Контрольная работа по "Эконометрике". 48

 

ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ  ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

 

Кафедра экономико-математических

методов и моделей

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЭКОНОМЕТРИКА»

 

 

Вариант № 3

 

 

 

Исполнитель: Додонова Анна Сергеевна

 

Специальность  БУА и А

Группа 322

№ зачетной книжки № 07 УББ 00153

 

Преподаватель: Орлова Ирина Владленовна

                                                    

 

 

Москва – 2008

 

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая  зависимость объема выпуска продукции 
(Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.). Таблица 1.

 

                                                                                                       Таблица 1.

X	38	28	27	37	46	27	41	39	28	44
Y	69	52	46	63	73	48	67	62	47	67

 

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F- критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1 если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;
• показательной.

Привести графики построенных  уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

 

Решение

 

1. Уравнение линейной регрессии имеет вид: = а₀ + а₁x.

Построим линейную модель: = a + b * X.

Для удобства выполнения расчетов предварительно упорядочим всю  таблицу исходных данных по возрастанию  факторной переменной Х (Данные => Сортировка).

Используем программу  РЕГРЕССИЯ и найдем коэффициенты модели. (рис.2).

 

 

Рис.2. Регрессия.

 

 

Результаты вычислений представлены в таблицах 2-5.

 

Таблица 2

 

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,957745
R-квадрат	0,917276
Нормированный R-квадрат	0,906935
Стандартная ошибка	3,101749
Наблюдения	10

 

Таблица 3

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	853,4332	853,4332	88,70667	1,33E-05
Остаток	8	76,96677	9,620846
Итого	9	930,4

 

Таблица 4

 

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	12,57329256	5,067651153	2,481088808
Переменная X 1	1,319062181	0,140051294	9,418421917
	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	0,038047027	0,887268054	24,25931706	0,88727	24,25931706
Переменная X 1	1,32524E-05	0,996103317	1,642021045	0,9961	1,642021045

 

 

 

 

Коэффициенты модели содержатся в таблице 4 (столбец Коэффициенты). Таким образом, модель построена, и ее уравнение имеет вид

= 12,573+1,319 * Х

Вывод: коэффициент регрессии b=1,319, следовательно, при увеличении объема капиталовложений (X) на 1 млн. руб. объема выпуска продукции (Y) увеличивается в среднем на 1,319 млн. руб. Это говорит об эффективности работы предприятий легкой промышленности региона.

 

 

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков

; построить график остатков.

Остатки модели E_i = y_i-y_Ti   содержатся  в столбце Остатки программы РЕГРЕССИЯ (таблица 5).

Таблица 5

ВЫВОД ОСТАТКА

 

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Е2
1	48,19	-2,19	4,79
2	48,19	-0,19	0,04
3	49,51	2,49	6,21
4	49,51	-2,51	6,29
5	61,38	1,62	2,63
6	62,70	6,30	39,72
7	64,02	-2,02	4,07
8	66,65	0,35	0,12
9	70,61	-3,61	13,05
10	73,25	-0,25	0,06
ИТОГО			76,97

 

Программой РЕГРЕССИЯ найдены  также остаточная сумма квадратов  = 76,96677 и дисперсия остатков  = 9,620846 (таблица 3).

Дисперсию остатков можно рассчитать по формуле:

 

Для построения графика остатков нужно  воспользоваться Мастером диаграмм (Тип диаграммы Точечная (с соединенными точками)). В результате получим график остатков. (рис.4).

 

Рис 4. График остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК

Предпосылками построения классической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известные как условия  Гаусса-Маркова.

1. Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении равно нулю.
2. В уравнении линейной модели = a + b * X + ε слагаемое ε – случайная величина, которая выражает случайный характер результирующей переменной Y.
3. Случайные члены для любых двух разных наблюдений независимы (некоррелированны).
4. Дисперсия случайной составляющей должна быть постоянна. Распределение случайного члена является нормальным.

 

Решение

1. Проверка гипотизы о равенстве нулю мат. ожидания:

 

С помощью функции СРЗНАЧ для ряда остатков можно проверить: Ē= 0

Вывод: рсчетное значение t меньше табличного, значит математическое ожидание стремится к нулю, свойство выполняется.

 

2. Проверка случайности остаточной компоненты по критерию поворотных точек.

Количество поворотных точек определим по графику остатков:

р=6 (рис. 4).

Вычислим критическое значение по формуле

Ркрит = , при n = 10.

Вывод: неравенство p > P _крит выполняется (6 >2), следовательно, свойство случайности ряда остатков выполняется.

