Имитационная модель Монте-Карло

Имитационная  модель Монте-Карло 
 

 Датой рождения  метода Монте-Карло принято считать  1949 г., когда появилась статья  под названием "The Monte Carlo method". Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. В СССР первые статьи о методе Монте-Карло были опубликованы в 1955-1956гг.

 Любопытно, что  теоретическая основа метода  была известна давно. Более  того, некоторые задачи статистики  рассчитывались иногда с помощью  случайных выборок, т. е. фактически  методом Монте-Карло. Однако до  появления электронных вычислительных  машин (ЭВМ) этот метод не  мог найти сколько-нибудь широкого  применения, ибо моделировать случайные  величины' вручную-очень трудоемкая работа. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.

 Само название "Монте-Карло" происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом.

 Идея метода  чрезвычайно проста и состоит  она в следующем. Вместо того, чтобы описывать процесс с помощью аналитического аппарата (дифференциальных или алгебраических уравнений), производится "розыгрыш" случайного явления с помощью специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат. В действительности конкретное осуществление случайного процесса складывается каждый раз по-иному; так же и в результате статистического моделирования мы получаем каждый раз новую, отличную от других реализацию исследуемого процесса. Что она может нам дать? Сама по себе ничего, так же как, скажем, один случай излечения больного с помощью какого-либо лекарства. Другое дело, если таких реализаций получено много. Это множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан обычными методами математической статистики. После такой обработки могут быть получены любые интересующие нас характеристики: вероятности событий, математические ожидания и дисперсии случайных величин и т. д.

При моделировании  случайных явлений методом Монте-Карло  мы пользуемся самой случайностью как  аппаратом исследования, заставляем ее "работать на нас".

 Нередко такой  прием оказывается проще, чем  попытки построить аналитическую  модель. Для сложных операций, в  которых участвует большое число  элементов (машин, людей, организаций,  подсобных средств), в которых  случайные факторы сложно переплетены,  где процесс - явно немарковскпй, метод статистического моделирования, как правило, оказывается проще аналитического (а нередко бывает и единственно возможным).

 В сущности, методом  Монте-Карло может быть решена  любая вероятностная задача, но  оправданным он становится только  тогда, когда процедура розыгрыша  проще, а не сложнее аналитического  расчета. 

Приведем пример, когда метод Монте-Карло возможен, но крайне неразумен. Пусть, например, по какой-то цели производится три независимых  выстрела, из которых каждый попадает в цель с вероятностью 1/2. Требуется  найти вероятность хотя бы одного попадания. Элементарный расчет дает нам  вероятность хотя бы ОДНОГО попадания  равной 1 - (1/2)3 = 7/8. Ту же задачу можно решить и "розыгрышем", статистическим моделированием. Вместо "трех выстрелов" будем бросать "три монеты", считая, скажем, герб-за попадание, решку - за "промах". Опыт считается "удачным", если хотя бы на одной из монет выпадет герб. Произведем очень-очень много опытов, подсчитаем общее количество "удач" и разделим на число N произведенных опытов. Таким образом, мы получим частоту события, а она при большом числе опытов близка к вероятности. Ну, что же? Применить такой прием мог бы разве человек, вовсе не знающий теории вероятностей, тем не менее, в принципе, он возможен.

 Метод Монте-Карло-это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин. 
 

 Пример. Предположим, что нам нужно вычислить площадь плоской фигуры S. Это может быть произвольная фигура с криволинейной границей, заданная графически или аналитически, связная или состоящая из нескольких кусков. Пусть это будет фигура изображенная на рис. 1, и предположим, что она вся расположена внутри единичного квадрата Выберем внутри квадрата N случайных точек. Обозначим через F число точек, попавших при этом внутрь S. Геометрически очевидно, что площадь S приближенно равна отношению F/N. Чем больше N, тем больше точность этой оценки.

 Две особенности метода Монте-Карло.

 Первая особенность метода - простая структура вычислительного алгоритма.

 Вторая особенность метода - погрешность вычислений, как правило, пропорциональна D/N2, где D - некоторая постоянная, N - число испытаний. Отсюда видно, что для того, чтобы уменьшить погрешность в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N (т. е. объем работы) в 100 раз.

 Ясно, что добиться  высокой точности таким путем  невозможно. Поэтому обычно говорят,  что метод Монте-Карло особенно  эффективен при решении тех  задач, в которых результат  нужен с небольшой точностью  (5-10%). Способ применения метода  Монте-Карло по идее довольно  прост. Чтобы получить искусственную  случайную выборку из совокупности  величин, описываемой некоторой  функцией распределения вероятностей, следует:

1. Построить график  или таблицу интегральной функции  распределения на основе ряда  чисел, отражающего исследуемый  процесс (а не на основе ряда  случайных чисел), причем значения  случайной переменной процесса  откладываются по оси абсцисс  (х), а значения вероятности (от 0 до 1) - по оси ординат (у).

