Контрольная работа по "Эконометрике". 23

Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики

___________________________________________

Выборгский филиал

Кафедра «Гуманитарных и естественнонаучных дисциплин»

Контрольная работа

по дисциплине:  ЭКОНОМЕТРИКА

вариант:              №4                              

                                          Выполнил:  Галкова Н.А.

                                      Группа:                   4/2109

                                            Проверил:   Суханов В.В.

Выборг

2010

СОДЕРЖАНИЕ

1.      Задача № 1…………………………………………………………………3

2.      Задача № 2………………………………………………………………..10

3.      Задача № 4………………………………………………………………. 17

4.      Задача № 6………………………………………………………………..20

Литература ……………………………………………………………… 23

Задача 1.

По территориям Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2000 год:

Таблица № 1.

Задание:

1.     Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

2.     Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.

3.     Рассчитайте параметры a1 и а0 парной линейной функции ух = а0 + a1х и линейно-логарифмической функции уln x = а0 + a1lnх

4.     Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (ryx и ηylnx) и детерминации (r2yx и η2ylnx), проанализируйте их значения.

5.     Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости α = 0,05.

6.     На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

7.     По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (ŷ), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации – ε'ср., оцените ее величину.

8.     Рассчитайте прогнозное ) составит 1,040 отзначение результата ỹ, если прогнозное значение фактора (х  среднего уровня (хˉ).

9.     Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для α = 0,05), определите доверительный интервал прогноза (γmax; γmin), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (Dγ), оцените точность выполненного прогноза.

Решение:

1.      Построим график: расположим территории по возрастанию значений фактора Xi . См. таблицу 2. Если график строится в табличном процессоре ЕХСЕL, то в исходной таблице фактор должен находиться на первом месте, а результат - на втором. Из графика может быть сделан вывод о возможной форме связи инвестиций (Y) с основными фондами (X). В этом случае для описания зависимости следует построить несколько моделей разного вида и на основе оценочных характеристик выбрать оптимальную форму модели.

Таблица № 2.

2.      Как правило, моделирование начинается с построения уравнения прямой:

Y = а0 +а1*Х, отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

3.      Рассчитаем неизвестные параметры уравнения методом наименьших квадратов (МНК), построим систему нормальных уравнений и решим её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка ∆, ∆а0 и ∆а1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, Х*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.

См. таблицу З.

Расчётная таблица № 3

4.      Согласно данной формуле выполним расчёт определителя системы:

∆ = n * ∑(X2) - ∑Х * ∑Х = 12*318732,7 – 1433,2*1433,2 = 1770729,68;

Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

∆а0 = ∑Y * ∑(X2) - ∑(Y*X) * ∑Х = 204,01*318732,7 – 49450,6*1433,2 = – 5847904,09.

Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

∆а1 =n * ∑(Y*X) - ∑Y * ∑Х = 12*49450,6 – 204,01*1433,2 = 301019,68.

5.      Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:

а0 = ∆а0 /∆ = – 5847904,09/1770729,68 = – 3,3;

а1 = ∆а1 /∆ = 301019,68/1770729,68 = 0,17.

В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:    Ŷх= – 3,3 + 0,17 * X

В уравнении коэффициент регрессии а1 = 0,17 означает, что при увеличении среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) на 1 % (от своей средней) оборот розничной торговли возрастет на 0,17 млрд. руб. (от своей средней).

Свободный член уравнения а0 = - 3,3 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на оборот розничной торговли.

6.      Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:                ЭYX = f ' (X) * X/Y

В нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:

ЭYX = а1 * X/Y = 0,17 * 119,43/17,0008 = 1,194

Это означает, что при изменении общей суммы среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) на 1% от своей средней оборот розничной торговли увеличиваются на 1,194 процента от своей средней.

7.      Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

rYX = а1 * σX/σY = 0,17 * 110,89/19,89 = 0,948         rYX 2 = 0,899.

Коэффициент корреляции, равный 0,948, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между общей суммой среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) и оборотом розничной торговли. Коэффициент детерминации, равный 0,899, устанавливает, что вариация оборота розничной торговли на 89,9% из 100% предопределена вариацией общей суммы среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости); роль прочих факторов, влияющих на оборот розничной торговли, определяется в 10,1%, что является сравнительно небольшой величиной.

8.      Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера - Fфакт и сравним его с табличным значением - Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе Н0: а0 = а1 = rYX = 0, то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α = 0,05).

В нашем случае, 

Fфакт = rYX 2 /1- rYX 2 : k – 1/n – k = 0,899/0,101 : (2 – 1)/(12 – 2) = 8,9 : 0,1 = 89,0.

Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 89 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) и оборота розничной торговли. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: Fта6л = 4,96 при степенях свободы df1= k – 1 = 1 и df2 = n – k = 12 – 2 = 10 и уровне значимости α = 0,05.

Значения Fта6л представлены в таблице «Значения F-критерия Фишера для уровня значимости 0,05 (или 0,01)».

В силу того, что Fфакт = 89,0 > Fта6л = 4,96, нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

9.      Определим теоретические значения результата Yтеор. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора X и выполним расчет.

