Контрольная работа по "Эконометрике". 15

 

Вариант 16

Задание 1

Разрабатывается оптимальная  политика использования и замены сельскохозяйственной техники не старше N лет, для которой известны:

– стоимость выполняемых  работ в течение года r(t);

– ежегодные расходы, связанные  с ее эксплуатацией u(t);

– остаточная стоимость S;

– стоимость новой техники P.

ТРЕБУЕТСЯ:

1. Используя функциональные  уравнения, составить матрицу  максимальных прибылей B(t, n) за N лет.

2. Сформировать по матрице  максимальных прибылей оптимальные  стратегии замены оборудования  возраста T  лет в плановом периоде  продолжительностью N лет

Все необходимые данные приведены  в таблице

Исходные данные:

№ вар	N T	S P	t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
16	N=10	S=2	r(t)	25	24	24	24	23	23	21	21	21	21	20
	T=8	P=12	u(t)	15	15	16	16	17	17	18	19	20	20	20

Система S для рассматриваемой задачи – процесс эксплуатации оборудования, который характеризуется продолжительностью планового периода N и начальным возрастом оборудования T. Для осуществления принципа инвариантного погружения будем рассматривать различные длины n планового периода и все возможные значения t возраста оборудования. При этом задача естественным образом распадается на этапы по продолжительности планового периода. Функция Беллмана B(t, n) означает в данном случае максимальную прибыль от эксплуатации оборудования возраста t лет в плановом периоде длиной n лет. Таким образом, в данной задаче можно считать: n – моменты; t – состояния; решения о сохранении или замене оборудования – управления.

Если обозначить (t, n) – состояние системы S в момент n, то применив, например, политику сохранения система перейдет в состояние (t+ 1, n – 1).

Отметим, что для каждого  состояния только два управления: «сохранение» или «замена».

Построение функции B(t, n) начнем со случая n = 1. Этот случай можно рассматривать как последний год планового периода. Если принять решение о сохранении оборудования возраста t на этот год, то прибыль от

эксплуатации B(t, 1) = r(t) – u(t), т.е. прибыль состоит из стоимости выполняемых за год работ за вычетом эксплуатационных расходов. Если же принять решение о замене оборудования, то прибыль составит B(t, 1) = s + r(0) – p – u(0), т.е. она состоит из остаточной стоимости старого оборудования плюс стоимость выполняемых за год работ на новом оборудовании за вычетом покупки нового оборудования и эксплуатационных расходов. Теперь можно определиться с политикой «сохранение – замена». Если r(t) – u(t) ≥ r(0) – u(0) + S – P, оборудование сохраняется. В противном случае, когда новое оборудование дает большую прибыль, в начале года старое оборудование следует заменить.

Таким образом, значения B(t, 1) представляют собой для каждого t максимум из двух чисел. С указанием политики «сохранение – замена», эту функцию можно задать в виде

B(t,1)=max{ r(t) – u(t) (сохранение); r(0) – u(0) + S – P (замена)}

Практически вычисление значений B(t, 1) начинают с определения величины

I(1)= r(0) – u(0) + S – P,

которую можно назвать  «индикатор замены». Если при t = 0, 1, …, k соблюдаются соотношения r(t) – u(t) ≥ I(1) и r(k + 1) – u(k + 1) ≤ I(1), полагают B(t,1) = r(t) – u(t). Одновременно для t = k +1, k +2,… B(t,1) = I(1). При записи в матрицу, значения B(t, 1) разделяем (например, вертикальной чертой) на две области: «область сохранения» (левее вертикальной черты) и «область замены» (правее).

В данном случае I(1) = 25 –15 +2 – 12 =0. Вычисляем:

r(0) – u(0) = 25 – 15 = 10 > 0;   r(1) – u(1) =24 –15 = 9 > 0; …;

r(6) – u(6) = 21 – 18 = 3 > 0;   r(7) – u(7) = 21 –19 = 2> 0; ;   r(8) – u(8) = 21 –20 = 1> 0; ;   r(9) – u(9) = 21 –20 = 1>0, r(10)-u(10)=20-20=0=0  т.е. B(0,1) =10;   B(1,1) = 9;…;B(9,1)= 1; B(10.1)=0 В(10,1)= 0=0.

Вычисленные значения заносятся  в первую строку таблицы 1.

