Контрольная работа по "Эконометрике". 47

Вариант №7

ЗАДАЧА 1

Задание по эконометрическому  моделированию стоимости квартир  в Московской области.

1. Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; оценить статистическую значимость коэффициентов корреляции.
2. Построить поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.
3. Рассчитать параметры линейной парной регрессии для всех факторов X.
4. Оценить качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Выбрать лучшую модель.
5. Осуществить прогнозирование для лучшей модели среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1 если прогнозное значение  фактора X составит 80% от его максимального значения. Представить графически: фактические и модельные значения, точки прогноза.
6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.
7. Оценить качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дать оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β и ∆ - коэффициентов.

Исходные данные взяты  из Таблиц 1, 2, 3 «Методических указаний к выполнению контрольной работы».

Номера наблюдений – 1-40

Исследуемые факторы –  Y1, X1, X2, X3

Исходные данные представлены в Таблице 1.

Таблица 1

Исходные данные по эконометрическому моделированию  стоимости квартир

Решение.

1. Расчет матрицы парных коэффициентов корреляции выполнен при помощи надстройки MS Excel «Пакет анализа», функция «Корреляция» Матрица представлена в Таблице 2

Таблица 2

Расчет парных коэффициентов  корреляции произведены по формуле:

Оценка значимости производилась  по t-статистике.

t табл вычислено с использованием функции СТЬЮДРАСПОБР

Таблица 3

Наиболее тесно связанный  с результативным признак – X3 (общая площадь квартиры). Все факторы, согласно t-статистики по отношению к результативному являются значимыми. Наиболее тесная связь – между результативным признаком и X3 (общей площадью квартиры). Обнаружена мультиколлинеарность – корреляционная значимая связь между X2(количеством комнат) и X3(общей площадью), что очевидно.

Корреляция результативного  признака и X1(город) – отрицательна. Это означает, что Люберцы (0) ценятся больше Подольска (1), что логично – объясняется удаленностью. Корреляция Y,X2,X3 положительна, что также логично - чем больше комнат и чем больше площадь, тем больше ценится квартирка.

2.   Поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора(X3-общая площадь) представлено на Рис.1. Аномальных данных не обнаружено.

Рис.1

3.   Расчет параметров парной линейной парной регрессии для всех факторов X производился с использованием инструмента Анализа данных «Регрессия». Результаты сведены в Таблицу 4.

Таблица 4

Уравнения регрессии:

1. Y=117,504-41,510X1
2. Y= 13,151+33,54X2
3. Y= 13,301+1,545X3
4. Y= 10,087-34,608X1+1,495X3

4.  Таблица 3 содержит параметры парной регрессии. Лучшей моделью следует признать модель парной регрессии которая учитывает фактор X3 (общая площадь квартиры).
5. Прогнозное значение результативного признака (стоимости квартиры) определим по уравнению линейной модели, признанной наилучшей:

Y= 13,301+1,545X3; Согласно заданию прогнозное значение фактора X3 составляет 80% от его максимального значения при уровне значимости α=0,1.

X3max =169,00. X3прогн=0,8* X3max=0,8*169,00=135,2

Y= 13,301+1,545X3=222,185 ($ USD)

Ширина доверительного интервала  рассчитывается по формулам:

                 27,861

Коэффициент Стьюдента tα для m = n - 2 = 38 и уровня значимости 0,1 равен 1,686. (использована функция СТЬЮДРАСПОБР)

Результаты расчета сведены  в Таблицу 5

Таблицу 5

Таким образом с вероятностью 90% можно утверждать, что при 80% от максимального фактора X3(площадь квартиры) стоимость будет находится в доверительном интервале от 171,47$USD до 272,900 $USD.

Графическое представление  фактических и модельных значений приведено на Рис.2

Рис.2

6. Используем пошаговую множественную регрессию – метод исключения, строим более точную многофакторную модель. Таблица парной корреляции (Таблица 2) указывает на мультиколлинеарность в модели – тесную связь между объясняющими факторами X2 и X3.

Исключаем из модели фактор X2 – количество комнат. Таблица парной корреляции примет следующий вид (Таблица 6):

Таблица 6.

