Имитационное моделирование. 2

Министерство образования и  науки Российской Федерации

федеральное государственное бюджетное  образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«Пермский национальный исследовательский  политехнический университет»

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Имитационное моделирование»

Вариант № 03

 

 

Выполнила студентка

Гуманитарного факультета

Заочного отделения

Группа ИЭ-09С

Костылева Ольга Викторовна

Проверил преподаватель:

Гоголева Т.В.

 

 

 

Пермь 2012 г.

Содержание

Задание № 1 3

Задание № 2 6

Задание № 3 7

 

 

Задание № 1

 

Определить площадь фигуры, заданной координатами вершин, методом Монте-Карло, проведя 20 испытаний. Оценить точность результата. Определить площадь фигуры аналитически и сравнить полученные результаты.

А(5;0),  B(2;3), C(10;18), D(15;15), E(20,5), F(10;0)

Нарисуем в двухмерных координатах  заданный шестиугольник, вписав его в прямоугольник, чья площадь составляет (20 – 2) · (18 – 0) = 324 (рис.1)

 

              
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               

Рис. 1 Иллюстрация к решению задачи о площади фигуры методом Монте-Карло

Используем таблицу случайных  чисел для генерации пар чисел R, G, равномерно распределенных в интервале от 0 до 1. Число R будет имитировать координату X (0 ≤ X ≤ 18), следовательно, X = 18 · R. Число G будет имитировать координату Y (0 ≤ Y ≤ 15), следовательно, Y = 15 · G. Сгенерируем по 10 чисел R и G и отобразим 10 точек (X; Y) на рис. 1 и в табл. 1

Таблица 1 
Решение задачи методом Монте-Карло

Номер точки

R

G

X

Y

Количество попаданий точки (X; Y) в  прямоугольник

Количество попаданий точки (X; Y) в  шестиугольник

Оценка вероятности попадания  случайной точки в испытуемую область

Оценка площади S методом Монте-Карло

1

0,9456

0,4150

18,912

7,470

1

0

0,00

162

2

0,3441

0,2779

6,882

5,002

2

1

0,50

108

3

0,0832

0,0308

1,664

0,555

3

1

0,33

162

4

0,5407

0,0384

10,814

0,690

4

2

0,50

194

5

0,4527

0,2042

9,054

3,676

5

3

0,60

216

6

0,3807

0,4554

7,615

8,197

6

4

0,67

231

7

0,8751

0,2393

17,502

4,307

7

5

0,71

203

8

0,7470

0,9217

14,939

16,591

8

5

0,63

180

9

0,3227

0,7759

6,455

13,966

9

5

0,56

162

10

0,7232

0,9440

14,464

16,993

10

5

0,50

147

11

0,3351

0,8217

6,701

14,791

11

5

0,45

162

12

0,8123

0,2130

16,246

3,834

12

6

0,50

150

13

0,0745

0,4435

1,490

7,983

13

6

0,46

162

14

0,1759

0,3659

3,518

6,586

14

7

0,50

173

15

0,3028

0,1434

6,056

2,582

15

8

0,53

162

16

0,2662

0,5779

5,323

10,402

16

8

0,50

172

17

0,5093

0,2303

10,187

4,146

17

9

0,53

162

18

0,8432

0,6452

16,864

11,613

18

9

0,50

171

19

0,6936

0,4398

13,872

7,916

19

10

0,53

178

20

0,4872

0,9587

9,745

17,257

20

11

0,55

162


 

Статистическая гипотеза заключается  в том, что количество точек, попавших в контур фигуры, пропорционально  площади фигуры: 11:20 = S:324. То есть, по формуле метода Монте-Карло, получаем, что площадь S пятиугольника равна: 324 · 11/20 = 178.

Поскольку в ответе все еще меняется значение второго разряда, то возможная  неточность составляет пока больше 10%. Точность расчета может быть увеличена с ростом числа испытаний.

