Контрольная работа по "Экономике". 237

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ

ФГБОУ ВПО «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ «МЕНЕДЖМЕНТ ОРГАНИЗАЦИИ»

 

 

 

 

 

 

К О Н Т Р О Л Ь Н  А Я    Р А Б О Т А

По дисциплине: Экономико-математический практикум

Вариант № 8

 

 

 

 

Выполнил:

Студент 2 курса

4 семестра

Игнатьев Влад

 

 

 

 

 

Нижневартовск, 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

1. Задание 1 ………………………………………………………3
2. Задание 2 ………………………………………………………6
3. Задание 3 ………………………………………………………9
4. Задание 4 ………………………………………………………12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1

Предприятие выпускает торты двух видов. Требуется определить оптимальную  структуру товарооборота, обеспечивающую предприятию максимальную прибыль  графическим и симплекс методами, если известны следующие данные М  – мука, кг; С – сахар, кг; О – орехи, кг; УМ – упаковочный материал, м²; В – времени, чел.-час.

 

	Прод. А	Прод. Б	ограничения
мука	0,4	0,3	920
сахар	0,12	0,11	640
орехи	0,15	0,21	540
у.м.	0,13	0,14	680
время	0,11	0,23	925
прибыль	28	41

Решение: Пусть х₁, х₂ – суточный выпуск тортов вида А и Б соответственно. П – прибыль предприятия от реализации тортов.

П = F (x₁, x₂) =28x₁ + 41x₂ à max

x₁ ≥ 0 

x₂ ≥ 0 

0.4·x₁ + 0.3·x₂ ≤ 920

0.12·x₁ + 0.11·x₂ ≤ 640

0.15·x₁ + 0.21·x₂ ≤ 540

0.13·x₁ + 0.14·x₂ ≤ 680

0.11·x₁ + 0.23·x₂ ≤ 925

Строим область допустимых решений. Исходя из системы ограничений 

Строим нормаль линии уровня 28,41) = (1400, 2050) и находим одну из линий уровня L, имеющую общую точку с ОДР, как перпендикуляр к нормали: L : 28x₁ + 41x₂=0.

Перемещаем линию уровня по направлению  нормали, так как задача на максимум. При перемещении линию уровня, что она пересекает ОДР в одной  крайней точке. Координаты этой точки ( 0; 2571,43). Определяем значение функции  в точке экстремума:

П = F (x₁, x₂) =28×0 + 41×2571,43= 105428,63 ден.ед.

 Ответ:  Предприятие должно выпускать только торты вида Б в количестве 2571,43 кг для получения максимально возможной прибыли в 105428, 63 ден. ед.

 

Решим задачу симплекс методом.

 Приводим задачу ЛП к каноническому виду:

x₁, x₂ , x₃ , x₄ , x₅ , x₆ , x₇ ≥ 0 

0.4·x₁ + 0.3·x₂ + x₃ = 920

0.12·x₁ + 0.11·x₂ + x₄= 640

0.15·x₁ + 0.21·x₂+ x₅= 540

0.13·x₁ + 0.14·x₂  + x₆ = 680

0.11·x₁ + 0.23·x₂  + x₇= 925

Находим начальное опорное решение  с базисом из единичных векторов и коэффициенты разложений векторов условий по базису опорного решения . Вычисляем оценки разложений векторов условий по базису опорного решения и заполняем симплексную таблицу

Сi	Баз. Перем.	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	bj
		28	41	0	0	0	0	0
0	x3	0,4	0,3	1	0	0	0	0	920
0	x4	0,12	0,11	0	1	0	0	0	640
0	x5	0,15	0,21	0	0	1	0	0	540
0	x6	0,13	0,14	0	0	0	1	0	680
0	x7	0,11	0,23	0	0	0	0	1	925
Dj		-28	-41	0	0	0	0	0	0

Решение

Выпуск тортов вида А – 0, вида  Б – 0, прибыль -0.

Так как существует две отрицательные оценки. То  найденное решение не является оптимальным. Продолжаем решение. Ключевой столбец №2, ключевая строка  №3. Разрешающий элемент 0,21.

Сi	Баз. Перем.	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	bj
		28	41	0	0	0	0	0
0	x3	0,19	0	1	0	-1,43	0	0	148,57
0	x4	0,04	0	0	1	-0,52	0	0	357,14
41	x2	0,71	1	0	0	4,76	0	0	2571,43
0	x6	0,03	0	0	0	-0,67	1	0	320
0	x7	-0,05	0	0	0	-1,1	0	1	333,57
Dj		1,11	0	0	0	195,24	0	0	105428,63

Все оценки положительные . Решение 

Ответ:  Предприятие должно выпускать только торты вида Б в количестве 2571,43 кг для получения максимально возможной прибыли в 105428, 63 ден. ед.

