Контрольная работа по "Эконометрике". 22

.

Вариант 2

 

D.1. Парная регрессия и корреляция

По  территориям региона приводятся данные за 199X г.

Таблица D.1

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум  в день одного трудоспособного, руб.,	Среднедневная заработная плата, руб.,
1	74	122
2	81	134
3	90	136
4	79	125
5	89	120
6	87	127
7	77	125
8	93	148
9	70	122
10	93	157
11	87	144
12	121	165

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии от .
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента.
4. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня.
5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

 

Решение

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу D.2.

Таблица D.2

 

;

.

Получено  уравнение регрессии:  .

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная  заработная плата возрастает в среднем  на 0,95 руб.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

;  .

Это означает, что 70% вариации заработной платы ( ) объясняется вариацией фактора – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество  модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

.

Качество  построенной модели оценивается  как хорошее, так как  не превышает 8-10%.

3. Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия:

.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы  и составляет . Так как , то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Оценку  статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью  -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Табличное значение -критерия для числа степеней свободы и составит .

Определим случайные ошибки , , :

;

.

Тогда

;

.

Фактические значения -статистики превосходят табличное значение:       

поэтому параметры  , и не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем  доверительные интервалы для  параметров регрессии  и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

;

.

Доверительные интервалы

Анализ  верхней и нижней границ доверительных  интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: руб., тогда прогнозное значение заработной платы составит: руб.
5. Ошибка прогноза составит:

.

Предельная  ошибка прогноза, которая в случаев не будет превышена, составит:

.

Доверительный интервал прогноза:

 руб.;

 руб.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным      ( ) и находится в пределах от 120,37 руб. до 161,99 руб.

6. В заключение решения задачи построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую (рис. D.1):

 

Рис. D.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D.2. Множественная регрессия и корреляция

По  предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов ( от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих ( ).

Номер предприятия				Номер предприятия
1	6	3,5	10	11	10	6,3	21
2	6	3,6	12	12	11	6,4	22
3	7	3,9	15	13	11	7	23
4	7	4,1	17	14	12	7,5	25
5	7	4,2	18	15	12	7,9	28
6	8	4,5	19	16	13	8,2	30
7	8	5,3	19	17	13	8,4	31
8	9	5,3	20	18	14	8,6	31
9	9	5,6	20	19	14	9,5	35
10	10	6	21	20	15	10	36

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
4. С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .
5. С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .
6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Решение

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных  расчетов в таблицу:

 

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

;

;

.

1. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного  уравнения множественной регрессии

       необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :

либо  воспользоваться готовыми формулами:

;  ;

.

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

;

;

.

Находим

;

;

.

Таким образом, получили следующее  уравнение множественной регрессии:

.

Коэффициенты  и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:

;

.

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим  образом:

.

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между  собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать  влияние факторов на результат можно  также при помощи средних коэффициентов  эластичности:

.

Вычисляем:

;  .

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой  квалификации на 1% увеличивает в  среднем выработку продукции  на 0,83% или 0,035% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .

2. Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

;  ;  .

Они указывают на весьма сильную связь  каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим  образом:

;

.

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно  увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

,

где

– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

– определитель матрицы межфакторной корреляции.

;

.

Коэффициент множественной корреляции

.

Аналогичный результат получим при использовании  других формул:

;

;

.

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего  набора факторов с результатом.

3. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной  детерминации

определяет  тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают  на весьма высокую (более ) детерминированность результата в модели факторами и .

4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:

.

В нашем случае фактическое значение -критерия Фишера:

.

Получили, что  (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

5. С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:

;

.

Найдем  и .

;

.

Имеем

;

.

Получили, что  . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.

Если поменять первоначальный порядок  включения факторов в модель и  рассмотреть вариант включения  после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

6. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

,  .

 

 

 

 

 

 

 

 

D.3. Системы эконометрических уравнений

Дана система эконометрических уравнений.

Макроэкономическая  модель (упрощенная версия модели Клейна):

где – потребление; – инвестиции; – доход; – налоги; – запас капитала; – текущий период; – предыдущий период.

Требуется

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицируемо ли каждое из уравнений модели.
2. Определите метод оценки параметров модели.
3. Запишите в общем виде приведенную форму модели.

 

Решение

Первое  уравнение – функция потребления, второе уравнение – функция инвестиций, третье уравнение –тождество дохода.

Модель  представляет собой систему одновременных  уравнений. Проверим каждое ее уравнение  на идентификацию.

Модель  включает три эндогенные переменные и две предопределенные переменные (экзогенную переменную – и лаговую переменную – ).

Проверим  необходимое условие идентификации  для каждого из уравнений модели.

Первое  уравнение: . Это уравнение содержит две эндогенные переменные и и одну предопределенную переменную . Таким образом, , а , т.е. выполняется условие . Уравнение сверхидентифицируемо.