2.С помощью генератора  случайных чисел выбрать случайное  десятичное число в пределах  от 0 до 1 (с требуемым числом разрядов).

3. Провести горизонтальную прямую от точки на оси ординат соответствующей выбранному случайному числу, до пересечения с кривой распределения вероятностей.

4.Опустить из  этой точки пересечения перпендикуляр  на ось абсцисс.

5.Записать полученное  значение х. Далее оно принимается  как выборочное значение.

 б.Повторить шаги 2-5 для всех требуемых случайных переменных, следуя тому порядку, в котором они были записаны. Общий смысл легко понять с помощью простого примера: количество звонков на телефонную станцию в течение 1 минуты соответствует следующему распределению:

 Кол - во звонков Вероятность Кумулятивная вероятность

 О 0,10 0,10

1 0,40 0,50

2 0,30 0,80

3 0,15 0,95

4 0,05 1,00

 Предположим,  что мы хотим провести мысленный  эксперимент для пяти периодов  времени.

 Построим график  распределения кумулятивной вероятности.  С помощью генератора случайных  чисел получим пять чисел, каждое  из которых используем для  определения количества звонков  в данном интервале времени.

 Период времени  Случайное число Количество звонков 

1 0,09 О 

2 0,54 2 

3 0,42 1 

4 0,86 3

5 0,23 1 

 Взяв еще несколько  таких выборок, можно убедиться  в том, что если используемые  числа действительно распределены  равномерно, то каждое из значений  исследуемой величины будет появляться  с такой же частотой, как ирреальном  мире", и мы получим результаты, типичные для поведения исследуемой  системы.

 Вернемся к  примеру. Для расчета нам нужно  было выбирать случайные точки  в единичном квадрате. Как это  сделать физически? Представим  такой эксперимент с фигурой  S и квадратом повешен на стену в качестве мишени. Стрелок, находившийся на некотором расстоянии от стены, стреляет N раз, целясь в центр квадрата. Конечно, все пули не будут ложиться точно в центр: они пробьют на мишени N случайных точек. Можно ли по этим точкам оценить площадь S.

  Ясно, что при  высокой квалификации стрелка  результат опыта будет очень  плохим, так как почти все пули  будут ложиться вблизи центра  и попадут в S.

 Нетрудно понять, что наш метод вычисления площади  будет справедлив только тогда,  когда случайные точки будут  не просто "случайными", а еще  и "равномерно разбросанными"  по всему квадрату.

 В задачах исследования  операций метод Монте-Карло применяется  в трех основных ролях:

1) при моделировании  сложных, комплексных операций, где

 присутствует  много взаимодействующих случайных  факторов;

2) при проверке  применимости более простых, аналитических

 методов и выяснении условий их применимости;

3) в целях выработки  поправок к аналитическим формулам  типа

 "эмпирических формул" в технике.  

Основным недостатком  аналитических моделей является то, что они неизбежно требуют  каких-то допущений, в частности, о "марковости" процесса. Приемлемость этих допущений  далеко не всегда может быть оценена  без контрольных расчетов, а производятся они методом Монте-Карло. Образно  говоря, метод Монте-Карло в задачах  исследования операций играет роль своеобразного  ОТК. Статистические модели не требуют  серьезных допущений и упрощений. В принципе, в статистическую модель "лезет" что угодно - любые законы распределения, любая сложность  системы, множественность ее состояний. Главный же недостаток статистических моделей - их громоздкость и трудоемкость. Огромное число реализации, необходимое  для нахождения искомых параметров с приемлемой точностью, требует  большого расхода машинного времени. Кроме того, результаты статистического  моделирования гораздо труднее  осмыслить, чем расчеты по аналитическим  моделям, и соответственно труднее  оптимизировать решение (его приходится "нащупывать" вслепую). Правильное сочетание аналитических и статистических методов в исследовании операций - дело искусства, чутья и опыта  исследователя. Нередко аналитическими методами удается описать какие-то "подсистемы", выделяемые в большой  системе, а затем из таких моделей, как из "кирпичиков", строить  здание большой, сложной модели. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Реальные  опционы 

     Исторически термин «реальные опционы» возник после  того, как была разработана методология  применения теории Блэка-Шоулза к реальным активам.

     Реальный  опцион — опцион, базовым активом по которому являются реальные активы: заводы, запасы нефти, машины, производственные инвестиции и т.д.