Для аналитического расчета площади  фигуры можно использовать формулу  нахождения площади треугольника с  известными координатами вершин:

 

            
             
             
             
             
             
             
             
             
             
             
             
             

 

Пусть точки А1(2;3), А2(10;18), А3(5;0) – вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

Пусть точки А2(10;18), А3(5;0), А4(15;15) – вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

Пусть точки А3(5;0), А4(15;15), А5(10;0) – вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

Пусть точки А4(15;15), А5(10;0), А6(20;5) – вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

Общая площадь равна: 34,5+52,5+37,5+62,5 = 187

 

 

 

 

Задание № 2

 

Кафе быстрого питания может  обслужить 15 человек в час. Определить вероятность того, что за 0,5 часа:

  •   будут обслужены 5 человек.
  •   не будет обслужено ни одного человека
  •   обслужат хотя бы одного человека

(Поток является простейшим  Пуассоновским)

 

Интенсивность потока λ — это среднее число событий в единицу времени. Интенсивность потока можно рассчитать экспериментально по формуле: λ = N/Tн, где N — число событий, произошедших за время наблюдения Tн.

λ=15/1=15чел/час

Для простейшего  потока вероятность появления m событий за время τ равна:

 

Вероятность непоявления (то есть ни одного, m = 0) события за время τ равна:

Вероятность появления хотя бы одного события (PХБ1С) вычисляется так:

 

Задание № 3

 

Салон в среднем посещают 4 клиента  за час. Обслуживанием занимаются 2 мастера, первый в среднем обслуживает 1 клиента в час, а второй в среднем  обслуживает 2 клиента в час. В фойе рассчитано на ожидание очереди 2 клиентами. Сгенерируйте поток случайных событий. Проанализируйте временную диаграмму за время наблюдения 3 часа.

Определите:

  1. Вероятность обслуживания
  2. Пропускную способность системы
  3. Вероятность отказа
  4. Вероятность занятости одного канала
  5. Вероятность занятости двух каналов
  6. Среднее количество занятых каналов
  7. Вероятность простоя хотя бы одного канала
  8. Вероятность простоя двух каналов одновременно
  9. Вероятность простоя всей системы
  10. Вероятность того, что в очереди будет одна заявка
  11. Вероятность того, в очереди будет стоять одновременно две заявки
  12. Среднее время ожидания заявки в очереди
  13. Среднее время обслуживания заявки
  14. Среднее время нахождения заявки в системе

Построим  схему объекта моделирования

 

 

 

 

 

Построим временную диаграмму работы СМО, отражая на каждой линейке (ось времени t) состояние отдельного элемента системы. Временных линеек проводится столько, сколько имеется различных мест в СМО, потоков. В нашей задаче их 7 (поток заявок, поток ожидания на первом месте в очереди, поток ожидания на втором месте в очереди, поток обслуживания в канале 1, поток обслуживания в канале 2, поток обслуженных системой заявок, поток отказанных заявок).

Для генерации времени прихода  заявок используем формулу вычисления интервала между моментами прихода  двух случайных событий  


В этой формуле  величина потока λ должна быть задана (до этого она должна быть определена экспериментально на объекте как статистическое среднее),

r — случайное равномерно распределенное число от 0 до 1 из ГСЧ или таблицы случайных чисел, в которой случайные числа нужно брать подряд (не выбирая специально).

Сгенерируем поток из 15 случайных событий с интенсивностью появления событий 4 клиента/час. Для этого возьмем случайные числа, равномерно распределенные в интервале от 0 до 1, и вычислим их натуральные логарифмы.

Расчет  расстояния между случайными событиями  на первой линейке.

rрр[0; 1]

ln(rрр[0; 1])

Расстояние между двумя случайными событиями

Время, мин.

