Контрольная работа по "Эконометрике". 94

Задача1. В следующей выборке представлены данные по количеству (Y)  и цене (Х) блага, приобретаемого домохозяйством ежемесячно  в течение года:

 

месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Х	10	20	15	25	30	35	40	35	25	40	45	40
Y	110	75	100	80	60	55	40	80	60	30	40	30

2.1. С помощью  теста ранговой корреляции Спирмена оценить гетероскедастичность линейного уравнения регрессии Y на Х при 5% уровне значимости. Известно, что: =253,5.

2.2.. Для  временного ряда y_t оценить значимость коэффициента регрессии β₁ с использованием t-критерия, полагая тренд линейным при уровне значимости α=0,05. Известно, что: =760; =55750; =78; =650; =4070.

 

Решение.

 

1) Оценка  гетероскедастичности с помощью  теста ранговой корреляции Спирмена  заключается в расчёте коэффициента  ранговой корреляции по формуле: 

Рассчитаем  его: r_x,e = 1 – (6 · 253.5) / (12³ – 12) = 0.1136

 

Проверим  значимость коэффициента:

tr_x,e =

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 10) = 2,228

tr_x,e < t_кр. (0,05; 10), следовательно, гипотеза о равенстве коэффициента нулю принимается. Гетероскедастичность в модели отсутствует.

 

2) Рассчитаем  коэффициенты уравнения линейного  тренда.

 

 

 

 

Уравнение тренда имеет вид: Y = 424,375 – 44,635t

Рассчитаем  стандартную ошибку коэффициента . Определим остаточное среднеквадратическое отклонение и среднеквадратическое отклонение для Х:

– среднеквадратическое отклонение остатков: S_ост =

– среднеквадратическое отклонение Х: S_t =

Проводим  промежуточные расчёты:

ti		yi
10	400	110	42,04	4618,61
20	100	75	-18,80	8798,35
15	225	100	11,62	7811,02
25	25	80	-49,22	16697,58
30	0	60	-79,64	19498,97
35	25	55	-110,06	27244,23
40	100	40	-140,48	32572,26
35	25	80	-110,06	36122,15
25	25	60	-49,22	11928,81
40	100	30	-140,48	29062,70
45	225	40	-170,90	44477,73
40	100	30	-140,48	29062,70
∑ ti =		∑yi =
360	1350	760	-955,664	267895,11

 

S_ост =

S_t =

 

Стандартная ошибка коэффициента β1:

 

 

t-статистика коэффициена β1:

 

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 10) = 2,228

 

|t_β1| > t_кр. (0,05; 10), следовательно, коэффициент β₁ на уровне значимости 0,05 следует признать статистически значимым.

 

 

Задача 2. Дана выборка (табл.): - выпуск продукции;  - ввод в действие основных фондов (%); - удельный вес рабочих высокой квалификации (%). Требуется: 1) записать матрицы и ; 2) построить линейную регрессионную модель и проверить правильность вычисления вектора оценок ; 3) оценить значимость коэффициентов регрессии; 4) вычислить коэффициент детерминации и проверить его значимость.

 

	5	7	8	7	10
	4	3	4	5	7
	10	8	7	3	2

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

1) Матрица  Х: , матрица Y:

2) Матрица  вектора оценок В рассчитывается по формуле:

Выполнив  произведение матриц, получим: b = (8,05; 0.266; –0.314)^T

 

Проверим  правильность вычисления:

 

 

 

Произведение  XB совпадает с полученным в исходных данных. Отсюда можно предположить, что расчёт вектора оценок был верным.

 

3) Оценим  значимость коэффициентов регрессии. 

