Контрольная работа по "Эконометрике". 62

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА

по  дисциплине  «Эконометрика»

на  тему: «Вариант 3»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                 Тула 2011 г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача.

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции ( , млн. руб.) от объема капиталовложений ( , млн. руб.)

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

гиперболической;  степенной; показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. 

	38	28	27	37	46	27	41	39	28	44
	69	52	46	63	73	48	67	62	47	67

1. Найдем параметры уравнения линейной регрессии, дадим экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Уравнение линейной регрессии имеет  вид: = а + b * x. Для вычисления параметров а и b линейной модели построим таблицу 1:

Таблица 1

Наблю дение	Объем выпуска продукции, млн руб., Y	Объем капиталовложений, млн руб., X	(yi- )	(xi- )	(xi- )2	(yi- )* (xi- )	yx	X2
1	69	38	9,6	2,5	6,25	24,00	2622	1444
2	52	28	-7,4	-7,5	56,25	55,50	1456	784
3	46	27	-13,4	-8,5	72,25	113,90	1242	729
4	63	37	3,6	1,5	2,25	5,40	2331	1369
5	73	46	13,6	10,5	110,25	142,80	3358	2116
6	48	27	-11,4	-8,5	72,25	96,90	1296	729
7	67	41	7,6	5,5	30,25	41,80	2747	1681
8	62	39	2,6	3,5	12,25	9,10	2418	1521
9	47	28	-12,4	-7,5	56,25	93,00	1316	784
10	67	44	7,6	8,5	72,25	64,60	2948	1936
Сумма	594	355	0	0	490,50	647,00	21734	13093
Среднее	59,4	35,5					2173,4	1309,3

Значения параметров а и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1:

b = 647 / 490,5 = 1,319

Уравнение линейной регрессии  имеет вид:

= 12,5755 + 1,319 * х

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем  выпускаемой продукции увеличиться  в среднем на 1,319 млн. руб. Это свидетельствует  об эффективности работы предприятия.

 

2. Вычислим остатки; найдем остаточную сумму квадратов; оценим дисперсию остатков ; построим график остатков.

Остатки вычисляются  по формуле:

 

Для вычисления остатков построим таблицу:

Таблица 2

Наблю дение	Y	X		Остатки ε	ε2	(εi- εi-1)2
1	69	38	62,6975	6,3025	39,7215		0,0914
2	52	28	49,5075	2,4925	6,2126	14,5161	0,0480
3	46	27	48,1885	-2,1885	4,7895	21,9118	-0,0475
4	63	37	61,3785	1,6215	2,6293	14,5161	0,0258
5	73	46	73,2495	-0,2495	0,0623	3,5006	-0,0034
6	48	27	48,1885	-0,1885	0,0355	0,0037	-0,0039
7	67	41	66,6545	0,3455	0,1194	0,2852	0,0052
8	62	39	64,0165	-2,0165	4,0663	5,579	-0,0325
9	47	28	49,5075	-2,5075	6,2876	0,2411	-0,0533
10	67	44	70,6115	-3,6115	13,0429	1,2188	-0,0539
Сумма	594	355			76,9669	61,7724	0,3649

Остаточная сумма квадратов:

  = 76,9669

 

 

 

Дисперсия остатков:

  , 

Рис.1 График остатков

 

3. Проверим выполнение предпосылок МНК.

Проверка выполнения предпосылок МНК выполняется  на основе анализа остаточной компоненты:

• случайный характер остатков;
• нулевая средняя величина остатков, не зависящая от x_i;
• гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения ε_i одинакова для всех значений x;
• отсутствие автокорреляции остатков;
• остатки подчиняются нормальному распределению.

1) Для проверки случайного  характера остатков строится  график зависимости остатков ε_i от теоретических значений результативного признака:

Рис.2 График зависимости остатков ε_i от теоретических значений результативного признака

 

На графике получена горизонтальная полоса, значит остатки ε_i представляют собой случайные величины и МНК оправдан.

Проверку  случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше или меньше соседних с ним элементов. Для этого каждый уровень ряда сравним с двумя соседними.

Таблица 3

Наблюдение	Е(t)	Точ.пов.
1	6,3025
2	2,4925	0
3	-2,1885	1
4	1,6215	1
5	-0,2495	1
6	-0,1885	0
7	0,3455	1
8	-2,0165	0
9	-2,5075	0
10	-3,6115

Общее число  поворотных точек р = 4. В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:

4 > 2 – неравенство  выполняется, следовательно, свойство  случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

 

2) Нулевая средняя  величина остатков, не зависящая  от x_i.  С этой целью строится график зависимости остатков ε_i от факторов, включенных в регрессию x_i.