-

-

-

0

0,0333

-3,4022

0,85055

51:03

0,3557

-1,0337

0,25843

15:51

0,2172

-1,5269

0,38173

23:30

0,5370

-0,6218

0,15545

9:33

0,1958

-1,6307

0,40768

24:46

0,7003

-0,3562

0,08905

5:34

0,9499

-0,0514

0,01285

1:17

0,2748

-1,2917

0,32293

19:38

0,4443

-0,8113

0,20283

12:17

0,1090

-2,2164

0,55410

33:25

0,6982

-0,3592

0,6982

5:39

0,5643

-0,5722

0,5643

8:58

0,0415

-3,1821

0,0415

48:13

0,1652

-1,8006

0,1652

27:01

0,8155

-0,204

0,8155

3:06


Формула пуассоновского потока определяет расстояние между двумя случайными событиями следующим образом: t = –Ln(rрр)/λ. Тогда, учитывая, что λ = 4, имеем расстояния между двумя случайными соседними событиями: 0.85, 0.26, 0.38, 0.16 часа. То есть события наступают: первое — в момент времени t = 0, второе — в момент времени t = 0,85, третье — в момент времени t = 1,11, четвертое — в момент времени t = 1,49, пятое — в момент времени t = 1,65 и так далее. События — приход заявок отразим на первой линейке.

Берется первая заявка и, так как в этот момент каналы свободны, устанавливается  на обслуживание в первый канал. Заявка 1 переносится на линейку «Канал 1».

Время обслуживания в канале тоже случайное  и вычисляется по аналогичной  формуле:


где роль интенсивности  играет величина потока обслуживания μ1 или μ2 в зависимости от того, какой канал обслуживает заявку.

Расчет  расстояния между случайными событиями  на второй линейке, при условии, что μ1=1.

rрр[0; 1]

ln(rрр[0; 1])

Расстояние между двумя случайными событиями

Время, мин

-

-

-

0

0,6855

-0,3776

0,37760

23:06

0,7644

-0,2687

0,26870

16:12

0,8276

-0,1892

0,18920

11:35

0,9595

-0,0413

0,04130

2:48

0,2194

-1,5169

1,51690

1:31:01

0,4268

-0,8514

0,85140

51:08

0,9526

-0,0486

0,04860

3:32

0,8395

-0,1749

0,17490

10:49

0,9232

-0,0799

0,07990

5:19

0,8109

-0,2096

0,20960

12:58


 

Расчет  расстояния между случайными событиями  на третьей линейке, при условии, что μ1=2.

rрр[0; 1]

ln(rрр[0; 1])

Расстояние между двумя случайными событиями

Время, мин

-

-

-

51:03

0,451

-0,7963

0,3982

24:29

0,6048

-0,5029

0,2515

15:09

0,6617

-0,4129

0,2065

12:39

0,5997

-0,5113

0,2557

15:34

0,5492

-0,5993

0,2997

18:38

0,72

-0,3285

0,16425

10:26

0,114

-2,1716

1,08580

1:05:15

0,4062

-0,9009

0,45045

27:03

0,1214

-2,1087

1,05435

1:03:26

0,6713

-0,3985

0,19925

12:36


 

Если в некоторый момент окажется, что оба канала заняты, то следует  установить заявку в очередь. Заметим, что по условиям задачи в очереди  в отличие от каналов заявки находятся  не случайное время, а ожидают, когда  освободится какой-то из каналов. После  освобождения канала заявка поднимается  на линейку соответствующего канала и там организуется ее обслуживание.

Если все места в очереди  в момент, когда придет очередная  заявка, будут заняты, то заявку следует  отправить на линейку «Отказанные».

Процедуру имитации обслуживания заявок продолжают некоторое время наблюдения Tн. Чем больше это время, тем точнее в дальнейшем будут результаты моделирования. Реально для простых систем выбирают Tн, равное 50—100 и более часов, хотя иногда лучше мерить эту величину количеством рассмотренных заявок.

