Контрольная работа по "Эконометрике". 49

Эконометрика для СибГАУ

Вариант 3

Контрольная работа

 

Содержание работы

 

 

Задача 1. Модель парной линейной регрессии

Имеются данные за 10 лет по прибылям x и y (в %), получаемому домохозяйством ежемесячно в течение года.

Таблица 1

Исходные данные

Годы	Х	y
1	10,2	20,1
2	15,8	18
3	12,5	10,3
4	10,3	12,5
5	5,7	6
6	-5,8	-6,8
7	-3,5	-2,8
8	5,2	3
9	7,3	8,5
10	6,7	8

 

Задания:

1. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, оценить его статистическую значимость и построить для него доверительный интервал с уровнем значимости α = 0,05. Сделать выводы.
2. Построить линейное уравнение парной регрессии y на x и оценить статистическую значимость параметров регрессии. Сделать рисунок.
3. Оценить качество уравнения регрессии при помощи коэффициента детерминации. Сделать выводы. Проверить качество уравнения регрессии при помощи F критерия Фишера.
4. Выполнить прогноз прибыли y при прогнозном значении x, составляющем 113% от среднего уровня. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал для уровня значимости α = 0,05. Сделать выводы.

 

Решение:

1. Для определения степени тесноты связи обычно используют линейный коэффициент корреляции:

где ,  - выборочные дисперсии переменных х и y, - ковариация признаков. Соответствующие средние величины определяются по формулам:

, ,  ,

С целью расчета коэффициента корреляции построим следующую расчетную  таблицу:

Таблица 2

Расчетная таблица коэффициента корреляции

№	x	y	xy	x2	y2	y(xi)	(yi-y(xi))2
1	10,2	20,1	205,02	104,04	404,01	12,017	65,335
2	15,8	18	284,4	249,64	324	18,476	0,227
3	12,5	10,3	128,75	156,25	106,09	14,670	19,097
4	10,3	12,5	128,75	106,09	156,25	12,132	0,135
5	5,7	6	34,2	32,49	36	6,826	0,683
6	-5,8	-6,8	39,44	33,64	46,24	-6,438	0,131
7	-3,5	-2,8	9,8	12,25	7,84	-3,785	0,971
8	5,2	3	15,6	27,04	9	6,250	10,561
9	7,3	8,5	62,05	53,29	72,25	8,672	0,030
10	6,7	8	53,6	44,89	64	7,980	0,000
Итого	64,4	76,8	961,61	819,62	1225,68	76,800	97,169
Среднее	6,44	7,68	96,161	81,962	122,568	7,680	9,717

 

Непосредственный расчет характеристик показателей представим таблицей 3.

 

Таблица 3

Статистические характеристики изучаемых показателей и коэффициент  корреляции

Показатель	Значение
Среднее по х	6,4400
Среднее по y	7,6800
Выборочная дисперсия S2x	40,4884
Выборочная дисперсия S2y	63,5856
Выборочное СКО Sx	6,3630
Выборочное СКО Sy	7,9741
Модифицированное выборочное СКО S*x	6,7072
Модифицированное выборочное СКО S*y	8,4054
Ковариация cov(x,y)	46,7018
Корреляция rxy	0,9204

 

Модифицированные выборочные СКО S^*x, S^*y рассчитываются по формулам:

Таким образом, между  объемом продаж (y) и расходами на рекламу (x) существует слабая (|r|<0,3) отрицательная корреляционная зависимость.

Для оценки статистической значимости коэффициента корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента:

который имеет распределение  Стьюдента с k=n-2=8 степенями свободы и уровнем значимости α=0,05. Критическое значение T_критич = T(k=8, α=0,05) = 2,31.

Поскольку условие T_набл > T_критич выполняется, то коэффициент корреляции значим.

Для значимого коэффициента можно  построить доверительный интервал, который с заданной вероятностью содержит неизвестный генеральный  коэффициент корреляции. Для построения интервальной оценки (для малых выборок n<30), используют z-преобразование Фишера:

Распределение z уже при небольших n является приближенным нормальным распределением с математическим ожиданием

и дисперсией

.