Например, Ŷ1 = – 3,3 + 0,17 * 4,2 = – 2,59. См. графу 5 расчётной таблицы. По парам значений Yтеор и Хфакт строится теоретическая линия регрессии, которая пересечётся с эмпирической регрессией в нескольких точках. См. график 1.

График 1

10. Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:

ε΄ = 1/n * ∑| Yфакт – Ŷ/Y| * 100% = 60,87% .

В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 60,87%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели. Которое не позволяет использовать ее для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения X).

Если предположить, что прогнозное значение фактора Х составит 1,07 от уровня его средней, то есть Хпрогн.= 1,07 * 4,2 = 4,494, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне: Yпрогн.=  0,336 + 0,512 * 4,494 = 2,637 млрд. руб.

Задача № 2

Производится изучение социально-экономических показателей по территориям Сибирского федерального округа РФ за 2000 год.

Y – Валовой региональный продукт, млрд. руб.,

X1 – Инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;

Х2 – Среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;

X3 – Инвестиции 1999 года в основной капитал, млрд. руб.

Требуется изучить влияние указанных факторов на стоимость валового регионального продукта.

Предварительный анализ исходных данных по 12 территориям не выявил территорий с аномальными значениями признаков. Поэтому значения приводимых показателей рассчитаны по полному перечню территорий федерального округа.

При обработке исходных данных получены следующие значения:

а) – линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений σ:

N=12.

б) – коэффициентов частной корреляции

Задание:

1.      По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции r выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Произведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.

2.      Выполните расчёт бета коэффициентов (β) и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов (β) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.

3.      По значениям β-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (то есть а1, а2 и а0). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности – Эух.

4.      Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R2, а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи через F-критерий Фишера (для уровня значимости α = 0,05).

5.      Рассчитайте прогнозное значение результата Ỹxj, предполагая, что прогнозные значения факторов (хj) составят 107,7 процента от их среднего уровня.

6.      Основные выводы оформите аналитической запиской.

Решение.

1.         Представленные в условии задачи значения линейных коэффициентов парной корреляции позволяют установить, что валовой региональный продукт – Y более тесно связан со среднегодовой стоимостью основных фондов в экономике – Х2 (ryx2 = 0,9541) и с инвестициями 2000 года в основной капитал – X1 (ryx1 = 0,9493); наименее тесно результат Y связан с инвестициями 1999 года в основной капитал – X3. Поэтому, в силу небольшой информативности фактора Х3, предполагаем, что его можно исключить из дальнейшего анализа, оставляя для рассмотрения только Х1 и Х2. Проверим наши предположения с помощью анализа матрицы коэффициентов частной корреляции. Очевидно, что наиболее тесная связь результата Y со среднегодовой стоимостью основных фондов в экономике (ryx2*х1х3 = 0,8217) и примерно одинаково тесно связан результат с инвестициями 2000 года в основной капитал (ryx1**х2х3 = 0,7990). Поэтому для уточнения окончательного вывода выполним расчет серии коэффициентов частной корреляции Y с двумя возможными комбинациями факторных признаков: для Y с X1 и с Х2

2.         Расчёты частных коэффициентов корреляции выполним по следующим формулам:

ryx1*х2 = ryx1 - ryx2 * rx1х2/√¯(1 - r2yx2)*(1 - r2 x1x2) = 0,9493 – 0,9541*0,9152/√¯(1 – 0,95412)*(1 – 0, 91522) = 0,643

ryx2*х1 = ryx2 - ryx1 * rx1х2/√¯(1 - r2yx1)*(1 - r2 x1x2) = 0,9541 – 0,9493*0,9152/√¯(1 – 0,94932)*(1 – 0,91522) = 0,672

rx1х2*y = rx1x2 - ryx1 * ryх2/√¯(1 - r2yx1)*(1 - r2yx2) = 0,9152 – 0,9493*0,9541/√¯(1 – 0,94932)*(1 – 0,95412) = 0,101

Как видим, факторы Х1 и Х2, действительно, тесно связаны с результатом, а между собой взаимодействуют, но слабее, чем каждый из них – с результатом. Эти обстоятельства позволяют использовать Х1 и Х2 в качестве факторов уравнения множественной регрессии.

3.              При построении двухфакторной регрессионной модели Y = а0 + а1х1 + а2х2 воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизованных переменных. В этом случае, исходное уравнение приобретает вид: ty = βyx1* tx1 + βyx2* tx2. Выполним расчёт β-коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.

βyx1 = ryx1 - ryx2 * rx1х2/1 - r2 x1x2 = 0,9493 – 0,9541*0,9152/1 – 0,91522 = 0,469

βyx2 = ryx2 - ryx1 * rx1х2/1 - r2 x1x2 = 0,9541 – 0,9493*0,9152/1 – 0,91522 = 0,525

В результате получено уравнение в стандартизованном масштабе:

ty = 0,469*tx1 + 0,525*tx2

Параметры данного уравнения представляют собой относительные оценки силы влияния каждого из факторов на результат. При увеличении инвестиций 2000 года в основной капитал на одну сигму - σх1 (от своей средней) валовый региональный продукт увеличится на 0,469 своей сигмы σу); с увеличением среднегодовой стоимости основных фондов в экономике на σх2 результат увеличится на 0,525σу. Сравнивая β-коэффициенты, определяем, какой из признаков влияет на результат сильнее, а какой - слабее. В данном случае, увеличение валового регионального продукта происходит, прежде всего, под влиянием увеличения среднегодовой стоимости основных фондов в экономике и в меньшей степени - в результате увеличения инвестиций 2000 года в основной капитал.