 

3. Проверка независимости уровней ряда остатков

 

Для проверки используем критерий Дарбина-Уотсона.

Определим

 

 

 

 

Остатки	Е2	Еi - Ei-1	(Еi - Ei-1)2
-2,19	4,79	-2,19	4,79
-0,19	0,04	2,00	4,00
2,49	6,21	2,68	7,19
-2,51	6,29	-5,00	25,00
1,62	2,63	4,13	17,04
6,30	39,72	4,68	21,91
-2,02	4,07	-8,32	69,21
0,35	0,12	2,36	5,58
-3,61	13,05	-3,96	15,66
-0,25	0,06	3,36	11,30
Итого	76,97		181,68

 

 

Используем найденную  программой РЕГРЕССИЯ сумму квадратов  остаточной компоненты SSост = =76,967

Таким образом, d = = 2.3605

Схема критерия:

 

Вывод: полученное значение d = 2,3605 > 2, что свидетельствует об отрицательной корреляции. Перейдем к d' = 4 - d = 1.6395. d' = 1,6395 лежит в интервале от d₂ = 1.32 до 2, следовательно, свойство независимости остаточной компоненты выполняется.

 

4.1. Проверка постоянства дисперсии остаточной компоненты.

 

 Это свойство проверим по критерию Голдфельда-Квандта.

В упорядоченных  по возрастанию переменной X исходных данных ( ) выделим первые 4 и последние 4 уровня, средние 2 уровня не рассматриваем.

 

 

 

№ п/п	Х	Y
3	27	46
6	27	48
2	28	52
9	28	47
4	37	63
1	38	69
8	39	62
7	41	67
10	44	67
5	46	73

 

С помощью программы  РЕГРЕССИЯ построим модель по первым четырем наблюдениям (регрессия-1), для  этой модели остаточная сумма квадратов  .

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	6,25	6,25	0,86	0,45
Остаток	2	14,50	7,25
Итого	3	20,75

 

Так же построим модель по последним четырем наблюдениям (регрессия-2), для этой модели остаточная сумма квадратов .

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	51,11	51,11	10,61	0,08
Остаток	2	9,64	4,82
Итого	3	60,75

Рассчитаем статистику критерия:

Критическое значение при уровне значимости и числах степеней свободы составляет ( по таблице критических точек распределения Фишера).

Схема критерия:

 

Вывод: сравним , следовательно, свойство постоянства дисперсии остатков выполняется, модель гомоскедастичная.

 

В учебных целях проверим выполнений свойства независимости  ряда остатков по первому коэффициенту автокорреляции

=0,013

 

Критическое значение для коэффициента автокорреляции определяется как отношение  и составляет для данной задачи 0,620

Сравнение показывает, что |r(1)| = 0.013 < r_кр = 0.620, следовательно, ряд остатков некоррелирован.

 

4.2. Проверка соответствия ряда остатков нормальному закону распределения.

Это соответствие проверим с помощью R/S - критерия.

 

 

С помощью функции  МАКС и МИН для ряда остатков определим  =6,302; =-3,612. SЕ находится из программы «регрессия» в графе «стандартная ошибка и составляет S_E = 3,101749 (таблица 2).

Тогда R/S = = 3,196

Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения R/S и при n = 10 составляет (2,67; 3,69).

Вывод: 3,196 ∈ (2,67; 3,57), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

 

Проведенная проверка предпосылок  регрессионного анализа показала, что  для модели выполняются все условия Гаусса-Маркова, т. е. данная модель является классической нормальной регрессионной моделью.

 

 

4. Осуществить проверку значимости  параметров уравнения регрессии 
с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

Статистическая значимость параметров уравнения определяется по критерию Стьюдента:
Расчитаем критерий Стьюдента для параметра а0:
Расчитаем критерий Стьюдента  для параметра а1:

 

t - статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в таблице 4. Для свободного коэффициента a =12,573 определена статистика t(a) = 2,481. Для коэффициента регрессии b = 1,319, определена статистика t(b) = 9,418.

Критическое значение t_кр = 2,306 найдено для уровня значимости α = 5% и числа степеней свободы k = 10-1-1 = 8 (по таблице значений t-критерия Стьюдента).

Схема критерия:

 

 

 

Вывод: |t(a₀) = 2,481| > t_кр = 2,306, следовательно, свободный коэффициент а является значимым. |t(а₁) = 9,418| > t_кр = 2,306, следовательно, коэффициент регрессии b является значимым.

