A₂, соответствующего отрицательному собственному значению λ₁, а Q – прямая, проходящая через точку M₂(4,1) в направлении собственного вектора матрицы A₂, соответствующего положительному собственному значению λ₂. Тогда, по теореме 1.3.1[1], существуют ровно две траектории и исходной системы, которые при асимптотически приближаются к точке M₂(4,1). Эти две траектории вместе с точкой О образуют непрерывно дифференцируемую кривую, касающуюся прямой Р в точке M₂(4,1). Точно также существуют ровно две траектории и , которые при асимптотически приближаются к точке M₂(4,1), касаясь при этом прямой Q. Остальные траектории в окрестности точки M₂(4,1) ведут себя так, как показано на рисунке. Траектории и – устойчивые усы седла, траектории и – неустойчивые усы седла.

Для доказательства правильности рисунка, построим фазовый портрет с помощью математического пакета Maple(текст программы см. в приложениях):

Задание 2

Найдя первый интеграл, изобразить фазовый портрет уравнения на плоскости :

Решение:

Для того чтобы найти первый интеграл, умножим уравнение на :

Тогда этому уравнению можно придать следующий вид:

Таким образом, первый интеграл исходного уравнения имеет вид:

Исследуем функцию

U(x) – чётная;

Найдём нули (точки покоя):

Найдём минимум и максимум, для этого исследуем :

Критические точки:

Функция U(x) возрастает, когда <0: при , а убывает, когда >0: при .

Изображение фазового портрета на плоскости приведено ниже:

Для доказательства правильности рисунка, построим фазовый портрет с помощью математического пакета Maple(текст программы см. в приложениях):

Проверим асинхронность движения. Для этого нужно проследить связь между E и T. По формуле:

m=1, а x_max и x_min можно найти с помощью уравнения:

Подставим U(x):

Выразим x через E:

Пусть , тогда:

; выберем t, меньшее по модулю, тогда , а . Тогда T будет равен:

Возьмём 5 значений E от 0, до 0.125: 0.025, 0.05, 0.075, 0.1, 0.125.

E=0.025

> int((sqrt(2))/(sqrt(0.025-(x^2)/2+(x^4)/2)),x=-(sqrt(1-sqrt(1-8*0.025)/2))..sqrt(1-sqrt(1-8*0.025)/2));

_5.282769397

_E=0.05

> int((sqrt(2))/(sqrt(0.05-(x^2)/2+(x^4)/2)),x=-(sqrt(1-sqrt(1-8*0.05)/2))..sqrt(1-sqrt(1-8*0.05)/2));

_6.898717603

_E=0.075

> int((sqrt(2))/(sqrt(0.075-(x^2)/2+(x^4)/2)),x=-(sqrt(1-sqrt(1-8*0.075)/2))..sqrt(1-sqrt(1-8*0.075)/2));

_7.405048485

_E=0.1

> int((sqrt(2))/(sqrt(0.1-(x^2)/2+(x^4)/2)),x=-(sqrt(1-sqrt(1-8*0.1)/2))..sqrt(1-sqrt(1-8*0.1)/2));

_8.301433609

_E=0.125

> int((sqrt(2))/(sqrt(0.125-(x^2)/2+(x^4)/2)),x=-(sqrt(1-sqrt(1-8*0.125)/2))..sqrt(1-sqrt(1-8*0.125)/2));

_9.481965216

_{Для
наглядности построим
таблицу:}

Е	0.025	0.05	0.075	0.1	0.125
Т(Е)	_5.282769397	_6.898717603	_7.405048485	_8.301433609	_9.481965216

_{График
зависимости T от
E:}

_{Как
видно, при разных
E период разный, значит
движение асинхронное.}

Задание 3

3. Исследовать устойчивость нулевого решения, пользуясь критерием Рауса-Гурвица или Льенара-Шипара:

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

(1)

где

Матрица Гурвица для данного полинома имеет вид:

Так как для полинома (1) все его коэффициенты положительны, то для исследования устойчивости воспользуемся критерием Льенара-Шипара, согласно которому, для того, чтобы полином с действительными коэффициентами был полиномом Гурвица (то есть, чтобы все его нули имели отрицательные вещественные части), необходимо и достаточно, чтобы все его коэффициенты были положительны, и все диагональные миноры нечетного порядка матрицы Гурвица были положительны (см. теорему 2.3.4[1]).