Поэтому вначале строят доверительный интервал для M[z], а затем делают обратное z-преобразование.

Применяя z-преобразование для найденного коэффициента корреляции, получим:

z = arth(0,9204) = 1,5918.

Доверительный интервал для M[z] будет иметь вид:

где t_γ находится с помощью функции Лапласа Ф(t_γ) = γ/2. Для γ = 1- α=0,95 имеем t_γ  = 1,96. Тогда: 0,8510 ≤ M[z] ≤ 2,3326.

Обратное z-преобразование осуществляется по формуле

В результате находим

 

0,6916 ≤ ρ ≤ 0,9204.

Следовательно, в указанных границах на уровне значимости 0,05 (с надежностью 0,95) заключен генеральный коэффициент корреляции ρ.

2. Таким образом, между  переменными x и y имеет место существенная линейная корреляционная зависимость, то есть:

y = β₀ + β₁ x + ε

где y – зависимая переменная (результативный признак), x – независимая (объясняющая) переменная, ε – случайные отклонения, β₀, β₁ – параметры регрессии. По выборке ограниченного объема можно построить эмпирическое уравнение регрессии:

где b₀, b₁ – эмпирические коэффициенты регрессии. Для оценки параметров регрессии обычно используют метод наименьших квадратов (МНК). Применение данного метода к оценке указанных параметров приводит к следующим формулам:

Результат расчета коэффициентов  эмпирического уравнения регрессии дает: b₀ = 0,2517; b₁ = 1,1535.

Эмпирическое уравнение  регрессии 

Параметр b₁ называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. В рассматриваемом случае, с увеличением x на 1 ед. y возрастает в среднем на 1,1535 млн. руб.

На рисунке 1 построено корреляционное поле и эмпирическая линия регрессии.

Рис. 1. Корреляционное поле и эмпирическая линия регрессии.

Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнений  регрессии, начинается с проверки статистической значимости каждого коэффициента регрессии. Для этого вычислим сначала стандартную  ошибку регрессии

Значимость коэффициента регрессии устанавливается с  помощью t-критерия Стьюдента:

где S_bi – стандартная ошибка коэффициента регрессии.

Для коэффициентов b₀, b₁ эмпирической линии регрессии оценку дисперсии можно получить по формулам:

Тогда: = 0,1605, = 6,6596.

Критическое значение критерия было уже найдено T_критич = 2,31. Поскольку условия < T_критич, > T_критич, то коэффициент b₁ значимо отличается от нуля, а коэффициент b₀ - нет. Следовательно, для коэффициента b₁ – можно построить доверительный интервал, а для коэффициента b₀ - нельзя.

Несмотря на сказанное  выше, все же построим доверительные интервалы для обоих коэффициентов, учитывая условность интервала для коэффициента b₀. Определим предельные ошибки для каждого показателя:

где t = T_критич = 2,31. В рассматриваемом случае:

В результате, получаем следующие доверительные интервалы для коэффициентов регрессии:

b₀ = 0,2517±3,62;  b₁ = 1,1535±0,3994

3. Оценку качества построенной модели дает коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации для линейной модели равен квадрату коэффициента

Это означает, что 84,72% вариации признака y объясняется вариацией признака-фактора x.

Значимость уравнения  регрессии проверяется при помощи F-критерия Фишера, для линейной парной регрессии он будет равен:

F подчиняется распределению Фишера с уровнем значимости α и степенями свободы k₁ = 1, k₂ = n-2=8.

Поскольку критическое  значение критерия равно F_критич = F(α=0,05; k₁=1; k₂=8) = 5,32 и условие F> F_критич выполняется, то статистическая признается значимость построенного уравнения регрессии.

4. Полученные оценки  уравнения регрессии позволяют  использовать его для прогноза. В рассматриваемом случае прогнозное  значения результативного признака y при значении факторного признака x, равному 113% от своего среднего уровня, будет таким

Средняя ошибка прогноза вычисляется по формуле (x_p = ):

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза

 

Задача 2. Модель парной нелинейной регрессии

По территориям Волго-Вятского Центрально-Черноземного и Поволжского районов известны данные за ноябрь 1997 г.