 

 

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения  регрессии с помощью F- критерия  Фишера (α=0,05), 
найти среднюю относительную ошибку аппроксимации 
Сделать вывод о качестве модели

Коэффициент детерминации можно рассчитать по формуле:

 

 

 Также коэффициент детерминации (R-квадрат) определен программой РЕГРЕССИЯ (таблица 2). И составляет R² = 0,917 = 91,7%.

Вывод: таким образом, вариация (изменение) объема выпуска продукции (Y) на 91,7% объясняется по полученному уравнению вариацией объема капиталовложений (X).

 

Проверим значимость полученного  уравнения с помощью F - критерия Фишера. Его можно рассчитать по формуле:

 

 

Также данный критерий (F – статистика) определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица 3) и составляет F = 88,707.

Критическое значение F_кр = 5,318 найдено для уровня значимости α = 5% и чисел степеней свободы k₁ = 1, k = 8 (по таблице значений F-критерия Фишера).

 

 

Вывод: сравнение показывает: F = 88,707 > F_кр = 5,318; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.

 

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассчитаем дополнительный столбец относительных погрешностей, которые вычислим по формуле с помощью функции ABS (таблица 6).

Таблица 6.

Наблюдение	Остатки	Y	Еi/Y	Отн погр.
1	-2,19	46	-0,04756	4,76%
2	-0,19	48	-0,00392	0,39%
3	2,49	52	0,04794	4,79%
4	-2,51	47	-0,05334	5,33%
5	1,62	63	0,02574	2,57%
6	6,30	69	0,09134	9,13%
7	-2,02	62	-0,03253	3,25%
8	0,35	67	0,00515	0,52%
9	-3,61	67	-0,05391	5,39%
10	-0,25	73	-0,00343	0,34%

 

По столбцу  относительных погрешностей найдем среднее значение (функция СРЗНАЧ).

Схема проверки:

Вывод: 3,65% < 5%, следовательно, модель является точной.

 

На основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать полностью адекватной. Дальнейшее использование такой модели для прогнозирования в реальных условиях целесообразно.

 

 

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости

, если прогнозное значение фактора X 
составит 80% от его максимального значения

 

Согласно условию  задачи прогнозное значение факторной  переменной Х составит 80% от 46, следовательно, . Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя У:

.

Таким образом, если объем капиталовложений составит 36,8 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции составит около 61,11 млн. руб.

Зададим доверительную  вероятность  и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Для этого нужно  рассчитать стандартную ошибку прогнозирования:

Предварительно  подготовим:

-   стандартную  ошибку модели  (Таблица 2);

-  по столбцу исходных данных Х найдем среднее значение (функция СРЗНАЧ) и определим (функция КВАДРОТКЛ).

Следовательно,  стандартная  ошибка  прогнозирования  для  среднего  значения  составляет:

Вычислим рри размах доверительного интервала для среднего значения:

 

Границами прогнозного  интервала будут

Вывод: таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложений составит 36,8 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции будет от 59,27 млн. руб. до 62,95 млн. руб.

 

 

7.  Представить графически фактические и модельные 
значения Y точки прогноза

 

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).

Затем с помощью  опции  Добавить линию тренда…  построим линию модели: 

тип → линейная;  параметры → показывать уравнение  на диаграмме. 

Покажем  на  графике  результаты  прогнозирования.  Для этого в опции Исходные данные добавим ряды:

Имя → прогноз; значения ;  значения ;

Имя → нижняя граница; значения ;  значения ;

Имя → верхняя граница; значения ; значения

 

 

 

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

гиперболической; степенной; показательной

 

Гиперболическая модель не является стандартной. 

Для ее построения выполним линеаризацию: обозначим и получим вспомогательную модель . Вспомогательная модель является линейной. Ее можно построить с помощью программы РЕГРЕССИЯ, предварительно подготовив исходные данные: столбец  значений (остается без изменений) и столбец преобразованных значений (таблица 7).

                                                                                                               Таблица 7 

  

X	Y	1/Х
27	46	0,037
27	48	0,037
28	47	0,036
28	52	0,036
37	63	0,027
38	69	0,026
39	62	0,026
41	67	0,024
44	67	0,023
46	73	0,022

 

 

С помощью программы РЕГРЕССИЯ  получим:

	Коэффициенты
Y-пересечение	105,4257639
1/Х	-1569,007707

 

Таким образом, ; , следовательно, уравнение гиперболической модели .

С  помощью  полученного  уравнения  рассчитаем  теоретические  значения для каждого уровня исходных данных .

Покажем  линию  гиперболической модели  на  графике. Для  этого  добавим  к  ряду исходных данных ,  ряд теоретических значений .