       Для реальных опционов безрисковая процентная ставка определяется практически индивидуально для каждого проекта. Это может быть, в том числе, и доходность государственных бумаг для наименее рискованных проектов, но чаще используется средняя доходность финансовых вложений в соответствующую отрасль.

     В переводе с английского слово  Option означает возможность, опционная теория выделяет две группы дополнительных возможностей, содержащихся в инвестиционном проекте:

     Первая  из них - возможности изменения параметров инвестиционного проекта с течением времени. Это может быть расширение или сокращение проекта, изменение источников сырья или отказ от реализации проекта после получения дополнительной информации.

     Вторая  группа возможностей характеризует  внешнюю сторону проекта, т.е. выполнение одного проекта делает возможным  другой проект, который был бы невозможен без завершения первого.

     Концепция реальных опционов позволяет количественно  оценить имеющиеся в проекте  возможности и тем самым включить их в расчет стоимости инвестиционного проекта. Количественная оценка играет ключевую роль при принятии инвестиционного решения, в большинстве случаев, когда дополнительные возможности оцениваются лишь качественно, интуитивно, они попросту отбрасываются при сравнении количественных параметров проекта и в лучшем случае служат дополнительным плюсом проекта при прочих равных условиях. Для количественной оценки концепция реальных опционов использует те же показатели, что и классическая теория.

     Денежные  потоки характеризуют количественную составляющую проекта. При этом чем больше стоимость ожидаемых денежных потоков, тем больше стоимость реального опциона.

     Под инвестиционными затратами понимается количество денег, которое будет  необходимо для реализации проекта. При этом стоимость реального  опциона обратно пропорциональна  стоимости инвестиционных затрат.

     Увеличение  времени до истечения возможности  осуществления проекта увеличивает  стоимость реального опциона, поскольку  владелец опциона получает больше (по времени) возможностей использовать свойства реального опциона.

     Волатильность, характеризующая изменчивость цен, также связана со стоимостью реального опциона прямо пропорционально. Обычно высокая волатильность означает большую вероятность получить как повышенную прибыль, так и понести большие убытки. Однако реальные опционы позволяют ограничить убытки и сохранить возможность получения дополнительной прибыли, что делает их более ценными в условиях повышенной волатильности цен. Экономический смысл данного свойства состоит в том, что более рискованные проекты содержат в себе больше возможностей для получения дополнительных прибылей.

     Наконец, увеличение безрисковой процентной ставки, при прочих равных, ведет к росту стоимости реального опциона, и, соответственно, проекта в целом.

           При прочих равных условиях, рост  процентной ставки ведет к  уменьшению текущей стоимости  будущих денежных потоков, что  уменьшает цену реального опциона.  Но, с другой стороны, это также  уменьшает текущую стоимость  инвестиционных затрат, которые  будут необходимы для реализации  реального опциона. 

     Существует  несколько видов реальных опционов:

     Опцион  на выбор времени  реализации проекта присутствует, если решение о начале основных инвестиций может быть отложено. Это позволяет менеджменту определить точную дату в будущем, когда необходимо начать основные инвестиции.

     Опцион  на отказ от проекта в методах традиционного анализа проекта предполагается, что проект будет осуществляться в течение всего предусмотренного времени. Однако на практике зачастую имеется возможность прекратить проект в этот период, в чем и состоит суть данного вида реальных опционов. Опцион на отказ от проекта, дающий право продать денежные потоки проекта, начиная с определенного момента времени, дает компании возможность прервать проект в случае негативной рыночной ситуации. При этом компания может распродать все имеющиеся в ее распоряжении активы или использовать эти активы для других проектов, получив в обоих случаях определенные компенсирующие выплаты. Опционы на отказ для проекта важно учитывать для проектов, характеризующихся необходимостью осуществления крупных долгосрочных инвестиций, например, при строительстве железной дороги, электростанции или аэропорта. Опционы данного вида также важны для проектов, связанных с созданием нового продукта, когда нет уверенности в том, что данный продукт будет пользоваться спросом.

     Опцион  на осуществление  последовательных инвестиций возникает, когда инвестиции в ходе проекта осуществляются последовательно друг за другом и при этом в проекте содержится возможность прервать проект на любой стадии в случае негативного развития ситуации. Подобный проект может быть представлен как серия реальных опционов. Каждая отдельная стадия проекта содержит в себе опцион на стоимость будущих стадий инвестирования. Характерным примером использования опционов на осуществление последовательных инвестиций является фармацевтическая отрасль. Производство нового лекарства требует проведения нескольких серий исследований и тестов. При этом вероятность конечного успеха увеличивается по мере перехода к новой стадии проверки.

