Контрольная работа по "Эконометрике". 35

 

 

Задание 1

Исходные данные о  продаже автомобилей записаны в  виде следующей таблицы:

х	22	21	22	21	22	22	23	24	24	23
у	1	1	2	2	3	4	4	4	5	6

 

 Трансформируем эту таблицу. Она примет вид:

х	у
1	22
1	21
2	22
2	21
3	22
4	22
4	23
4	24
5	24
6	23

 

Поскольку одинаковое количество продавцов в разные дни продавали  разное количество машин, найдем среднее  количество машин. Таблица примет вид:

х	У
1	21,5
2	21,5
3	22,0
4	23,0
5	24,0
6	23,0

 

Поскольку предлагаемая модель регрессии , является нелинейной по переменной х и метод наименьших квадратов применить нельзя, устраним нелинейность по переменной х путем замены переменной:  . После этого уравнение регрессии становится линейным: . Для определения параметров a и b запишем следующую расчетную таблицу:

 

i	z	y	z2	zy
1	1.000	21.5	1	21.500
2	1.414	21.5	2	30.406
3	1.732	22.0	3	38.105
4	2.000	23.0	4	46.000
5	2.236	24.0	5	53.666
6	2.449	23.0	6	56.338
∑	10.832	135.0	21	246.015

Параметры a и b находим по формулам:

Где     ;       ;     

 В данном случае n=6

Подставляя в формулы  значения сумм из предыдущей таблицы, получим:

= 1.805;         =22.5;       = 3.5;       = 41.002

Находим значения параметров а и b:

 

            

                      

Таким образом, гиперболическая модель регрессии имеет вид:

= 19,63+1,59

Оценим тесноту связи  с помощью показателей корреляции и детерминации, имея ввиду линеаризированное  уравнение регрессии:

=19,63+1,59·z

Коэффициент корреляции между z и y равен:

А коэффициент детерминации R² равен:

Где :       cov(z.y) =

- · ;        var (z) = - ( )² ;   var(y) = - ( )² ;

var(

) = - ( ) ;        var (e) = (y- )²

 

При этом выполняется равенство:

r

.y = r_z,y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем следующую расчетную  таблицу:

i	z	y	z2	zy		(y- )2	( - )2	(y- )2
1	1,000	21,5	1	21,500	21,219	1,000	1,640401	0,078838
2	1,414	21,5	2	30,406	21,878	1,000	0,386887	0,142882
3	1,732	22,0	3	38,105	22,383	0,250	0,013573	0,147069
4	2,000	23,0	4	46,000	22,810	0,250	0,095884	0,036233
5	2,236	24,0	5	53,666	23,185	2,250	0,469364	0,664059
6	2,449	23,0	6	56,338	23,525	0,250	1,049672	0,275137
∑	10,832	135,0	21	246,015	135,000	5,000	3,655782	1,344218
среднее	1,805	22,5	3,5	41,002	22,5	0,833	0,609	0,224
						var(y)	var( )	var (e)

 

Тогда имеем:

cov(z.y) = 41,002-1,805·22,5 = 0,383

 

var (z) = 3,5-1,805² = 0,241

 

 

 

Проверим выполнение равенства

 

 

, т.е. расчеты проведены верно.

 

Чем ближе коэффициент  детерминации к единице, тем лучше качество подгонки, т. Е. тем точнее аппроксимирует у.

Значение  = 0,731 показывает, что 73,1% вариации зависимой переменной у (количество проданных автомобилей) объясняется регрессией. Определим с помощью среднего коэффициента эластичности силу влияния фактора на результат и оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения регрессии средний показатель эластичности рассчитывается по формуле.

 

Это означает, что с увеличением количества продавцов на 1% количество проданных автомобилей возрастет в среднем на 12,76%. Средняя ошибка аппроксимации это среднее отклонение расчетных значений  от фактических значений, т.е.

Практически полагают, что  значение средней ошибки аппроксимации  не должно превышать 12-15% для  грубого  приближения регрессии к реальной зависимости.