 

 

 

 

 

Задание 2

На складах а₁, а₂, а₃, а₄, а₅ имеются запасы продукции в соответствующих количествах. Найти такой вариант поставки продукции от поставщиков в торговые точки b_1, b_2, b_3, b_4, b₅ соответственно, чтобы сумма затрат на перевозку была минимальна.

аi \ bj	200	200	300	300	100
300	4	6	3	4	1
200	7	3	5	2	2
100	5	3	2	4	4
100	2	3	4	6	5
200	1	4	4	3	3

Решение:

 

Проверяем условие разрешимости задачи

Задача с неправильным балансом. Вводим фиктивного поставщика с запасами а₆=1100-900=200 единиц товара.

Находим начальное опорное решение  методом минимальной стоимости.

аi \ bj	200	200	300	300	100
300	4	6	3 200	4	1 100
200	7	3	5	2 200	2
100	5	3 0	2 100	4	4
100	2 0	3 100	4	6	5
200	1 200	4	4	3	3
200	0	0 100	0	0 100	0

 

Строим систему потенциалов, соответствующую  опорному решению.

 Пусть u₂=0, тогда .

Проверим условие оптимальности, вычислив оценки свободных клеток.

 Результаты вычислений оценок  представлены в таблице в нижнем  левом углу свободной клетки.

аi \ bj	200	200	300	300	100
300	4 -1	6 -2	3 200	4 0	1 100
200	7 -6	3 -1	5 -4	2 200	2 -3
100	5 -3	3 0	2 100	4 -1	4 -4
100	2 0	3 100	4 -2	6 -3	5 -5
200	1 200	4 -2	4 -3	3 -1	3 -4
200	0 -1	0 100	0 -1	0 100	0 -3

Так как все оценки отрицательные, следовательно Х1 оптимальное решение. Наличие нулевой оценки (в клетке (1,4)) свидетельствует о наличии альтернативных решений, при которых целевая функция не улучшается, а будет иметь то же значение  .

Ответ: одним из вариантов поставки продукции от поставщиков в торговые точки, при котором сумма затрат на перевозку минимальна и равна 1800 ден.ед.,

является

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3

Четыре работника должны выполнять  четыре вида работ. Назначить работников методами динамического программирования и ветвей и границ таким образом, чтобы затраты труда были минимальны.

	Номер работы
	1	2	3	4
1 работник	3	3	2	2
2 работник	9	9	1	5
3 работник	8	8	4	4
4 работник	4	4	8	1

 

Решение:

Выпишем затраты труда для выполнения 1 работы (i₁)  всеми работниками:

 

i1	1 работник	2 работник	3 работник	4 работник
F1(i1)	3	9	8	4

Сравним на второй работе первого  работника со всеми остальными:

.

Выбираем минимальное значение min{12, 11, 7, 17, 13, 12}=7. минимальному значению соответствуют две клетки с_1,2 и с_4,2. Можно выбрать любую. Пусть это будет с_4,2. то есть назначим четвёртого работника на вторую работу.

Сравним на третьей работе первого  работника со всеми остальными

Минимальному значению 8 соответствует  с_2,3, поэтому назначим второго работника на третью работу.

Сравним на четвёртой работе первого  работника со всеми остальными:

.

Минимальному значению соответствует с_3,4 . Поэтому назначим третьего работника на четвёртую работу.

Формируем матрицу назначений: Назначаем четвёртого работника на вторую работу, второго работника - на третью работу, третьего работника - на четвёртую работу. Остаются незанятыми первый работник и первая работа. Следовательно, назначаем первого работника на первую работу.

единиц трудозатрат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4.

Предприятие производит босоножки  и туфли. Затраты в течение  летнего периода на производство пары босоножек составили Z_б денежных единиц, туфлей – Z_т. Цена пары обуви составляет Ц_б и Ц_т  соответственно. По данным наблюдений за несколько предыдущих  лет предприятие может реализовать в условиях:

• Сухой погоды: босоножек в количестве Q^сух_б пар, а туфлей Q^сух_т;
• Влажной погоды: босоножек в количестве Q^вл_б пар, а туфлей Q^вл_т;

В связи с возможными изменениями  погоды определить стратегию поведения  предприятия в выпуске продукции, обеспечивающую максимальную прибыль от реализации продукции. Решить задачу графически и с использованием критериев погоды, приняв степень оптимизма a.