 

 

 

Временная диаграмма работы СМО

 

Анализ  временной диаграммы

Сначала нужно дождаться установившегося  режима. Откидываем первые четыре заявки как нехарактерные, протекающие  во время процесса установления работы системы. Измеряем время наблюдения, допустим, что в нашем примере  оно составит Tн = 3 часа. Подсчитываем из диаграммы количество обслуженных заявок Nобс., времена простоя и другие величины. В результате можем вычислить показатели, характеризующие качество работы СМО.

  1. Вероятность обслуживания: Pобс. = Nобс./N = 9/9 = 1. Для расчета вероятности обслуживания заявки в системе достаточно разделить число заявок, которым удалось обслужиться за время Tн (см. линейку «Обслуженные») Nобс., на число заявок N, которые хотели обслужиться за это же время.
  2. Пропускная способность системы: A = Nобс./Tн = 9/3 = 3 [клиента/час]. Для расчета пропускной способности системы достаточно разделить число обслуженных заявок Nобс. на время Tн, за которое произошло это обслуживание (см. линейку «Обслуженные»).
  3. Вероятность отказа: Pотк. = Nотк./N = 0/9 = 0. Для расчета вероятности отказа заявке в обслуживании достаточно разделить число заявок Nотк., которым отказали за время Tн (см. линейку «Отказанные»), на число заявок N, которые хотели обслужиться за это же время.
  4. Вероятность занятости одного канала: P1 = Tзан./Tн = 1,05/3 = 0,35 где Tзан. — время занятости только одного канала (первого или второго). Измерениям подлежат временные отрезки, на которых происходят определенные события. Например, на диаграмме ищутся такие отрезки, во время которых заняты или первый или второй канал. В данном задании есть шесть таких отрезков общей длиной 0,15+0,08+0,07+0,2+0,28+0,27=1,05 часа.
  5. Вероятность занятости двух каналов: P2 = Tзан./Tн = 1,67/3 = 0,56. На диаграмме ищутся такие отрезки, во время которых одновременно заняты и первый, и второй канал. В данном задании есть пять таких отрезков общей длиной 0,1+0,15+0,27+0,77+0,38=1,67 часа. Доля продолжительности этих событий в общем времени рассмотрения (Tн = 3 часа) определяется делением и составляет искомую вероятность занятости.
  6. Среднее количество занятых каналов: Nск = 0 · P0 + 1 · P1 + 2 · P2 = 0,35+ 2*0,56 = 1,47. Чтобы подсчитать, сколько каналов занято в системе в среднем, достаточно знать долю (вероятность занятости одного канала) и умножить на вес этой доли (один канал), знать долю (вероятность занятости двух каналов) и умножить на вес этой доли (два канала) и так далее. Полученная цифра 1,47 говорит о том, что из возможных двух каналов в среднем загружено 1,47. Показатель загрузки –  73,5%.
  7. Вероятность простоя хотя бы одного канала: P*1 = Tпростоя1/Tн = 1,05/3=0,35.
  8. Вероятность простоя двух каналов одновременно: P*2 = Tпростоя2/Tн = 0,15.
  9. Вероятность простоя всей системы: P*c = Tпростоя сист./Tн = 0,18.
  10. Вероятность того, что в очереди будет одна заявка: P1з = T1з/Tн = 0,3/3 = 0,1 (всего на диаграмме два таких отрезка, в сумме дающих 0,3 часа).
  11. Вероятность того, в очереди будет стоять одновременно две заявки: P2з = T2з/Tн = 0,07/3 = 0,02 (всего на диаграмме один такой отрезок, в сумме дающий 0,07 часа).
  12. Среднее время ожидания заявки в очереди:

 


  1. Среднее время обслуживания заявки:


 

  1. Среднее время нахождения заявки в системе: Tср. сист. = Tср. ож. + Tср. обсл. = 0,18+ 0,26 = 0,44 .

 

 


Имитационное моделирование. 2 📙 Контрольная → 🆔 35278

Имитационное моделирование. 2 📙 Контрольная → 🆔 35278