Контрольная работа по "Эконометрике". 20

Вариант №3.

Задача  №1. 

 По территориям Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2000 год:

                                                                                                                               Таблица №1 

  Задание: 

1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.

3. Рассчитайте параметры а₁ и а₀ парной линейной функции и линейно-логарифмической функции

4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции  (r_yx  и η_ylnx) и детерминации (r²_yx и η²_ylnx), проанализируйте их значения.

5. Надёжность уравнений в целом оцените через F -критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.

6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата ( ), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'_ср., оцените её величину.

8. Рассчитайте прогнозное значение результата , если прогнозное значение фактора ( ) составит 1,023 от среднего уровня ( ).

9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза ( ; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала ( ), оцените точность выполненного прогноза. 

           Решение: 

1.Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории(Краснодарский край) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Расположим территории по возрастанию фактора X.

 
Территория федерального округа Среднегодовая  численность занятых в экономике, млн. чел., X факт. Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y

                                                                                                                                       Таблица №2

2. Обычно моделирование начинается в построения уравнения прямой: , отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

 
3. Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X. ( см. табл.3) 

                                                                                                                                                                                                    Таблица №3

Расчёт определителя системы выполним по формуле: 
11*6,559 –6,124*6,124 = 34,650; 
Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле: 
225,900*6,559 – 250,397*6,124 = -51,654. 
Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле: 
11*250,397 – 225,900*6,124 = 1370,950.

 
4. Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:

           ;     .

В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение  регрессии следующего вида:

В уравнении коэффициент  регрессии а1 = 39,565 означает, что при  увеличении среднегодовой численности занятых в экономике на 1 млн. чел. (от своей средней) валовой региональный продукт возрастёт на 39,565 млрд. руб. (от своей средней). 
Свободный член уравнения а₀ = -1,491 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на валовой региональный продукт. 
Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности: 
 
 
 
 

5. Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:                                                     

                                                                           
В нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:                                                             

 Это означает, что при изменении среднегодовой численности занятых в экономике на 1% от своей средней валовой региональный продукт увеличивается на 1,073 процента от своей средней.

 
6. Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Коэффициент корреляции, равный 0,9687, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость  между среднегодовой  численностью занятых  в экономике и  валовым региональным продуктом. Коэффициент детерминации, равный 0,9384, устанавливает, что вариация валового регионального продукта на 93,84% из 100% предопределена вариацией среднегодовой численности занятых в экономике; роль прочих факторов, влияющих на розничный товарооборот, определяется в 6,16%, что является сравнительно небольшой величиной. 

7. Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости дохода от доли занятых рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – F_фактич. и сравним его с табличным значением – F_табл.. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05). 
В нашем случае,

Где k -число факторов в уравнении; n - число изучаемых объектов. Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата в 137 раза больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия оборота розничной торговли и общей суммы доходов населения. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k=1 и d.f.2=n-k-1=11-1-1=9 и уровне значимости α=0,05.  
В силу того, что нулевую гипотезу о статистической не значимости выявленной зависимости валового регионального продукта от среднегодовой численности занятых в экономике и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

Определим теоретические значения результата Y_теор. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора X и выполним расчёт.

Например, . См. гр. 5 расчётной таблицы. По парам значений Y_теор. и X_факт. строится теоретическая линия регрессии, которая пересечётся с эмпирической регрессией в нескольких точках. См. график 1. 

9. Построим теоретическую линю регрессии, которая пересечётся с эмпирической регрессией в нескольких точках.      

В нашем случае, скорректированная  ошибка аппроксимации  составляет 15,776%. Она  указывает на невысокое  качество построенной  линейной модели и  ограничивает её использование  для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии  сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ). 

Зависимость ВРП от численности  занятых

                                                                                                                                         График№1  

Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации: 
В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 15,776%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ). 
Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции в линейную введём новую переменную, которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка.  
                      

Построение логарифмической  функции предполагает предварительное  выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции в линейную введём новую переменную , которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка. См. таблицу №4. 

                                                                                                                                        Таблица№4

Расчёт  определителей второго порядка  даёт следующие результаты:

Отсюда получаем параметры уравнения:

Полученное уравнение  имеет вид:  

Оценочные показатели позволяют сделать вывод, что  линейно-логарифмическая функция  описывает изучаемую связь хуже, чем линейная модель: оценка тесноты  выявленной связи ρ=0,8798 (сравните с 0,7741), скорректированная средняя ошибка аппроксимации здесь выше и составляет 37,32%, то есть возможности использования для прогноза данной модели более ограничены. 
Заключительным этапом решения данной задачи является выполнение прогноза и его оценка. 
Если прогнозное значение фактора составит 1,023 от среднего уровня, то есть

X_{прогнозн}.= 1,023*0,557=0,569, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне: Y_{прогнозн}. =39,565-1,491*0,569=38,715 (млрд. руб.).  
Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии- и ошибки прогноза положения регрессии . То есть,                        

Ошибка положения регрессии составит: 0,012 (млрд. руб.). 
Интегральная ошибка прогноза составит: 5,976 (млрд. руб.). 
Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,26*5,976 = 13,506 ≈ 14,0 (млрд. руб.). Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 11-1-1=7 составит 2,26. Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит млрд. руб. 
Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале .

Верхняя граница  доверительного интервала составит  
= 38,715 + 14,0 = 52,715(млрд. руб.).  
Нижняя граница доверительного интервала составит:

  = 38,715 - 14,0 = 24,715(млрд. руб.). 
Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит: = раза. Это означает, что верхняя граница в 2,13 раза больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза весьма невелика, но его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая. Причиной небольшой точности прогноза является повышенная ошибка аппроксимации. Здесь её значение выходит за границу 5-7% из-за недостаточно высокой типичности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии единиц с высокой индивидуальной ошибкой. Если удалить территории с предельно высокой ошибкой (например, Дагестан с ), тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней заметно повысятся. 

Задача№2. 

Производится  анализ значений социально-экономических  показателей по территориям Северо-Западного  федерального округа РФ за 2000 год..

Y – оборот розничной торговли, млрд. руб.;

X₁ – кредиты, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.;

X₂ – доля лиц в высшим и незаконченным высшим образованием среди занятых, %;

X₃ – годовой доход всего населения, млрд. руб.

      Требуется изучить влияние указанных факторов на стоимость валового регионального продукта.

Предварительный анализ исходных данных по 10 территориям  выявил наличие двух территорий (г. Санкт-Петербург  и Вологодская  обл.) с аномальными  значениями признаков. Эти территории должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных двух аномальных единиц.

      При обработке исходных данных получены следующие значения:

А) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних  и средних квадратических отклонений -σ: 

N=8.

уровня ( ). 

Б) - коэффициентов  частной корреляции 

      Задание: 

1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Произведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.

2. Выполните расчёт бета коэффициентов (b) и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте  с помощью бета коэффициентов (b) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно  и слабо влияющие факторы.

3. По значениям b-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (a₁, a₂ и a₀). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности - .

4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R², а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F -критерий Фишера (для уровня значимости a=0,05).

5. Рассчитайте прогнозное значение  результата, предполагая, что прогнозные значения  факторов составят  108,5 процента от их среднего уровня.