Вычислим теперь миноры нечетного порядка:

Все коэффициенты полинома (1) положительны, но не выполняется условие, что все диагональные миноры нечётного порядка больше нуля (). Следовательно, по критерию Льенара-Шипара, полином (1) не является полиномом Гурвица, то есть не все его корни имеют отрицательные вещественные части. Это противоречит теореме о том, что линейная однородная система с постоянными коэффициентами асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы имеют отрицательные вещественные части. Значит, нулевое решение не является асимптотически устойчивым (см. теорему 2.3.1[1]).

Чтобы убедиться в правильности наших выводов, найдём корни полинома (1) с помощью математического пакета Maple:

Как видно выше, получили два собственных значения с положительной вещественной частью, значит полином (1) не является полиномом Гурвица (см. определение 2.3.1[1]). Также, согласно теореме о том, что если хотя бы одно собственное значение матрицы линейной однородной системы с постоянными коэффициентами имеет положительную вещественную часть, то эта система вполне неустойчива (все ее решения неустойчивы) (см. теорему 2.3.1[1]), заключаем, что нулевое решение неустойчиво.

Задание 4

Решение:

Здесь, очевидно, x=0, y=0 – положение равновесия системы. Для исследования его на устойчивость, рассмотрим функцию . Производная этой функции в силу рассматриваемой системы будет следующей:

Подберём коэффициенты a и b так, чтобы скобка была всегда положительна. Пусть , а , тогда функция и её производная примут следующий вид:

Как видно, при любых x и y; в выделенной области. Значит, выполнены все условия теоремы Четаева (см. теорему 2.4.4[1]), и, следовательно, состояние равновесия неустойчиво по Ляпунову.

Построенный ниже рисунок с помощью математического пакета Maple подтверждает неустойчивость:

> with(DEtools):with(plots):

> DEplot([diff(x(t),t)=-x(t)*y(t)^4,diff(y(t),t)=x(t)^4*y(t)], [x(t), y(t)], t = 0 ..1000, x = -0.15 .. 0.5, y = -.1 ..0.1, [[x(0) = -0.1, y(0) = 0.1]], arrows = MEDIUM, linecolour = black, stepsize = 0.4e-1);

Задание 5

Решение:

Для нахождения состояний равновесия решим систему уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе:

Подставим y в первое уравнение:

В итоге, получим:

Таким образом, система имеет два состояния равновесия: M₁(0,0) и M₂(1,2).

Составим матрицу Якоби системы:

1. Для точки M₁(0,0) матрица Якоби имеет вид:

Найдём собственные значения матрицы:

Так как один из корней характеристического уравнения имеет положительную действительную часть, то по теореме Ляпунова о неустойчивости по первому приближению (см. теорему 2.5.2[1]) состояние равновесия в точке M₁(0,0) исходной системы неустойчиво по Ляпунову.