4.      Используя значения β-коэффициентов, можно рассчитать параметры уравнения в естественной форме:

а1 = βyx1 * σу/σх1 = 0,469*36,03/6,642 = 2,544

а2 = βyx2 * σу/σх2 = 0,525*36,03/114,7 = 0,165

а0 = у – а1*х1 – а2*х2 = 42,43 – 2,544*7,758 – 0,165*168,6 = - 5,125.

В конечном счёте, имеем уравнение: Ŷх1х2 = - 5,125 + 2,544 * х1 + 0,165 * х2 . По значениям коэффициентов регрессии можно судить о том, на какую абсолютную величину изменяется результат при изменении каждого фактора на единицу (от своей средней).

С увеличением инвестиций 2000 года в основной капитал на 1 млрд. руб. валовой региональный продукт увеличивается на 2,544 млрд. руб., с увеличением среднегодовой стоимости основных фондов в экономике на 1 млрд. руб. валовой региональный продукт возрастает на 0,165 млрд. руб.

Но так как признаки-факторы измеряются в разных единицах, сравнивать значения их коэффициентов регрессии не следует. Точную оценку силы связи факторов с результатом дают коэффициенты эластичности и β- коэффициенты.

5.         Для сравнительной оценки силы связи выполним расчёт средних коэффициентов эластичности. С их помощью можно определить, на сколько процентов изменяется результат при изменении фактора на 1% (от своего среднего значения). В нашем случае, расчёт показал, что влияние среднегодовой стоимости основных фондов в экономике на валовой региональный продукт оказалось более сильным по сравнению с влиянием инвестиций 2000 года в основной капитал: с ростом среднегодовой стоимости основных фондов в экономике на 1% валовой региональный продукт увеличивается на 0,656%, а при увеличении инвестиций 2000 года в основной капитал на 1% валовой региональный продукт возрастает на 0,465%. Различия в силе влияния весьма значительны: первый фактор влияет на результат почти в полтора раза сильнее, чем второй. Поэтому регулирование величины валового регионального продукта через среднегодовую стоимость основных фондов в экономике будет более результативным, чем через рост инвестиций 2000 года в основной капитал.

Эух1 = а1 * х1/у = 2,544*7,758/42,43 = 0,465;

Эух2 = а2 * х2/у = 0,165*168,6/42,43 = 0,656.

6.         Тесноту выявленной зависимости валового регионального продукта от среднегодовой стоимости основных фондов в экономике и от инвестиций 2000 года в основной капитал оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β-коэффициентов. Ryxj = √¯∑ryxj* βyxj. В нашем случае 2-х факторной зависимости расчёт строится следующим образом:

Ryx1х2 = √¯ryx1* βyx1 + ryx2* βyx2 = √¯0,9493*0,469 + 0,9541*0,525 = √¯0,946 = 0,973

R2yx1х2 = 0,947

Как показали расчеты, установлена весьма тесная зависимость валового регионального продукта от среднегодовой стоимости основных фондов в экономике и от инвестиций 2000 года в основной капитал. Это означает, что 94,7% вариации валового регионального продукта определены вариацией данных факторов. Оставшиеся 5,3% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых незначительна.

7.              Оценка статистической значимости или надёжности установленной формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов. То есть, Н0/а0 = а1 = а3 = R2yx1х2 = 0.

Для проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется F-критерия Фишера. Его фактическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и остаточной дисперсий и их степеней свободы: df1 = k и df2 = n-k-1; где: n - число изучаемых единиц; k - число ограничений, которые накладываются на исходные данные при расчёте данного показателя. Здесь k равно числу факторов уравнения, то есть k = 2.

Fфакт = R2yxj/1- R2yxj: k/n-k-1

В нашем случае, когда рассматривается зависимость результата от двух факторов, расчёт выглядит следующим образом:

Fфакт = R2yx1х2/1- R2yx1х2: k/n-k-1 = 0,947/0,053:2/12-2-1≈80,41.

Фактическое значение критерия показывает, что детерминация, сформированная под воздействием двух изучаемых факторов, почти в 80 раз больше, чем детерминация, связанная с действием прочих причин. Очевидно, что подобное соотношение случайно сформироваться не может, а является результатом влияния существенных, систематических факторов.

Для принятия обоснованного решения Fфакт сравнивается с Fтабл, которое формируется случайно и зависит степеней свободы факторной (df1 = k) и остаточной (df2 = n-k-1) дисперсий, а также от уровня значимости α = 0,05 Fтабл= 4,26. В силу того, что Fфакт = 80,41 > Fтабл = 4,26, можно с высокой степенью надёжности отклонить нулевую гипотезу, а в качестве альтернативы - согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.