Для расчета  воспользуемся следующей таблицей

i	y		y-	(y- )/y	|(y- )|/y|
1	21,5	21,219	0,281	0,01306	0,01306
2	21,5	21,878	-0,378	-0,01758	0,017581
3	22,0	22,383	-0,383	-0,01743	0,017432
4	23,0	22,810	0,190	0,008276	0,008276
5	24,0	23,185	0,815	0,033954	0,033954
6	23,0	23,525	-0,525	-0,02281	0,022806
∑	135,0	135,000	0,000	-0,00253	0,113109

 

Таким образом, значение средней ошибки аппроксимации свидетельствует  о высоком качестве уравнения  регрессии.

Оценим статистическую значимость параметров а и b регрессии и корреляции с помощью t – критерия Стьюдента при уровне значимости α=0,05.

Пусть в теоретической  зависимости y= α+ β·z+ε

Случайный член ε распределен  нормально с неизвестной дисперсией σ². Хотя  величина β и неизвестна, имеется основание предполагать, что она равна заданной величине β₀.

Выдвигаются нулевая  гипотеза Н₀ и конкурирующая гипотеза Н₁:

Пусть по выборочным данным получена оценка b.

В качестве критерия проверки гипотезы Н₀ принимают случайную величину

,

Которая имеет распределение  Стьюдента с ʋ=n-2 степенями свободы вычисляется наблюдаемое значение критерия t. По таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы ʋ=n-2 находят критическую точку t_кр.  Вычисленный критерий t сравнивается с критическим значением t_кр. 

 

Если | t |< t_кр, то Н₀ принимается;

Если | t |> t_кр, то Н₀ отвергается.

 

В экономических исследованиях  проверку гипотез проводят при 5% и 1% уровнях значимости. Для установления значимости коэффициента регрессии b используется гипотеза Н₀ : β = 0.

 

Тогда соответствующая t- статистика будет

Где S_b – стандартная ошибка коэффициента регрессии b , которая равна

;

- остаточная дисперсия.

Поскольку конкурирующая гипотеза  Н₁ : β ≠ 0 двусторонняя, то и критическая область двусторонняя. Аналогично решается вопрос с параметром a. В этом случае

,

Где 

 

А также t-критерий  для коэффициента корреляции r_z,y:

Н₀ : ρ = 0

Итак, оценим значимость коэффициента регрессии b=1,59

Найдем стандартную  ошибку S_b:

 

 

 

 

Найдем t_кр для α = 0,05 и ʋ = 6 – 2 = 4

t_кр = 2,45

 

Так как t_b = 3,3 > t_кр = 2,45, то нулевая гипотеза Н₀ отвергается, т.е. коэффициент регрессии b=1,59 значим.

 

Аналогично, имеем для  а = 19,63:

 

 

 

 

t_а = 21,7 > t_кр = 2,45

 

Следовательно, коэффициент  регрессии а=19,63 значим.

Для r_z,y=0,855:

 

 

Так как t_r = 3,3 > t_кр = 2,45, то коэффициент корреляции r_z,y=0,855 значим.

 

И, наконец, на последнем  этапе выполним более строгую  оценку статистической надежности моделирования  с помощью F-критерия Фишера, т.е. проверим значимость коэффициента детерминации R² по F-критерию. Для этого проверим нулевую гипотезу Н₀ о статистической не значимости полученного уравнения регрессии по условию: если при заданном уровне значимости α теоретическое (расчетное) значение F-критерия больше его критического значения Fкр, то нулевая гипотеза отвергается и полученное уравнение регрессии принимается значимым.

Для модели парной регрессии  число степеней свободы ʋ₁=1 (одна объясняющая переменная) и    ʋ₂ = n – 2  При этом

 

 

Для нашего случая имеем:

 

Найдем F_кр для   α=0,05    и    ʋ₁=1    и    ʋ₂ = 6 – 2  = 4:

 

F_кр=7,71

 

Так как F=10,87> F_кр=7,41, то нулевая гипотеза отвергается, коэффициент детерминации R² значим.