Для доказательства с помощью математического пакета Maple построим фазовый портрет рассматриваемой системы в окрестности начала координат:

> with(DEtools): DEplot([diff(x(t), t)=y(t)-x(t)^2-x(t), diff(y(t), t)=3*x(t)-x(t)^2-y(t)], [x(t), y(t)], t=-10..10, [seq(seq([x(0)=(-1)^i*i/6,y(0)=(-1)^j*j/6],i=1..8),j=1..8),seq(seq([x(0)=(-1)^i*i/6,y(0)=(-1)^(j+1)*j/6],i=1..8),j=1..8)], scene = [x(t), y(t)], x=-0.5..0.5, y=-0.5..0.5,stepsize = 0.01, linecolor=BLACK, color=BLACK,arrows = SMALL);

2. Для точки M₂(1,2) матрица Якоби имеет вид:

Найдём собственные значения матрицы:

Так как все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, то по теореме Ляпунова о устойчивости по первому приближению (см. теорему 2.5.1[1]) состояние равновесия в точке M₂(1,2) исходной системы асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Для доказательства с помощью математического пакета Maple построим фазовый портрет рассматриваемой системы в окрестности точки M₂(1,2):

> with(DEtools): DEplot([diff(x(t), t)=y(t)-x(t)^2-x(t), diff(y(t), t)=3*x(t)-x(t)^2-y(t)], [x(t), y(t)], t=-10..10, [seq(seq([x(0)=1+(-1)^i*i/6,y(0)=2+(-1)^j*j/6],i=1..8),j=1..8),seq(seq([x(0)=1+(-1)^i*i/6,y(0)=2+(-1)^(j+1)*j/6],i=1..8),j=1..8)], scene = [x(t), y(t)], x=0.5..1.5, y=1.5..2.5,stepsize = 0.01, linecolor=BLACK, color=BLACK,arrows = SMALL);

Задание 6

6. Используя теорему Пуанкаре-Бендиксона, доказать существование цикла у системы:

Решение:

Найдём положение равновесия системы:

(1)

Сложив первое уравнение со вторым, получим:

Так как при любых x и y , то уравнение будет верно только тогда, когда оба слагаемых будут равны нулю. Решим следующую систему уравнений:

Значит, x=0, y=0 – единственное положение равновесия системы (1).

Составим матрицу Якоби системы (1):

Вычислим Якобиан в точке покоя (0,0):

Найдём её собственные значения:

Так как вещественная часть всех корней больше нуля, то матрица антигурвицева.

Докажем, что система (1) диссипативна. Для этого составим матрицу её линейной части:

Найдём собственные значения матрицы B:

Так как вещественная часть всех корней меньше нуля, то матрица B – гурвицева.

Теперь покажем, что вектор-столбец , координатами которого является нелинейная часть системы (1), ограничен.

Рассмотрим функцию f(x,y), равную модулю вектора :

Исследуем функцию, где , . Тогда

1. О.О.Ф.: .

2. Точка пересечения с осями одна: (0,0).

3. С помощью производной легко найти промежутки возрастания и убывания: на промежутке возрастает, а на убывает. Таким образом, точка с координатами – максимум ().

График этой функции, подтверждающий правильность нашего исследования, построен с помощью математического пакета Maple:

> plot(exp(-t)*sqrt(t), t, f, color = black);

Из исследования видно, что она ограничена, значит, ограничена и функция , а, следовательно, ограничен и вектор-столбец (это следует из ограниченности его модуля, функции ).

Получили, что матрица линейной части системы (1) гурвицева, а нелинейная часть этой системы ограничена. Тогда, по теореме о диссипативности системы [1, (2.8.1)], получаем, что исходная система (1) диссипативна по Левинсону.

Также мы выяснили, что исходная система (1) имеет единственное положение равновесия – , а все собственные значения матрицы Якоби этой системы при имеют положительные вещественные части.

Тогда, по теореме о существовании цикла у системы с единственным положением равновесия [1, (3.1.3)], получаем, что наша исходная система (1) имеет, по крайней мере, один цикл.