Пусть n = 2. Смысл B(t, 2) – максимальная прибыль от оборудования возраста t лет за два последних года. За первый год эксплуатации (n = 2) при политике сохранения оборудование даст прибыль r(t) – u(t), а при политике замены – S + r(0) – P – u(0). Через год оборудование постареет и за оставшийся год (n = 1) даст прибыль B(t + 1,1) или B(1,1) в зависимости от примененной в будущем политики, т.е. максимальная прибыль за два последних года работы составит

«Индикатором замены»  при n=2 можно считать I(2)=I(1)+B(1,1)=0+9=9.

Вычисления второй строки таблицы 1: r(0) – u(0) + B(1,1) = 25 –15 +9 =

= 19 > 9; ;   r(4) – u(4) + B(5,1) = 23 – 17 +6 = 12> 9; r(5)-u(5)+B(6,1) = 23-17+3=9 =9;   Þ  B(0,2) =19;В(1,2)=17;В(2,2)=16;..В(5,2)=9   B(6,2) = B(7,2) =…= B(10,2) = 9.

В общем случае, если B(t, n) уже построена, получаем функциональное уравнение Беллмана

Используя на каждом этапе  «индикатор замены» I(n+1) = I(1)+B(1, n) и функциональное уравнение Беллмана, последовательно заполняем все строки таблицы 1 (n = 1, 2, …, 10; t = 0, 1, 2, …, 10), отделяя вертикальной чертой область «сохранение» от области «замена». В результате получим таблицу значений функции Беллмана:

t B(t,m)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
B(t, 1)	10	9	8	8	6	6	3	2	1	1	0
B(t, 2)	19	17	16	14	12	9	9	9	9	9	9
B(t, 3)	27	25	22	20	17	17	17	17	17	17	17
B(t, 4)	35	31	28	25	25	25	25	25	25	25	25
B(t, 5)	41	37	33	33	31	31	31	31	31	31	31
B(t, 6)	47	42	41	39	37	37	37	37	37	37	37
B(t, 7)	52	50	47	45	43	43	42	42	42	42	42
B(t, 8)	60	56	53	51	50	50	50	50	50	50	50
B(t, 9)	66	62	59	58	56	56	56	56	56	56	56
B(t, 10)	72	68	66	64	62	62	62	62	62	62	62

После заполнения таблицы  можно ответить на второй вопрос задачи.  Cформируем оптимальную стратегию «сохранение – замена» при N = 10 и T = 8. В таблице 1 значение функции Беллмана B(8,10) = 62 – максимальная прибыль за 10 лет при условии, что в начале периода имелось оборудование возраста 8 лет – находится в области «замена». Это означает, первый год следует работать на новом оборудовании.

После года работы оборудование постареет на один год. Так как B(1,9) = 62,   B(2,8) =53, В(3,7)=45, находится в области сохранения, то 2-й, 3-й, 4-й  год следует работать на старом оборудовании, так как  В(4,6)=37 , находится в области «замена» , то 5-й год следует заменить оборудование, В(1,5)=37, В(2,4)=28, находятся в области сохранения, то  6-й, 7-й год следует работать на старом оборудовании. Так как  В(3,3)=33, находится в области «замена» , то 8-й год следует заменить оборудование, В(1,2)=17, В(2,1)= 8,  находятся в области сохранения, то  9-й, 10-й  год следует работать на старом оборудовании.

 

Схематически этот процесс  можно изобразить следующим образом:

 

 

 

 

 

Задание 2. Партия изделий может изготавливаться по одному из четырех технологических способов . Сырье , необходимое для изготовления этих изделий, может поступать двух видов. Известны затраты на изготовление одного изделия по i-му технологическому способу из сырья m-го вида ( ; ). Рынок сбыта изделий может находиться в одном из двух состояний . Известно, что при состоянии рынка изделие будет продаваться по цене . Требуется определить, по какому из четырех технологических способов следует изготавливать изделия, чтобы получить возможно большую прибыль, если:

а)известны вероятности  и поступления сырья первого и второго видов соответственно и известны вероятности и состояний рынка и ;

б) о вероятностях поступления  сырья и состояний рынка сбыта  ничего определенного сказать нельзя.