Рис.3 График зависимости остатков ε_i от факторов, включенных в регрессию x_i

Остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, значит, они не зависимы от x_i.

Проверка равенства  математического ожидания уровней  ряда остатков нулю осуществляется в  ходе проверки соответствующей нулевой  гипотезы H_0: . С этой целью строится t-статистика , где _.

t =0 2,3 (α = 0,05; ν=n-2=8) гипотеза принимается.

Таблица 4

t-статистика			0
t крит  0,05			2,3
t
1	6,3025	39,7215
2	2,4925	6,2126
3	-2,1885	4,7895
4	1,6215	2,6293
5	-0,2495	0,0623
6	-0,1885	0,0355
7	0,3455	0,1194
8	-2,0165	4,0663
9	-2,5075	6,2876
10	-3,6115	13,0429
Сумма	0	76,9669
Среднее	0

 

3) Гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения e_i одинакова для всех значений x. Для обнаружения гомоскедастичности применим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Оценим значимость коэффициента корреляции Спирмена с помощью   t-критерия Стьюдента:

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 5

К проверке предпосылки МНК №3 по тесту Спирмена
ρ(x)	ρ(e)	ρ(x)-ρ(e)	(ρ(x)-ρ(e))^2
6	10	4	16
3,5	7	-3,5	12,25
1,5	6	-4,5	0,25
5	4	1	1
10	2	8	64
1,5	1	0,5	0,25
8	3	5	25
7	5	2	4
3,5	8	-4,5	20,25
9	9	0	0
Сумма		8	163
Коэфф. Спирмена		0,012
t-статистика		0,034
t крит 0,05		2,3

Т.к. t-статистика<tкрит, следовательно гипотеза о наличии  гомоскедастичности при пятипроцентном уровне значимости принимается. Связь  значима.

 

4) Независимость остатков проверяется  с помощью критерия Дарбина  – Уотсона. Для расчета используем данные таблицы 2 граф 6 и 7:

         

dw=61,76/76,9669=0,802

Критические значения по таблице распределения статистики Дарбина-Уотсона при n=10 составляют  d ₁ = 0,95 и d₂=1,23.

Расчетный показатель попадает в область 0<d<d1, значит, уровни автокоррелированы, то есть, зависимы, модель неадекватна.

 

5) Нормальность распределения остаточной компоненты определяется по R/S-критерию. Рассчитаем значение RS:               

RS = (ε_max - ε_min)/ S,

где ε_min - минимальное значение уровней ряда остатков; ε_max  - максимальное значение уровней ряда остатков; S - среднее квадратическое отклонение.

Таблица 6

εmax	6,3025
εmin	-3,6115
εmax - εmin	9,914
S	2,924
RS	3,39

Для n=10 и α=0,05 критический интервал (2,67;3,57) полученный критерий RS принадлежит критическому интервалу, следовательно, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

 

4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (t–статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

         

, где S_e² – стандартная ошибка модели. Стандартная ошибка модели рассчитывается по формуле:                                     

S_ε² = 76,9669/8 = 9,6209

S_α = √9,6209*13093/10*490,5 = 5,0677

S_β = √9,6209/490,5 = 0,14

t_{α – расч} = 12,5755/5,0677 = 2,4815

t_{β – расч} = 1,319/0,14 = 9,421

Сравним расчетные значения сравниваются с табличными t_табл. Так как t_a-расч = 2,4815 > t_табл. = 2,3    и   t_b-расч 9,421> t_табл. = 2,3, то параметры уравнения регрессии a и b являются значимыми.

 

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Определим линейный коэффициент  парной корреляции по формуле 

r_Y,X = 647/ √456361,2 = 0,958

Рассчитаем коэффициент детерминации:

R² = r²_Y,X = 0,918

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 91,8 % объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Оценку значимости уравнения регрессии  проведем с помощью F-критерия Фишера:

F = 0,918*8/(1-0,918) = 89,561

F = 89,561 > F_табл.= 5,318 для α=0,05;  k₁=m=1;    k₂=n-m-1=8

Уравнение      регрессии       с вероятностью 0,95    в целом   статистически    значимое, т. к. F  >  F_табл.

Определим среднюю относительную ошибку:

1/10*0,3649*100% = 3,65%

В среднем расчетные  значения Y для линейной модели отличаются от фактических значений на 3,65%.

Вывод. На основании рассчитанных критериев можно сделать вывод о хорошем качестве модели.

 

6. Осуществив прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Прогнозное значение показателя, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения =0,8*46=36,8  составит

= 12,5755 + 1,319 *36,8 = 61,1147

Интервальный прогноз:

     

t_кр(0,1;8)=1,8595 для 10 - 2 = 8 степеней свободы и уровня значимости 0,1 равно 1,8595.