 

 

 

Задание 2

 

Стандартная ошибка коэффициента b в уравнении парной линейной регрессии y = a + b · x + ε   равна , т. е. .

Определим  значимость коэффициента b с помощью t-критерия Стьюдента с вероятностью 97%. Тогда уровень значимости α=0,03. Поскольку для экономических исследований проверку гипотез проводят для α=0,05 или α=0,1 и , если нулевая гипотеза отклоняется при 1%-ном уровне значимости, то она автоматически отклоняется и при 5%-ном уровне значимости, а если принимается при 5%-ом уровне, то принимается и при 1%-ном уровне. Если же при 5%-ном уровне нулевая гипотеза отклоняется, а при 1%-ном принимается, то результат проверки гипотезы приводятся при двух уровнях значимости.

Тогда имеем:

Поскольку объем выборки не задан, будем считать его большим (n>30). Тогда число степеней свободы ʋ>30. Для таких ʋ   критическое значение t_кр практически больше t = 2 < t_кр. Тогда  нулевая гипотеза Н₀ принимается для уровня значимости 2 = 0,02, следовательно, она принимается и для α = 0,03.

Таким образом, с вероятностью 97% можно утверждать, что коэффициент  регрессии b не значим, следовательно результирующий фактор y  не зависит от х.

 

 

Задание 3

 

В результате регрессионного анализа получено уравнение регрессии:

y = 7,1 + 0,6х + 0,4х₂ + 0,1х₃

t – статистики коэффициентов регрессии равны соответственно 24,5;   9,7;  0,7;   1,3. Коэффициент детерминации R²=0,9.

 

Оценим надежность уравнения  регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия найдем по формуле:

В данном  случае m=3, а n не задано. Пусть оно, предположим, равно 10. Тогда имеем

 

Табличное значение  F-критерия при 5%-ом уровне  значимости α = 0,05 и   К₁ = 3 ;  К₂ = 10 – 3 – 1 = 6 будет равно: F_табл = 4,76

Так как 

  > F_табл = 4,76,

То уравнение  множественной  регрессии в целом статистически  значимо.

 

Теперь оценим  целесообразность включения факторов х₁, х₂ и х₃ с помощью  частного F-критерия Фишера.

                     

Где  t_b1=9,7       t_b2=0,7            t_b3=1,3

 

Тогда имеем:

               

 

Табличное значение F-критерия при α = 0,05;   К₁ = 1 ;  К₂ = 10 – 3 – 1 = 6 будет равно: F_табл = 5,99.

Так как

> F_табл = 5,99, то  включение фактора х₁ в модель статистически оправдано и коэффициент чистой регрессии b₁ = 0,6 статистически значим.

 

Поскольку

< F_табл = 5,99

и

< F_табл = 5,99

То включение факторов х₂ и х_3, после того, как уже введен фактор х_1, нецелесообразно. Коэффициенты  b₂=0,4   и   b₃=0,1 статистически не значимы.

Таким образом, низкое качество этих коэффициентов регрессии объясняется  тем, что х₂ и х₃ не влияют на у.

 

 

 

Задание 4

 

Имеется структурная  модель спроса и предложения на деньги :

,

Где – процентные ставки в период времени t;

       – ВВП в период времени t;

       – денежная масса в период времени t;

Выясним идентифицируемость каждого уравнения модели и всей модели в целом, а затем определим метод оценки параметров модели.

 

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется  проверять на идентификацию. Идентификация  – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели. С позиции идентифицируемости структурные модели можно разделить на три вида:

- модель точно идентифицируема,  если каждое  уравнение системы  идентифицируемо, т. Е. все ее  структурные коэффициенты определяются  однозначно, единственным образом  по коэффициентам приведенной формы модели (число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной  формы модели). В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель точно идентифицируема;

- модель неидентифицируема , если хотя бы одно из уравнений  системы  неидентифицируемо, т.е. число  приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели;

- модель сверхидентифицируема, если она содержит хотя бы  одно сверхидентифицируемое   уравнение, т.е. если число приведенных  коэффициентов больше числа структурных  коэффициентов. В этом случае  на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы.