Исходные данные:

№	а11	а12	а21	а22	а31	а32	а41	а42	Z1	Z2	q1	q2	p1	p2	Λ
16	5	6	7	9	5	10	6	4	14	16	0,2	0,8	0,3	0,7	0,7

Решение:

1. В игре есть два участника: первый игрок Т – это предприятие, второй игрок П – природа. Так как второй игрок (природа) безразличен к выигрышу первого игрока, то рассматриваемая игра статистическая. Чистые стратегии предприятия Т_i – это способы изготовления  деталей на предприятии. Укажем четыре возможных способа:

Т₁ – изготавливать изделия по 1-му технологическому процессу;

Т₂ – изготавливать изделия по 2-му технологическому процессу;

Т₃ – изготавливать изделия по 3-му технологическому процессу;

Т₄ – изготавливать детали по 4-му технологическому процессу.

Чистые стратегии природы:

П₁ – имеется сырье 1-го типа при состоянии рынка 1;

П₂ – имеется сырье 1-го типа при состоянии рынка 2;

П₃ – имеется сырье 2-го типа при состоянии рынка 1;

П₄ – имеется сырье 2-го типа при состоянии рынка 2.     

Для составления платежной  матрицы сначала подсчитаем прибыли  h_ij предприятия при состоянии рынка R_j(i=1,2,3,4; j=1,2) по формуле :

 

 

 Платежная матрица 

Природа Предприятие	П1	П2	П3	П4
Т1	9	11	8	10
Т2	7	9	5	7
Т3	9	11	4	6
Т4	8	10	10	12

2. Для выбора оптимальных стратегий по критериям Байеса, Лапласа, Вальда и Гурвица составляем таблицу. Первые пять столбцов таблицы -  платежная матрица. В последующих столбцах выписаны расчетные значения для применения указанных выше четырех критериев.

а) критерий Байеса применяется  следующим образом. Для каждой из стратегий вычисляется среднее  значение (математическое ожидание) выигрыша по формуле 

 Оптимальной по Байесу считается  та стратегия, при которой достигается  максимум из чисел b_i. В рассматриваемом случае: р₁=0,3; р₂=0,7; q₁=0.2; q₂=0.8:

Из полученных чисел наибольшим является b₄, т.е. оптимальной по Байесу является вторая стратегия Т₄: изготавливать детали по 4-му технологическому процессу.

Рынок Банк	П1	П2	П3	П4	bi для крит. Байеса	li для крит. Лапласа	vi для крит. Вальда	gi для крит. Гурвица
Т1	9	11	8	10	9,6	9,5	8	8,9
Т2	7	9	5	7	6,8	7,0	5	6,2
Т3	9	11	4	6	6,4	7,5	4	6,1
Т4	8	10	10	12	11,0	10,0	8	9,2

б) критерий Лапласа применяется  таким же образом, как и критерий Байеса, с той лишь разницей, что  вместо чисел b_i вычисляются числа среднее арифметическое выигрышей для каждой стратегии (т.е. состояния рынка считаются равновероятными).

 В нашем случае: 

Наибольшим из этих чисел  является l₄, т.е. по критерию Лапласа предприятие должно придерживаться стратегии Т₄.

Критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма) применяется следующим  образом. Для каждой стратегии выбираем минимальный выигрыш  и определяем максимум из чисел . Стратегия, на которой достигается этот максимум, считается оптимальной по Вальду. Можно сказать, что критерий Вальда определяет максимальный выигрыш в наихудших условиях. Имеем:

                                        

Так как максимальным является число  , то по критерию Вальда оптимальной является стратегия Т₁ и Т₄.

        Для  применения критерия Гурвица  вычисляем при каждой стратегии  числа

 и среди чисел g_i выбираем максимальное.

Стратегия, при которой  достигается максимум g_i, считается оптимальной по Гурвицу.

В данном случае:

Так как g₄ максимально, то по критерию Гурвица оптимальной является стратегия Т₄.

При исследовании по критерию Сэвиджа надо составлять матрицу  рисков. Для этого в каждом столбце  платежной матрицы определяем максимальный элемент и вычитаем из него все  элементы столбца. В первом столбце  это будет элемент  - 9, во втором – 11; в третьем – 10; в четвертом - 12.