В доказательство полученного результата построим фазовый портрет системы (1), используя математический пакет MAPLE:

> with(DEtools):

> Deqn:=[diff(x(t),t)-2*x(t)+(y(t))/3+x(t)*exp(-x^2(t)-y^2(t)),diff(y(t),t)=-9*x(t)+y(t)+y(t)*exp(-x^2(t)-y^2(t))]:

> Inits:=[[x(0)=0,y(0)=-2],[x(0)=0,y(0)=2]]:

> DEplot(Deqn,[x(t),y(t)],t=0..10*Pi,Inits,x=-1..1,y=-4..4,stepsize=0.1,linecolor=[GREEN,BLUE]);

Задание 7

7. Методом Пуанкаре найти приближенно периодические решения данного уравнения:

Решение:

периодическое решение будем искать в виде ряда по степеням малого параметра, то есть в виде

, тогда

Подставим полученные ряды в исходное уравнение:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра в левой и правой частях последнего равенства:

…………………………………..

Как видно, существует два периодических решения: при . Рассмотрим случай, когда .

Так как , тогда уравнение примет вид:

Общее решение этого уравнение не является периодичным, поэтому сразу будем искать частное:

Дважды продифференцировав, получим:

Подставив, получаем:

Найдём x₂, подставив x₁ и x₀ в :

Будем искать решение в виде:

Дважды продифференцировав, получим:

Подставив, получаем:

Итак, приближенное периодическое решение имеет вид:

Используя пакет MathCAD, сравним полученное решение с решением исходного уравнения методом Рунеге-Кугга на периоде :

Рассмотрим случай, когда .

Так как , тогда уравнение примет вид:

Общее решение этого уравнение не является периодичным, поэтому сразу будем искать частное:

Дважды продифференцировав, получим:

Подставив, получаем:

Найдём x₂, подставив x₁ и x₀ в :

Будем искать решение в виде:

Дважды продифференцировав, получим:

Подставив, получаем:

Итак, приближенное периодическое решение имеет вид:

Приложения

Программы, приводимые ниже, написаны с использованием математического пакета Maple.

Приложение к заданию № 1.

> with(DEtools):

DEplot([diff(x(t),t)=1-y(t)+x(t)*(y(t)-1), diff(y(t),t)=x(t)*y(t)-4], [x(t),y(t)], t=-5..5, x=0.9..1.1, y=3.9..4.1,[seq(seq([x(0)=1+(-1)^i*i/40,y(0)=4+(-1)^k*k/40],i=1..4),k=1..4)], arrows=small, stepsize=0.1, color=black, linecolor=black);#точка(1,4)

> with(DEtools):

DEplot([diff(x(t),t)=1-y(t)+x(t)*(y(t)-1), diff(y(t),t)=x(t)*y(t)-4], [x(t),y(t)], t=-5..5, x=3.9..4.1, y=0.9..1.1,[seq(seq([x(0)=4+(-1)^i*i/40,y(0)=1+(-1)^k*k/40],i=1..4),k=1..4)], arrows=small, stepsize=0.1, color=black, linecolor=black);#точка(4,1)

Приложение к заданию № 2.

> plot((x^2)/2-(1/2)*x^4, x=-2..2, color=black);

with(DEtools):

DEplot([diff(x(t),t)=y(t), diff(y(t),t)=2*(x(t))^3-x(t)], [x(t), y(t)], t=-10..10,[seq(seq([x(0)=(-1)^i*i/3, y(0)=(-1)^k*k/3], i=1..3), k=1..3), seq(seq([x(0)=(-1)^(i+1)*i/3, y(0)=(-1)^(k+1)*k/3], i=1..3), k=1..3), seq(seq([x(0)=(-1)^i*i, y(0)=(-1)^k*k], i=1..3), k=1..3), seq(seq([x(0)=(-1)^(i+1)*i, y(0)=(-1)^(k+1)*k], i=1..3), k=1..3)], x=-2..2, y = -3..3, color=black, linecolor=black, stepsize = 0.1, arrows=small);

Список литературы

[1]Буркин И.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Методы интегрирования. Теория устойчивости. Теория колебаний. Тула: ТулГУ, 2004.

[2]Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 448 с.

[3] Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1979. - 128 с.

Дифференциальные уравнения. 4 📙 Контрольная → 🆔 27726