Выполнение условия  идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но  присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Если обозначить число эндогенных  переменных в j-м уравнении системы через Н, а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение, - через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

 

D + 1 = H – уравнение идентифицируемо;

D + 1 < H – уравнение неидентифицируемо;

D + 1 > H – уравнение сверхидентифицируемо.

Счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие  идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матрицы составленной из коэффициентов структурной модели. Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

Целесообразность проверки условия идентификации модели через  определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других, объясняется тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие идентификации.

В данной модели две эндогенные переменные и и одна экзогенная  переменная . Проверим выполнение необходимого условия для каждого уравнения.

 

1-ое уравнение

Число эндогенных переменных в 1-ом уравнении Н = 2.

Число предопределенных (экзогенных) переменных, содержащихся в системе, но не входящих в 1-ое уравнение D = 0.

D +1 = 0 + 1 = 0 < H = 2

Следовательно, поскольку  не выполняется необходимое условие, 1-ое уравнение неидентифицируемо.

 

2-ое уравнение

Н = 2 ; D =1

D + 1 = 1 + 1 = 2 = H = 2

Следовательно, 2-ое уравнение  идентифицируемо точно.

Проверим достаточное  условие для 2-го уравнения системы. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

 

1 уравнение	-1
2 уравнение		-1	0

 

 Во 2-ом уравнении отсутствует переменная Мt.

Построим матрицу из коэффициентов при этой переменной в других уравнениях, т.е. в 1-ом уравнении:

А = || ||

det A = ≠ 0 и ранг матрицы А равен r(A) = 1.

Число эндогенных переменных в системе без одного равно:

2 – 1 = 1. = r (A) = 1.

Достаточное условие  для 2-го уравнения выполняется, следовательно, 2-ое уравнение идентифицируемо, причем точно.

 Для того, чтобы  модель имела статистическое  решение, введем в нее экзогенные  переменные.

Например  – внутренние инвестиции введем во 2-ое уравнение. Тогда модель примет вид:

В модели 2 эндогенные переменные и и 2 экзогенные переменные и .

Необходимое условие

1-ое уравнение:

Н = 2; D = 1; D + 1 = 1 + 1 = 2 = H => 1ое уравнение идентифицируемо точно.

2-ое уравнение:

Н = 2; D = 1; D + 1 = 1 + 1 = 2 = H = 2 => 2ое уравнение идентифицируемо точно.

Достаточное условие

1 уравнение	-1			0
2 уравнение		-1	0

 

1-ое уравнение:

А = || ||;  det A = ≠ 0 ; r(A) = 1.

Число эндогенных переменных в системе без одного равно:

2 – 1 = 1. = r (A) = 1 => 1-ое уравнение идентифицируемо, причем точно.

 

2-ое уравнение:

А = || ||;  det A = ≠ 0 ; r(A) = 1.

Число эндогенных переменных в системе без одного равно:

2 – 1 = 1. = r (A) = 1 => 2-ое уравнение идентифицируемо, причем точно.

Таким образом, вся система  уравнений идентифицируема точно. Следовательно, для оценки коэффициентов  структурной модели можно использовать косвенный метод наименьших квадратов (КМНК).

 

 

Задание №5

Известен вид модели авторегрессионного преобразования 2-го порядка АР(2):

Тогда автокорреляционная функция γ(τ) имеет вид:

γ ( τ ) = 2,5 γ (τ - 1) + 4,5 γ (τ - 2),

где τ > 0. (τ = 1,2).

Подставляя в автокорреляционную функцию γ(τ) значения τ = 1,2, получим  известную систему уравнений  Юла-Уокера:

Из 1-го уравнения имеем

3,5 γ(1) = -2,5 γ(0)

Т.е. справедливо утверждение в)