Определяем риски:

 

И составляем матрицу рисков:

Рынок Банк	П1	П2	П3	П4	ri=max j r ij
Т1	0	0	2	2	2
Т2	2	2	5	5	5
Т3	0	0	6	6	6
Т4	1	1	0	0	1

Оптимальной по критерию Сэвиджа  считается та стратегия, для которой  r_i минимально. В данном случае это будет стратегия Т₄.

 

 

 

Задание 3 (варианты 16 – 30).

В отделе бытовой химии  торгового центра наблюдается устойчивый спрос на стиральный порошок «Снежок». В среднем за месяц отдел реализует »1000 упаковок порошка. Затраты на организацию заказа составляют »50 ден. ед., на хранение одной упаковки в течение месяца – »0,02 ден. ед.

Определить параметры  функционирования торгового отдела при условии, что дефицит недопустим:

1) оптимальный размер  заказываемой партии порошка;

2) оптимальный интервал  между поставками;

3) число поставок в  месяц,  в год;

4) годовые затраты на  обеспечение процесса организации  поставок и хранения товара.

Порядок  определения  данных задания согласно номеру варианта N:

 – спрос   (упаковок);

 – затраты на организацию  заказа  (ден. ед.);

 – затраты на хранение  одной упаковки за месяц  (ден. ед.).

 

Решение:

В предположении, что заказанная партия доставляется одновременно и  дефицит недопустим, требуется найти:

• оптимальный размер партии поставки;
• оптимальный интервал между поставками;
• число поставок в месяц, год;
• годовые затраты на обеспечение процесса организации поставок и хранения товара, связанные с работой отдела бытовой химии торгового центра 

Согласно условию задачи: упаковок стирального порошка в месяц (1160*12=13920 упаковок в год), ден.ед.,   ден. ед. в течение месяца (0,036*12=0,432 ден.ед. в течение года). Условия организации работы соответствуют предположениям модели Уилсона. Воспользуемся известными формулами для определения оптимальных параметров функционирования:

– на основании  оптимальный размер поставляемой партии стирального порошка «Снежок»  составит:

 упаковок ;

– средний уровень текущего запаса ;

– на основании    оптимальный интервал между поставками   (года)   (дней);

– число поставок за год  составит , где (год) – величина рассматриваемого временного промежутка (7/12≈0,6 поставок в месяц);

– годовые затраты, связанные  с работой отдела бытовой химии  торгового центра по обеспечению  стирального порошка «Снежок», на основании  ,  будут равны

(ден. ед.)

Вывод. Для обеспечения оптимального режима отдела бытовой химии торгового центра снабжения стиральным порошком «Снежок» следует заказывать 2062 упаковки в одну партию, при этом в течение года отделу бытовой химии торгового центра потребуется 7 поставок с интервалом в 54 дня, годовые затраты по обеспечению поставок и хранения стирального порошка составят 890,78 ден. ед.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 4 

Для изучения влияния расходов на рекламу  (ден.ед.)  на изменение объема продаж (%) некоторой фирмы были получены следующие данные (табл. 1).

По условию варианта требуется:

1. Методом дисперсионного анализа установить, существенно ли влияние изменения фактора на признак .
2. Если влияние фактора существенно, то требуется выполнить КРА зависимости признака от фактора . Для этого необходимо:

1. построить корреляционное поле;
2. по расположению точек на корреляционном поле подобрать подходящую функцию регрессии;
3. используя процедуру «Пакет анализа» найти коэффициенты уравнения регрессии;
4. сделать заключение об интенсивности построенной регрессионной зависимости;
5. проверить значимость полученного уравнения;
6. в случае значимости уравнения указать доверительные интервалы для коэффициентов регрессии;
7. оценить адекватность полученной регрессионной модели;
8. на корреляционном поле построить график полученной функции регрессии.

Сделать общий вывод по задаче.

При проверке гипотез уровень  значимости принять  .

Вариант 16.

 

    Табл. 1.