Zб	Zт	Цб	Цт	Qсухб	Qсухт	Qвлб	Qвлт	a
28	93	32	141	5790	1530	690	6170	0,46

Решение:

Возможные варианты реализации можно представить в виде матрицы:

варианты реализации продукции

	сухая погода	влажная погода
босоножки	5790	690
туфли	1530	6170

Существует две стратегии А₁ - сухая погода и А₂ - влажная погода.

Пусть предприятие примет стратегию А₁:

1. Если в действительности будет сухая погода  (стратегия природы В₁), то прибыль составит:

П = 5790×(32-28)+1530×(141-93)=23160+73440=96600 ден.ед.= 96,6 тыс. ден.ед

2. Если в действительности будет влажная погода (стратегия природы В₂), то прибыль составит:

П = 690×(32-28)+1530×(141-93) - 28×(5790-690)=2760+73440 - 142800= -66600 ден.ед. = -66,6 тыс. ден.ед.

 

 

Пусть предприятие примет стратегию  А₂:

1. Если в действительности будет влажная погода  (стратегия природы В₂), то прибыль составит:

П = 690×(32-28)+ 6170×(141-93)=2760+296160=298920 ден.ед.=298,92 тыс. ден.ед.

 

2. Если в действительности будет сухая погода  (стратегия природы В₁), то прибыль составит:

П = 690×(32-28)+ 1530×(141-93) - 93×(6170-1530)= 2760+73440 – 431520= -355320 ден.ед. = -355,32 тыс. ден.ед.

 

Рассмотрим предприятие и погоду в качестве игроков.

		погода
		В1	В2
предприятие	А1	96,6	-66,6
	А2	-355,32	298,92

 

a=max{-66,6; -355,32 }= -66,6

b=min{96,6; 298,92}= 96,6

a¹b, то есть игра седловой точки не имеет, поэтому используются смешанные стратегии.

-66,6£ v £ 96,6. Пусть х₁ – вероятность применения первым игроком первой стратегии, х₂ – вероятность применения первым игроком второй стратегии, V- цена игры. В соответствии с законами теории вероятностей х₁+ х₂=1 или  х₂=1 - х₁

Выигрыш первого игрока при использовании смешанных стратегий определяют как математическое ожидание выигрыша.

 

Расчёт ожидаемого выигрыша первого игрока

Чистые стратегии второго игрока	Ожидаемый выигрыш первого игрока
1	96,6х1+(-355,32) × (1- х1) = 451,92 х1 - 355,32
2	-66,6 х1 +298,92× (1- х1)= 298,92 – 365,52 х1

V= 451,92 х₁ - 355,32

V=298,92 – 365,52 х₁

Так как первый игрок должен выбрать  такие стратегии, которые максимизируют  его минимальный выигрыш, то оптимальная  стратегия определяется как точка  пересечения прямых, максимизирующих его минимальный ожидаемый выигрыш.

Для нахождения ее координат решим  систему уравнений:

V= 451,92 х₁ - 355,32

V=298,92 – 365,52 х₁

451,92 х₁ - 355,32 = 298,92 – 365,52 х₁

817,44 х₁ = 654,24

х₁ =0,8

V= 6,216

Решением системы является точка с координатами (0,8; 6,216). То есть вероятность реализации стратегии А₁ составляет 80%, а прибыль при этом составит 6,216 тыс.ден.ед.

Составим оптимальный план производства.

Так как стратегия А₁ реализуется с вероятностью 0,8, а стратегия А₂ с вероятностью

1-0,8= 0,2, то расчёт оптимального  плана представим в таблице.

		Вид обуви
		босоножки	туфли
Стратегия	А1	5790 × 0,8 = 4632	1530 × 0,8= 1224
	А2	690 × 0,2 = 138	6170 × 0,2 = 1234
Общий объём производства, ед.		4770	2458

 

 

То есть следует производить 4770 босоножек и 2458 туфлей. Тогда общий объём прибыли составит не менее V= 6,216  тыс. ден.ед., а точнее

П = 4770×(32-28) + 2458×(141-93)=19080 + 117984 =137064 ден.ед =137,064 тыс.ден.ед.

 

Решение задачи с помощью критерия пессимизма-оптимизма Гурвица принимается в соответствии с формулой:

max{a × min a_ij+(1-a)× max a_ij} , где a - степень оптимизма.

По условию a = 0,46

Следовательно предприятию  целесообразно использовать стратегию  А₁