 

Определим остаточное среднеквадратическое отклонение: S_ост =

 

yi
5	5,982	0,965	5,76
7	6,344	0,430	0,16
8	6,925	1,155	0,36
7	8,450	2,103	0,16
10	9,298	0,493	6,76
∑yi =
37	37	5,145	13,2

 

S_ост =

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии  рассчитываются по следующим формулам:

Для коэффициента b1: m_b1 = 1,604 · √0,343 = 0,9394

Для коэффициента b2: m_b2 = 1,604 · √0,069 = 0,4213

 

t-статистики коэффициентов:

tb1 = b₁ / m_b1 = 0.266 / 0.9394 = 0.283

tb2 = b₂ / m_b2 = –0.314 / 0.4213 = 0.7453

 

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 2) = 4,303

t-статистики меньше критического значения, следовательно, коэффициенты уравнения незначимы.

 

4) Определим коэффициент детерминации:

 

Проверим  значимость коэффициента детерминации по критерию Фишера:

 

 

Критическое значение критерия Фишера: F_кр. (0,05; 2; 2) = 19

F < Fкр. (0,05; 2; 2), следовательно, коэффициент детерминации и уравнение в целом следует признать статистически незначимыми.

 

Задача 3. В следующей выборке  представлены данные по количеству (Y)  и цене (Х) блага, приобретаемого домохозяйством ежемесячно  в течение года:

 

месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Х	10	20	15	25	30	35	40	35	25	40	45	40
Y	110	75	100	80	60	55	40	80	60	30	40	30

2.1. Построить  эмпирическое уравнение регрессии  для степенной функции у=β₀ *ε. Известно, что:=160.0; =39.8; =48.8; =134.5; =200.3.

2.2. Для  временного ряда y_t выявить на уровне значимости 0.05 наличие автокорреляции остатков с использованием критерия Дарбина-Уотсона. Известно, что: =2324;       =5434.

 

Решение.

1) Степенная регрессия имеет вид:    .

Логарифмирование  данного уравнения по основанию  е приводит к линейному уравнению  вида:    .

Соответственно  оценки параметров и могут быть найдены методом наименьших квадратов. Произведем следующие замены переменных:  ,  ,  . Уравнение в новых переменных будет иметь вид:

 

Оценки  коэффициентов при исходных данных могут быть найдены по следующим  формулам:

 

 

 

Таким образом, уравнение степенной функции  будет иметь вид: y = 0.4412 · x^1.431727

2) Рассчитаем  значение критерия Дарбина-Уотсона: 

d = 5434 / 2324 = 2,3382

4 – d = 1,6618

На уровне значимости 0,05 критические значения критерия Дарбина-Уотсона равны:

d_l = 0.9, d_u = 1.33; 4 – d_l = 3.1; 4 – d_u = 2.67

Выполняется условие: d_u < d < 4 – d_u, следовательно, гипотеза о независимости остатков не отвергается, т.е. автокорреляция отсутствует.

 

 

Задача 4. В следующей выборке  представлены данные по количеству (Y)  и цене (Х) блага, приобретаемого домохозяйством ежемесячно  в течение года:

месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Х	10	20	15	25	30	35	40	35	25	40	45	40
Y	110	75	100	80	60	55	40	80	60	30	40	30

2.1. Применить  тест Голдфелда-Квандта для оценки гетероскедастичности линейного уравнения регрессии Y на Х при 5% уровне значимости. Известно, что: =272,8 и =920.

2.2. Для  временного ряда y_t найти коэффициент автокорреляции (для лага τ=1). Известно, что: =650; =43650; =730; =54850; =46250.

 

Решение.

 

1) Рассчитаем  F-статистику для теста Голдфелда-Квандта: F = S₂ / S₁ = 920 / 272,8 = 3,3724

Критическое значение критерия Фишера при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы  n₁ – m = n₂ – m: F_кр. (0,05; 4; 4) = 6,388

F < F_кр. (0,05; 4; 4), следовательно, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

 

2) Определим  коэффициент автокорреляции первого  порядка для временного ряда  y_t

Коэффициент автокорреляции определяется также, как  и обычный коэффициент корреляции, только вычисляется корреляция между  различными уровнями временного ряда. Коэффициент автокорреляции первого  порядка рассчитывается по следующей  формуле:

 

 

 

 

 

 

Коэффициент автокорреляции первого порядка  равен 0,53743.