Хi № серии	1,2	1,6	2,0	2,4	2,8	3,2	3,6	4,0	4,4
1	3,9	5,3	6,2	7,5	9,6	11,8	14,5	17,0	20,0
2	4,0	4,9	6,5	7,5	9,8	12,0	14,7	16,9	19,9
3	3,8	4,8	6,7	7,8	9,9	12,2	14,1	17,1	20,3
4	3,9	5,1	6,0	7,9	9,8	11,8	14,2	17,2	20,1
5	4,2	5,3	6,0	8,0	9,9	11,9	14,3	17,3	20,2
6	4,1	5,2	6,1	8,0	9,9	11,9	14,5	16,9	19,9
7	4,0	4,8	6,2	8,1	9,9	11,7	14,2	17,0	20,0
8	4,1	4,9	6,0	8,2	9,9	12,0	14,4	17,2	20,0

 

   РЕШЕНИЕ

( Решение задания 4  производится в среде Excel)

1. Методом дисперсионного анализа установим, существенно ли влияние изменения фактора Х на признак Y.

Гипотеза Н₀: а₁=а₂=…=а₈ =а₉ (1)

Н₁: нарушение равенств (1),

где а₁ – математическое ожидание результативного признака при уровне Х₁= 1,2;

 а₂– математическое ожидание результативного признака при уровне Х₂=1,6;

а₃ – математическое ожидание результативного признака при уровне Х₃=2,0;

а₄ – математическое ожидание результативного признака при уровне Х₄=2,4;

а₅ – математическое ожидание результативного признака при уровне Х₅=2,8;

а₆ – математическое ожидание результативного признака при уровне Х₆=3,2;

а₇ – математическое ожидание результативного признака при уровне Х₇=3,6:

а₈ – математическое ожидание результативного признака при уровне Х₈=4,0;

а₉ – математическое ожидание результативного признака при уровне Х₉=4,4;

Воспользуемся встроенной процедурой «Анализ данных» - «Однофакторный дисперсионный  анализ».

Однофакторный дисперсионный анализ
ИТОГИ
Группы	Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия
1,2	8	32	4	0,017143
1,6	8	40,3	5,0375	0,045536
2	8	49,7	6,2125	0,066964
2,4	8	63	7,875	0,067857
2,8	8	78,7	9,8375	0,01125
3,2	8	95,3	11,9125	0,024107
3,6	8	114,9	14,3625	0,039821
4	8	136,6	17,075	0,022143
4,4	8	160,4	20,05	0,02
Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значение	F критическое
Между группами	1990,103	8	248,7628	7111,541	4,73E-90	2,089185
Внутри групп	2,20375	63	0,03498
Итого	1992,307	71

 

В данном случае m=9, n=8 согласно расчетам =248,7628, =0,03498. Тогда значение случайной величины , которое используется для проверки гипотезы Н₀, будет следующим: F_набл=711,541, критическая область: ( (α, m-1, mn-m);+∞), то есть (0,05, 8, 63)=2,08, таким образом, КО=(2,08; +∞).

Так как F_набл. є КО, то гипотезу о равенстве групповых математических ожиданий   отвергаем. Можно считать, что фактор Х существенно влияет на признак Y.

Для измерения степени  влияния Х на Y используем выборочный коэффициент детерминации: , который в данном случае принимает значение , что означает следующее: 99,89% доли общей дисперсии объясняется зависимостью признака Y от фактора Х.

Вывод : с вероятностью  0,95 можно утверждать, что  изменение  объёма продаж зависит от расходов на рекламу, которые определяют, при этом, 99,89% общей вариации объёма  продаж. 

2.Для выполнения корреляционно-регрессионного анализа будем использовать исходные данные уровней фактора Х и соответствующие им значение групповых средних фактораY.

 

Х	Yср
1,2	4
1,6	5,0375
2	6,2125
2,4	7,875
2,8	9,8375
3,2	11,9125
3,6	14,3625
4	17,075
4,4	20,05

 

2.1 Построим корелляционное поле.

 

 

2.2 По виду расположения точек на корреляционном поле можно предположить, что зависимость между Х и Y линейная, т. е. уравнение регрессии имеет вид . Определим параметры уравнения регрессии . 

2.3. Используя процедуру «Анализ данных» - «Регрессия», определяем коэффициенты уравнения.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,98755
R-квадрат	0,975254
Нормированный R-квадрат	0,971719
Стандартная ошибка	0,937764
Наблюдения	9
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	242,607	242,607	275,8777	7E-07
Остаток	7	6,155806	0,879401
Итого	8	248,7628
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	-3,36889	0,903265	-3,72968	0,007362	-5,50477	-1,23301	-5,50477	-1,23301
Переменная X 1	5,027083	0,302662	16,60957	7E-07	4,311402	5,742765	4,311402	5,742765