Таблица 4 дает представление  о том, что многофакторная модель улучшила показатели, модель стала  более достоверной. Однако и теперь она несовершенна, т.к. средняя относительная  ошибка составляет 19,6%, что слишком  много (должно быть меньше 7%).

Расчет коэффициентов  эластичности, β и ∆ - коэффициентов  приведен в Таблице 7. Расчет производился по формулам:

где S_xj  — среднеквадратическое отклонение фактора j

— коэффициент парной корреляции между фактором j (j = 1,...,m) и зависимой переменной.

Таблица 7

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении  фактора j  на один процент.  Из полученных данных видно, что большим влиянием обладает фактор X3 – жилая площадь.

Бета-коэффициент показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения S_y изменится зависимая переменная Y с изменением соответствующей независимой переменной Х_j на величину своего среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных. Наблюдаем большее влияние фактора X3.

Указанные коэффициенты позволяют  упорядочить факторы по степени  влияния факторов на зависимую переменную.

Долю влияния фактора  в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта – коэффициентов. Наблюдаем большее влияние фактора X3.

Вспомогательные расчеты  приведены в Таблице 8.

ЗАДАЧА 2

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос на кредитные  ресурсы финансовой компании. Временной  ряд этого показателя приведен в  Таблице 9.

Таблица 9

Задание.

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Y(t)=a0+a1t, параметры которой оценить при помощи МНК (Y(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 ÷ 3,7).
4. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. Осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p=70%).   
6. Фактические значения показателя, результаты моделирования представить графически.

Вычисления провести с  тремя знаками в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений привести в таблицах. При  использовании компьютера представить  соответствующие листинги с комментариями.

1. Корреляционное поле представлено на Рис.3. Визуально - аномальных наблюдений не отмечено.

Рис.3

Проверим наличие аномальности наблюдений по методу Ирвина. Рассчитаем значения λ, Sy и сравним данные с табличными.

Результаты расчета приведены  в таблице 9.

Сравним значения с табличными для количества наблюдений – 10.

Критические значения параметра  . (Таблица 10).

Произведенные расчеты доказывают отсутствие аномальности.

2. Линейная модель Y(t)=a0+a1t построена при помощи функции «регрессия» пакета анализа MS Excel. Параметры модели определены МНК.

Уравнение приняло следующий  вид: Y = 17,333+5*t

Проведем анализ статистической значимости параметров модели.

Рассчитаем стандартную ошибку оценки остатков Se и среднеквадратические отклонения коэффициентов регрессии Sα и Sβ - стандартные ошибки(отклонения) по ниже приведенным формулам:

  Проверку значимости коэффициентов регрессии определим рассчитав значения t-критерия (t–статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

Результаты расчетов сведены  в таблицу 11:                                                                   

Сравним  расчетные значения с табличными t_табл. Табличное значение критерия определяется при (n-2) степенях свободы (n - число наблюдений) и соответствующем уровне значимости a ( 0,05)

Расчетные значение t-критерия с (n - 2) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, таким образом коэффициент регрессии модели являются значимыми.

3. Оценка адекватности построенной модели
1. Используя свойства независимости остаточной компоненты с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона. Рассчитаем d-критерий по формуле:

Приближенная формула: DW=2(1-r)

Первый коэффициент корреляции остатков рассчитаем по формуле:

Расчетные значения приведены  в Таблице 12:

Рассчитаем шкалу Дарбина Уотсона.

Ниже приведено расчетное  значение Первого коэффициента автокорреляции.

Расчетное значение DW, приближенного и точного попадает в интервал – отсутствие автокорреляции.

По данному критерию модель адекватна, значение DW говорит об отсутствии автокорреляции в остатах.

2. Проверка условия случайности

Рис. 4. График остатков

Критерий случайности  отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить как

где р – фактическое количество поворотных точек в случайном ряду.

Неравенство 6>2,45 выполняется, модель по критерию случайности адекватна.

3. Проверка нормальности распределения остаточной компоненты при помощи RS- критерия

.

               где   – максимальный уровень ряда остатков,

        – минимальный уровень ряда остатков,

          – среднеквадратическое отклонение.