Таблица 1

Исходные данные

№	Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., x	Потребительские расходы на душу населения, тыс.руб., y
Респ. Марий Эл	554	302
Респ. Мордовия	560	360
Чувашская респ.	545	310
Кировская обл.	672	415
Нижегородская обл.	796	452
Белгородская обл.	777	502
Воронежская обл.	632	355
Курская обл.	688	416
Липецкая обл.	830	501
Тамбовская обл.	577	403
Респ. Татарстан	949	462
Пензенская обл.	562	342

 

Задания:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи. Рассчитайте параметры уравнений обратной (y=1/(a+b*x)) и полулогарифмической (y=a+b*ln x) парной регрессии. Сделайте рисунки.
2. Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом для каждой модели. Оцените качество уравнений регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации и коэффициента детерминации.
3. По значениям рассчитанных характеристик выберете лучшее уравнение регрессии. Дайте экономический смысл коэффициентов выбранного уравнения регрессии.
4. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

Решение:

1. Построим поле корреляции (рис. 1.)

Рис. 1. Корреляционное поле

По виду расположения точек можно предположить, что имеется слабая положительная корреляционная зависимость.

1а. Построению обратной модели

y=1/(a+b*x)

предшествует процедура  линеаризации. В данном случае линеаризация производится путем обращения результативного фактора:

1/y = a+b*x

По выборке ограниченного  объема можно построить эмпирическое уравнение регрессии:

где ν = 1/y. Таким образом, обратная модель свелась к линейной модели с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез.

Составим следующую  расчетную таблицу.

Таблица 2

Расчетная таблица

№	x	v=1/y	xv	x2	v2		ei =yi-	A	ei2	(y- )2
1	554,00	0,0033	1,8344	306916,00	0,00001096	0,0029	41,589	0,1377	1729,65	9933,44
2	560,00	0,0028	1,5556	313600,00	0,00000772	0,0029	-14,403	0,0477	207,45	1736,11
3	545,00	0,0032	1,7581	297025,00	0,00001041	0,0029	30,621	0,1014	937,65	8402,78
4	672,00	0,0024	1,6193	451584,00	0,00000581	0,0026	-27,094	0,0897	734,08	177,78
5	796,00	0,0022	1,7611	633616,00	0,00000489	0,0022	-3,273	0,0108	10,71	2533,44
6	777,00	0,0020	1,5478	603729,00	0,00000397	0,0023	-63,801	0,2113	4070,51	10066,78
7	632,00	0,0028	1,7803	399424,00	0,00000793	0,0027	16,656	0,0552	277,43	2177,78
8	688,00	0,0024	1,6538	473344,00	0,00000578	0,0025	-21,189	0,0702	448,97	205,44
9	830,00	0,0020	1,6567	688900,00	0,00000398	0,0021	-32,115	0,1063	1031,36	9867,11
10	577,00	0,0025	1,4318	332929,00	0,00000616	0,0028	-51,585	0,1708	2661,06	1,78
11	949,00	0,0022	2,0541	900601,00	0,00000469	0,0018	94,362	0,3125	8904,21	3640,11
12	562,00	0,0029	1,6433	315844,00	0,00000855	0,0029	4,271	0,0141	18,24	3560,11
Итого	8142,00	0,0307	20,30	5717512,00	0,00008084			1,3277	21031,3332	52302,67
Среднее значение	678,50	0,0026	1,6913	476459,3333	0,000007			0,1106

 

По таблице 2 вычислим коэффициенты b, c:

В результате, получим  линейное уравнение:

ν = 0,004472 - 0,00000282*x.

Выполнив его обращение, находим искомое уравнение обратной регрессии:

y = 1/(0,004472 - 0,00000282*x)

Подставляя в данное уравнение фактические значения x, получаем теоретические значения результата y.