     Опционы роста также являются важнейшим элементом корпоративных стратегий. Опцион роста используется, когда начальные инвестиции служат необходимым условием будущего развития. При этом текущий проект может рассматриваться как звено в цепи связанных друг с другом проектов. Следует отметить, что очень часто подобные проекты имеют отрицательную чистую приведенную стоимость, если их рассматривать автономно.

         Многие проекты содержат в  себе более одного реального  опциона. При оценке подобного  проекта следует учитывать все  виды реальных опционов, содержащихся  в нем. 

     Реальные  опционы очень важны в качестве важного инструмента по управлению инвестиционными проектами на всех стадиях от принятия решения по осуществлению инвестиций до завершения проекта. Научившись находить скрытые возможности проекта, управляющий получает явные преимущества, поскольку может интуитивно оценить выгоду тех или иных возможностей. Теория реальных опционов достаточно полно описывает области возможного увеличения стоимости проекта. Но все же главное ее практическая ценность состоит в том, что реальные опционы позволяют количественно оценить преимущества проекта, ранее оцениваемые лишь качественно. Математический аппарат отличается для каждого вида опционов, и хотя он достаточно сложный, но вполне реализуем на практике.

     Реальные  опционы, базовым активом которых  в большинстве случаев являются денежные потоки инвестиционных проектов, подразумевают идеологическое изменение  подходов к ведению бизнеса. Переход  от следования планам реализации проектов к использованию принципов гибкости в принятии управленческих решений  ведет к изменению корпоративной  методологии ведения бизнеса. Необходимо отметить, что последствия таких  изменений могут иметь и негативное влияние для компании.

       Существуют случаи, когда использование  методики реальных опционов не  оправдано: 

     1)Во-первых, компании может не требоваться  гибкость в принципе. Такое возможно  в такой бизнес среде, где  отсутствует неопределенность. Ценность  же реальных опционов базируется  на понятии неопределенности, при  наличии которой гибкость в  принятии управленческих решений  может увеличить общую стоимость  инвестиционного проекта. Необходимость  в гибкости может отсутствовать  во множестве небольших компаний, работающих по долгосрочным контрактам  субподряда. Такие компании могут десятилетиями работать по одному контракту, производить один продукт и поставлять его для единственного клиента.

     2) Во-вторых, в компании может отсутствовать  возможность использования гибкости  в принятии управленческих решений.  Такая ситуация может возникнуть, например, в силу наличия определенных  политических мотивов, когда руководство  компании не может изменить  ранее принятых решений. К примеру,  наличие в проекте опциона  отказа и условий для его  исполнения не всегда означает  его однозначное использование.  Менеджмент компании может декларативно  говорить об успешном применении  инновационного подхода, но, в  то же время, быть не готов  “нажать на курок” и прекратить  внедрение проекта. 

     Наличие указанных выше условий и попытка  применения методики реальных опционов неизбежно приведет к неэффективному использованию ресурсы компании. В первом случае, где бизнес существует в среде полной определенности, стоимость  реальных опционов будет нулевой и использование инновационного подхода к оценке инвестиционных проектов будет означать лишь бессмысленное расходование финансовых и человеческих ресурсов. Во втором случае, когда менеджмент компании еще не готов или не способен использовать принципы гибкости в управлении, реальные опционы будут лишь мнимо влиять на стоимость инвестиционных проектов.

Своевременная разработка и принятие правильного  решения — главные задачи работы управленческого персонала любой  организации. Непродуманное решение  может дорого стоить компании. На практике результат одного решения заставляет нас принимать следующее решение  и т. д. Когда нужно принять  несколько решений в условиях неопределенности, когда каждое решение  зависит от исхода предыдущего решения  или исходов испытаний, то применяют  схему, называемую деревом решений.

Дерево  решений 
 

Дерево решений  — это графическое изображение  процесса принятия решений, в котором  отражены альтернативные решения, альтернативные состояния среды, соответствующие  вероятности и выигрыши для любых  комбинаций альтернатив и состояний  среды.

Рисуют деревья  слева направо. Места, где принимаются решения, обозначают квадратами □, места появления исходов — кругами ○,возможные решения — пунктирными линиями --------, возможные исходы — сплошными линиями ——.

Для каждой альтернативы мы считаем ожидаемую  стоимостную оценку (EMV) — максимальную из сумм оценок выигрышей, умноженных на вероятность реализации выигрышей, для всех возможных вариантов.

Пример. Некая компания собирается инвестировать средства в производство роботов для использования в космических исследованиях. Инвестиции в данный проект производятся в три этапа.  