 

 

 Задача 5. Дана таблица:

	1	2	3	4	5	6
	2	1	8	6	4	10
	2	3	- 2	- 3	0,5	- 0,5

Здесь: - номер наблюдения; - значение независимой переменной; - значение остатка.

Требуется: 1) оценить наличие гетероскедастичности графически; 2) оценить наличие гетероскедастичности с помощью теста Спирмена.

 

Решение.

 

1) Построим  график остатков (остатки – по  оси ординат, значения Х –  по оси абсцисс):

 

 

На основе графического анализа можно сделать  предположение, что между значениями Х и остатками возможна гетероскедастичность в форме линейной или квадратичной зависимости.

 

2) Оценим  гетероскедастичность с помощью теста Спирмена

 

Рассчитаем  ранги значений Х и е.

Затем определим  значение d_i²= (rang x - rang e)²

 

х	е	Rang х	Rang е	di2= (rang x - rang e)2
2	2	2	5	9
1	3	1	6	25
8	-2	5	2	9
6	-3	4	1	9
4	0,5	3	4	1
10	-0,5	6	3	9

 

∑ d_i²= 9 + 25 + 9 + 9 + 1 + 9 = 62

Определим ранговый коэффициент корреляции:

Рассчитаем  его: r_x,e = 1 – (6 · 62) / (6³ – 6) = –0,77143

 

Проверим  значимость коэффициента:

tr_x,e =

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 4) = 2,447

tr_x,e < t_кр. (0,05; 4), следовательно, гипотеза о равенстве коэффициента нулю принимается. Гетероскедастичность в модели отсутствует.

 

 

Задача 6. В следующей выборке  представлены данные по количеству (Y)  и цене (Х) блага, приобретаемого домохозяйством ежемесячно  в течение года:

месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Х	10	20	15	25	30	35	40	35	25	40	45	40
Y	110	75	100	80	60	55	40	80	60	30	40	30

2.1. Построить  эмпирическое уравнение регрессии  для показательной функции у=*ε. Известно, что: =48.8; =200.3; =1416; =360; =12150.

2.2. Для  временного ряда y_t оценить коэффициент детерминации R² между переменными Y и t, полагая тренд линейным и дайте интерпретацию полученного результата. Известно, что: =4070; =760; =55750; =78; =650.

 

Решение.

1) Показательная  функция имеет вид:   

Логарифмирование  данного уравнения по основанию  е приводит к линейному уравнению  вида:    .

Соответственно  оценки параметров и могут быть найдены методом наименьших квадратов. Произведем следующие замены переменных:  ,  ,  B. Уравнение в новых переменных будет иметь вид:

 

Параметры показательной функции могут  быть рассчитаны следующим образом:

 

 

 

 

 

 

Уравнение показательной функции имеет  вид:

 

2) Оценим  коэффициент детерминации между  переменными y и t.

Коэффициент детерминации определяется как квадрат  коэффициента корреляции, который можно  найти по следующей формуле:

 

 

 

 

 

 

Тогда коэффициент  детерминации: R² = r²_ty = (–0.8336)² = 0.695

 

Коэффициент детерминации показывает, что линейное уравнение тренда объясняет 69,5% вариации количества потребленного блага  в зависимости от времени, остальные 30,5% объясняются другими факторами.

 

 

Задача 7. Дана выборка (табл.): - выпуск продукции;  - ввод в действие основных фондов (%); - удельный вес рабочих высокой квалификации (%). Требуется: 1)  записать матрицы и ; 2) построить линейную регрессионную модель и проверить правильность вычисления вектора оценок ; 3) оценить значимость коэффициентов регрессии; 4) вычислить коэффициент детерминации и проверить его значимость.