Второе  уравнение: . Оно включает две эндогенные переменные и и одну экзогенную переменную . Выполняется условие . Уравнение сверхидентифицируемо.

Третье  уравнение: . Оно представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в идентификации нет.

Проверим  для каждого уравнения достаточное  условие идентификации. Для этого  составим матрицу коэффициентов  при переменных модели.

I уравнение	–1	0		0
II уравнение	0	–1			0
Тождество	1	1	–1	0	0

В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов  при переменных, не входящих в исследуемое  уравнение, должен быть равен числу  эндогенных переменных модели без одного.

Первое  уравнение. Матрица коэффициентов  при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

 

II уравнение	–1
Тождество	1	0

 

Ранг  данной матрицы равен двум, так как определитель квадратной матрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для данного  уравнения выполняется.

Второе  уравнение. Матрица коэффициентов  при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

 

I уравнение	–1
Тождество	1	0

Ранг  данной матрицы равен двум, так как определитель квадратной матрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для данного  уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицируемы. Приведенная форма модели в общем  виде будет выглядеть следующим  образом:

Для оценки параметров необходимо применить двухшаговый метод наименьших квадратов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D.4. Временные ряды

Имеются условные данные об объемах потребления  электроэнергии ( ) жителями региона за 16 кварталов.

 

1	5,8	9	7,9
2	4,5	10	5,5
3	5,1	11	6,3
4	9,1	12	10,8
5	7,0	13	9,0
6	5,0	14	6,5
7	6,0	15	7,0
8	10,1	16	11,1

 

Требуется:

1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.
2. Построить мультипликативную модель временного ряда.
3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

 

 

Решение

Построим поле корреляции:

 

 

Рис. 1

 

Уже исходя из графика видно, что значения образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

							Таблица 2
	t	yt	yt-1	yt - y1	yt-1 - y2	(yt - y1) *(yt-1 - y2)	(yt-y1)2	(yt-1-y2)2
	1	2	3	4	5	6	7	8
	1	5,8	-	-	-	-	-	-
	2	4,5	5,8	-2,89	-1,24	3,59	8,37	1,54
	3	5,1	4,5	-2,29	-2,54	5,83	5,26	6,45
	4	9,1	5,1	1,71	-1,94	-3,31	2,91	3,76
	5	7	9,1	-0,39	2,06	-0,81	0,15	4,24
	6	5	7	-2,39	-0,04	0,10	5,73	0,00
	7	6	5	-1,39	-2,04	2,84	1,94	4,16
	8	10,1	6	2,71	-1,04	-2,81	7,33	1,08
	9	7,9	10,1	0,51	3,06	1,55	0,26	9,36
	10	5,5	7,9	-1,89	0,86	-1,63	3,58	0,74
	11	6,3	5,5	-1,09	-1,54	1,68	1,20	2,37
	12	10,8	6,3	3,41	-0,74	-2,52	11,61	0,55
	13	9	10,8	1,61	3,76	6,04	2,58	14,14
	14	6,5	9	-0,89	1,96	-1,75	0,80	3,84
	15	7	6,5	-0,39	-0,54	0,21	0,15	0,29
	16	11,1	7	3,71	-0,04	-0,15	13,74	0,00
	Сумма	110,9	105,6	0,00	0,00	8,85	65,61	52,54
	Среднее значение	7,39	7,04	-	-	-	-	-

Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.

Теперь  вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле (4.1):

.

Составляем  вспомогательную таблицу для  расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.

								Таблица 3
	1	2	3	4	5	6	7	8
	1	5,8	-	-	-	-	-	-
	2	4,5	-	-	-	-	-	-
	3	5,1	5,80	-2,50	-1,24	3,11	6,25	1,54
	4	9,1	4,50	1,50	-2,54	-3,81	2,25	6,47
	5	7	5,10	-0,60	-1,94	1,17	0,36	3,77
	6	5	9,10	-2,60	2,06	-5,35	6,76	4,23
	7	6	7,00	-1,60	-0,04	0,07	2,56	0,00
	8	10,1	5,00	2,50	-2,04	-5,11	6,25	4,17
	9	7,9	6,00	0,30	-1,04	-0,31	0,09	1,09
	10	5,5	10,10	-2,10	3,06	-6,42	4,41	9,35
	11	6,3	7,90	-1,30	0,86	-1,11	1,69	0,73
	12	10,8	5,50	3,20	-1,54	-4,94	10,24	2,38
	13	9	6,30	1,40	-0,74	-1,04	1,96	0,55
	14	6,5	10,80	-1,10	3,76	-4,13	1,21	14,12
	15	7	9,00	-0,60	1,96	-1,17	0,36	3,83
	16	11,1	6,50	3,50	-0,54	-1,90	12,25	0,29
	Сумма	106,4	98,60	0,00	0,00	-30,96	56,64	52,53
	Среднее значение	7,60	7,04