1этап. В начальный момент времени t=0 необходимо потратить $500 тыс. долл. на проведение маркетингового исследования рынка.

2 этап. Если в результате исследования будет выяснено, что потенциал рынка достаточно высок, то компания инвестирует еще $1,000 тыс. долл. на разработку и создание опытных образцов робота. Опытные образцы должны быть предложены к рассмотрению инженерам в центре космических исследований, которые решают вопрос о размещении заказа у данной компании.

3 этап. Если реакция инженеров благоприятная, то в момент времени t=2 компания начинает строительство нового предприятия по производству данного робота. Строительство такого предприятия требует затрат в $10,000 тыс. долл. Если данная стадия будет реализована, то по оценкам менеджеров проект будет генерировать притоки наличности в течение четырех лет. Величина этих потоков наличности будет зависеть от того, насколько хорошо этот робот будет принят на рынке.

Для анализа именно таких многостадийных решений чаще всего используется метод дерева решений (см. рисунок ниже). 
 

В этом примере мы предполагаем, что очередное решение  об инвестировании принимается компанией  в конце каждого года. Каждое “разветвление” обозначает точку принятия решения, либо очередной этап. Число в круглых скобках, записанное слева от точки принятия решения, представляет собой чистые инвестиции. В интервале с третьего по шестой годы (с t=3 по t=6) показаны притоки наличности, которые генерируются проектом. Например, если компания решает реализовывать проект в точке t=0, то она должна потратить 500 тыс. долл на проведение маркетингового исследования. Менеджеры компании оценивают вероятность получения благоприятного результата в 80%, и вероятность получения неблагоприятного результата в 20%. Если проект будет остановлен на этой стадии, то издержки компании составят 500 тыс. долл.

Если по результатам  маркетингового исследования компания приходит к оптимистическому заключению о потенциале рынка, то в момент времени  t=1 необходимо потратить еще 1,000 тыс.долл. на изготовление экспериментального варианта робота. Менеджеры компании оценивают вероятность положительного исхода в 60%, а вероятность отрицательного исхода в 40%.

Если инженеров  центра космических исследований устраивает данная модель робота, тогда компания в момент времени t=2 должна инвестировать 10 000 тыс. долл. для постройки завода и начала производства. Менеджеры компании оценивают вероятность того, что в центре космических исследований воспримут такую модель благожелательно в 60% и вероятность противоположного исхода в 40% (что приведет к прекращению рализации проекта).  

Если компания приступает к производству робота, то операционные потоки наличности в течение четырехлетнего срока жизни проекта будут  зависеть от того, насколько хорошо продукт будет “принят” рынком. Вероятность того, что продукт  будет хорошо “принят” рынком составляет 30% и в этом случае чистые притоки  наличности должны составлять около 10 000 тыс. долл. в год. Вероятность того, что притоки наличности будут  составлять около 4 000 тыс. долл. и 2 000 тыс. долл. в год, равна 40% и 30% соответственно. Эти ожидаемые потоки наличности показаны на нашем рисунке с третьего года по шестой.

Совместная вероятность, подсчитанная на выходе данной схемы, характеризует ожидаемую вероятность  получения каждого результата.

Предположим, что  ставка цены капитала компании при  реализации данного проекта составляет 11,5%, и по оценкам финансовых менеджеров компании реализация данного проекта  имеет риск, равный риску реализации типичного “среднего” проекта компании. Затем, умножая полученные значения чистой приведенной стоимости на соответствующие значения совместной вероятности, мы получим ожидаемую  чистую приведенную стоимость инвестиционного  проекта.

Поскольку ожидаемая  чистая приведенная стоимость проекта  получилась отрицательной, то компания должна отвергнуть этот инвестиционный проект. Однако на самом деле, вывод не так однозначен. Необходимо также учесть возможность отказа компании от реализации данного проекта на определенном этапе или стадии, что приводит к существенному изменению одной из ветвей дерева решений.

Издержки отказа от реализации проекта значительно  сокращаются, если компания имеет альтернативу для использования активов проекта. Если бы в нашем примере, компания могла бы использовать оборудование для производства принципиально иного вида роботов, тогда бы проект по производству роботов для космических нужд мог быть ликвидирован с большей легкостью, следовательно, риск реализации проекта был бы меньше.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 

S - наращенная за расчетных периодов сумма;

 P- первоначально вложенная сумма;

i - номинальная годовая ставка сложных процентов, выраженная в долях от единиц;

n - срок начисления процентов (лет);

 m- количество начислений процентов в год (при ежемесячном начислении , при ежеквартальном  и т.д.) (раз/год);