 

	4	5	8	7	10
	8	9	10	11	12
	3	8	7	2	3

 

 

Решение.

 

1) Матрица  Х: , матрица Y:

2) Матрица  вектора оценок В рассчитывается по формуле:

Выполнив  произведение матриц, получим: b = (–8,85625; 1,49375; 0,15625)^T

 

Проверим  правильность вычисления:

 

 

 

Произведение  XB не совпадает с полученным в исходных данных. Отсюда можно предположить, что первоначальный расчёт вектора оценок был неверным.

Модель  линейной множественной регрессии  будет иметь вид:

Y = – 8,85625 + 1,49375x₁ + 0,15625x₂

 

3) Оценим  значимость коэффициентов регрессии. 

Определим остаточное среднеквадратическое отклонение: S_ост =

 

yi
4	3,5625	0,1914	7,84
5	5,8375	0,7014	3,24
8	7,175	0,6806	1,44
7	7,8875	0,7877	0,04
10	9,5375	0,2139	10,24
∑yi =
34	34	2,575	22,8

 

S_ост =

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии  рассчитываются по следующим формулам:

Для коэффициента b1: m_b1 = 0,9265 · √14,589 = 3,5387

Для коэффициента b2: m_b2 = 0,9265 · √0,114 = 0,313

 

t-статистики коэффициентов:

tb1 = b₁ / m_b1 = 1,49375 / 3,5387 = 0.422

tb2 = b₂ / m_b2 = 0,15625 / 0,313 = 0.499

 

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 2) = 4,303

t-статистики меньше критического значения, следовательно, коэффициенты уравнения незначимы.

 

4) Определим коэффициент детерминации:

 

Проверим  значимость коэффициента детерминации по критерию Фишера:

 

 

Критическое значение критерия Фишера: F_кр. (0,05; 2; 2) = 19

F < Fкр. (0,05; 2; 2), следовательно, коэффициент детерминации и уравнение в целом следует признать статистически незначимыми.

 

Задача 8. В следующей выборке  представлены данные по количеству (Y)  и цене (Х) блага, приобретаемого домохозяйством ежемесячно  в течение года:

месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Х	10	20	15	25	30	35	40	35	25	40	45	40
Y	110	75	100	80	60	55	40	80	60	30	40	30

2.1. Построить  эмпирическое уравнение регрессии  для функции у=β₀+β_{1+ε. Известно, что:} =64.5;  =360;    =3798.7.

2.2. Для  временного ряда y_t оценить с надежностью 0.95 доверительный интервал для коэффициента β₀, полагая тренд линейным. Известно, что: =760; =55750; =78; =650; =4070.

 

Решение.

1) Нахождение  коэффициентов уравнения радикальной  функции осуществляется по следующим  формулам:

 

 

 

 

Таким образом, уравнение регрессии будет иметь  вид: у = 178,93 – 21,5

 

2) Найдём  уравнение тренда вида y = a + bt

 

 

Рассчитаем  стандартную ошибку коэффициента . Определим остаточное среднеквадратическое отклонение и среднеквадратическое отклонение для Х:

– среднеквадратическое отклонение остатков: S_ост =

– среднеквадратическое отклонение Х: S_x =

Проводим  промежуточные расчёты:

ti		yi
10	400	110	42,04	4618,61
20	100	75	-18,80	8798,35
15	225	100	11,62	7811,02
25	25	80	-49,22	16697,58
30	0	60	-79,64	19498,97
35	25	55	-110,06	27244,23
40	100	40	-140,48	32572,26
35	25	80	-110,06	36122,15
25	25	60	-49,22	11928,81
40	100	30	-140,48	29062,70
45	225	40	-170,90	44477,73
40	100	30	-140,48	29062,70
∑ ti =		∑yi =
360	1350	760	-955,664	267895,11

 

S_ост =