Рис. 2. Уравнение обратной регрессии и корреляционное поле

1б. Построению полулогарифмической  модели

y=a+b*ln x

предшествует процедура  линеаризации путем преобразования u = ln x. В результате получается линейное уравнение регрессии:

y = a+b*u.

Составим следующую  расчетную таблицу.

Таблица 3

Расчетная таблица

№	u=ln x	y	yu	u2	y2		ei=yi-	A	ei2	(y- )2
1	6,32	302	1907,78	39,91	91204	341,6977	-39,698	0,1314	1575,9097	9933,44
2	6,33	360	2278,06	40,04	129600	345,1676	14,832	0,0412	220,0004	1736,11
3	6,30	310	1953,24	39,70	96100	336,4218	-26,422	0,0852	698,1133	8402,78
4	6,51	415	2701,76	42,38	172225	403,8962	11,104	0,0268	123,2946	177,78
5	6,68	452	3019,18	44,62	204304	458,4435	-6,444	0,0143	41,5188	2533,44
6	6,66	502	3341,03	44,29	252004	450,6616	51,338	0,1023	2635,6343	10066,78
7	6,45	355	2289,36	41,59	126025	384,1283	-29,128	0,0821	848,4580	2177,78
8	6,53	416	2718,06	42,69	173056	411,4757	4,524	0,0109	20,4690	205,44
9	6,72	501	3367,43	45,18	251001	471,9165	29,084	0,0581	845,8513	9867,11
10	6,36	403	2562,21	40,42	162409	354,8006	48,199	0,1196	2323,1813	1,78
11	6,86	462	3167,20	47,00	213444	515,0745	-53,075	0,1149	2816,9038	3640,11
12	6,33	342	2165,37	40,09	116964	346,3160	-4,316	0,0126	18,6274	3560,11
Итого	78,04	4820,00	31470,68	507,91	1988336,00			0,80	12167,96	52302,67
Среднее значение	6,50	401,67	2622,56	42,33	165694,67			0,07

По таблице 3 вычислим коэффициенты b, a:

В результате, получим  линейное уравнение:

y = -1639,16 + 322,12*u.

Возвращаясь к переменной x получим искомое уравнение полулогарифмической регрессии:

y = -1639,16 + 322,12*ln x.

Подставляя в данное уравнение фактические значения x, получаем теоретические значения результата y.

Рис. 3. Уравнение полулогарифмической регрессии и корреляционное поле

2. Средний коэффициент эластичности

показывает, насколько  процентов в среднем по совокупности изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора на 1% от своего среднего значения.

 

Для обратной функции y=1/(a+b*x).

В нашем случае, = 0,75.

Для полулогарифмической  функции y=a+b*ln x

Таким образом, при росте выплат на 1%, потребительские расходы вырастут на 0,75% для обратной модели и возрастут на 0,79% для полулогарифмической модели.

Средняя ошибка аппроксимации  – среднее отклонение расчетных  значений от фактических:

В рассматриваемом случае по данным таблиц 2 и 3 находим для обратной регрессии = 11,06%, для полулогарифмической - = 7%.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, если не превышает 8-10%. Из рассмотренных моделей полулогарифмическую модель можно оценить как хорошо описываемую имеющиеся статистические данные, модель обратной регрессии – как удовлетворительную.

Коэффициент детерминации

Характеризует долю дисперсии  результативного признака, объясняемую  регрессией, в общей дисперсии результативного признака. По данным таблиц 2 и 3 получаем = 0,5979 для обратной регрессии и = 0,7674 для полулогарифмической регрессии.

Наибольшее значение коэффициент детерминации имеет  для полулогарифмической модели ( = 0,7674). Он показывает, что уравнение регрессии на 76,74% объясняет вариацию значений признака y.

3. Из всех построенных моделей регрессии наиболее оптимальными характеристиками обладает модель полулогарифмической регрессии:

y=a+b*ln x

Оно имеет наименьшую ошибку аппроксимации ( =7%), и наибольший индекс детерминации ( = 0,7674).