61,1147-6,1103 ≤ y ≤ 61,1147+6,1103

55,0044 ≤ y ≤ 67,225

 

7. Представим графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

Рис.4 График фактических и модельных значений Y, точки прогноза

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;
• показательной.

Привести графики  построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. 

1) Уравнение гиперболической  функции:  = a + b/x.

Произведем линеаризацию модели путем замены X = 1/x. В результате получим линейное уравнение = a + bX.

 

 

 

 

 

Таблица 7

Наблюдение	y		х			Е		(y - )2	( )2	*100%
1	69	64,13607	38	0,02631579	1,81578947	4,86391	0,000693	23,65778	92,16	7,049169
2	52	49,38974	28	0,03571429	1,85714286	2,61023	0,001276	6,813465	54,76	5,019734
3	46	47,31433	27	0,03703704	1,7037037	-1,31437	0,001372	1,727459	179,56	2,85724
4	63	63,02013	37	0,02702703	1,7027027	-0,02015	0,00073	0,000405	12,96	0,03196
5	73	71,3169	46	0,02173913	1,58695652	1,68310	0,000473	2,832836	184,96	2,305621
6	48	47,31433	27	0,03703704	1,77777778	0,68563	0,001372	0,470145	129,96	1,428482
7	67	67,15727	41	0,02439024	1,63414634	-0,15728	0,000595	0,024735	57,76	0,23474
8	62	65,19478	39	0,02564103	1,58974359	-3,19480	0,000657	10,20665	6,76	5,15288
9	47	49,38974	28	0,03571429	1,67857143	-2,38977	0,001276	5,71085	153,76	5,08455
10	67	69,76649	44	0,02272727	1,52272727	-2,76650	0,000517	7,653477	57,76	4,12909
Сумма	594		355	0,29334313	16,8692617		0,008959	59,0978	930,4	33,29347
Среднее значение	59,4		35,5	0,0293343	1,6869262		0,000896		93,04

 

Рассчитаем  параметры  уравнения по данным таблицы 6.

b = (1,6869262 - 59,4 * 0,0293343)/( 0,000896 - 0,0293343²) = -1569,01

а = =59,4+1569,01*0,0293343 = 105,42581

Получим  следующее  уравнение гиперболической модели:

= 105,42581 - 1569,01/х.

Определим индекс корреляции:

ρ_YX = √1-59,0978/930,4 = 0,96772

Связь между показателем у и фактором х сильная.

Коэффициент детерминации равен  0,936481

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 93,65% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Коэффициент эластичности:

Э_yx = -b / (a*x_ср + b) =1569,01/(105,42581*35,5-1569,01 = 0,72153

Это означает, что при  увеличении фактора Х на 1 % результирующий показатель увеличится на 0,72 %.

Средняя относительная  ошибка аппроксимации:

В среднем расчетные  значения ŷ для гиперболической  модели отличаются от фактических значений на 3,33%.

Рис.5 Гиперболическая модель регрессии

2) Уравнение степенной модели  имеет вид:  =а₀∙х^а1. Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg =lgА+х*lgВ.

Обозначим Y = lg , x = lg X, А = lg А. Тогда уравнение примет вид: Y=А+b*Х– линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя  данные таблицы 7:

 

 

Таблица 7

 

Наблюдение	у		Y	x		Е		2		YX	( )2
1	69	62,6939	1,838849	38	1,579784	6,13287	2,495716	37,61209	8,89	2,904984	92,16
2	52	49,1229	1,716003	28	1,447158	2,75485	2,094266	7,589199	5,30	2,483328	54,76
3	46	47,71638	1,662758	27	1,431364	-1,83358	2,048802	3,362016	3,99	2,380011	179,56
4	63	61,37248	1,799341	37	1,568202	1,45941	2,459257	2,129878	2,32	2,821729	12,96
5	73	73,03063	1,863323	46	1,662758	-0,24496	2,764764	0,060005	0,34	3,098255	184,96
6	48	47,71638	1,681241	27	1,431364	0,16642	2,048802	0,027696	0,35	2,406468	129,96
7	67	66,61712	1,826075	41	1,612784	0,19426	2,601072	0,037737	0,29	2,945064	57,76
8	62	64,00833	1,792392	39	1,591065	-2,18669	2,531487	4,781613	3,53	2,851811	6,76
9	47	49,1229	1,672098	28	1,447158	-2,24515	2,094266	5,040699	4,78	2,41979	153,76
10	67	70,48296	1,826075	44	1,643453	-3,68699	2,700937	13,5939	5,50	3,001068	57,76
Сумма	594		17,67815	355	15,41509		237,6249	74,23483	35,27	272,5103	930,4
Ср. знач.	59,4		1,767815	35,5	1,541509		2,376249	7,423483		2,725103