4. Полученные оценки  уравнения регрессии позволяют  использовать его для прогноза. Прогнозное значение y_p определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения x_p. В нашем случае прогнозное факторного признака равно 1,1*678,5 = 746,35 тыс. руб. Тогда прогнозное значение результативного признака составит (y=a+b*ln x) 437,7 тыс.руб.

Вычислим среднюю стандартную  ошибку прогноза для переменной y по следующей формуле:

и

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит (t=T(0,05; 12-2)=2,23):

Доверительный интервал прогноза

Выполненный прогноз  объема продаж надежен (γ=0,95), но неточен, т.к. диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составил (437,7+81,8)/(437,7-81,8)=1,46. Это связано в первую очередь с малым объемом выборки.

 

Задние 3. Моделирование временных  рядов

Имеются данные об объемах экспорта из Российской Федерации (млрд.долл., цены Фондовой Общероссийской биржи (ФОБ)) за 1994-1999 гг.

Таблица 1

Исходные данные

Номер квартала	Экспорт, млрд. долл., цены ФОБ	Номер квартала	Экспорт, млрд. долл., цены ФОБ
1	4087	13	6975
2	4737	14	6891
3	5768	15	7527
4	6005	16	7971
5	5639	17	5875
6	6745	18	6140
7	6311	19	6248
8	7107	20	6041
9	5741	21	4626
10	7087	22	6501
11	7310	23	6284
12	8600	24	6707

 

Задания:

1. Постройте график данного ряда. Охарактеризуйте структуру этого ряда.
2. Рассчитайте сезонную компоненты временного ряда и постройте его мультипликативную модель.
3. Рассчитайте трендовую компоненту временного ряда и постройте его график.
4. Оцените качество модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения.

 

 

Решение:

1. Построим график временного ряда по данным таблицы 1.

Рис. 1. График временного ряда.

По графику можно  сделать вывод о наличии циклических процессов в динамическом ряду с периодичностью в 4 квартала (1 год). В течении каждого года уровни ряда в целом растут, достигая пиковых значений к концу года, после чего происходит резкий спад и выход на новый тренд роста в следующем году.

 

2. Мультипликативную модель можно представить формулой:

F = T х S x E,

где:

F – прогнозируемое  значение;

Т – тренд;

S – сезонная компонента;

Е – ошибка прогноза.

Алгоритм построения модели следующий:

1. Расчет значений сезонной компоненты. Влияние сезонной компоненты исключают методом скользящей средней.
2. Десезонализация данных. Она заключается в делении фактических значений на сезонную компоненту и расчете тренда на основе полученных десезонализированных данных. В качестве оптимального аппроксимирующего метода на данном этапе используют метод наименьших квадратов.
3. Расчет ошибок как частного между фактическими и трендовыми значениями
4. Расчет среднего отклонения или среднеквадратической ошибки для сопоставления модели с реальной ситуацией или для выбора наилучшей модели.

Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и, разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Отметим, что полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрирование скользящей средней. Найдем оценки сезонной компоненты как частное между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Результаты расчетов представим в таблице 2.

 

Таблица 2

Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели

№ квартала	Уровень	Скользящая средняя за 4 месяца	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	4087
2	4737	5149,25
3	5768	5537,25	5343,25	1,0795
4	6005	6039,25	5788,25	1,0374
5	5639	6175	6107,125	0,9233
6	6745	6450,5	6312,75	1,0685
7	6311	6476	6463,25	0,9764
8	7107	6561,5	6518,75	1,0902
9	5741	6811,25	6686,375	0,8586
10	7087	7184,5	6997,875	1,0127
11	7310	7493	7338,75	0,9961
12	8600	7444	7468,5	1,1515
13	6975	7498,25	7471,125	0,9336
14	6891	7341	7419,625	0,9288
15	7527	7066	7203,5	1,0449
16	7971	6878,25	6972,125	1,1433
17	5875	6558,5	6718,375	0,8745
18	6140	6076	6317,25	0,9719
19	6248	5763,75	5919,875	1,0554
20	6041	5854	5808,875	1,0400
21	4626	5863	5858,5	0,7896
22	6501	6029,5	5946,25	1,0933
23	6284
24	6707