Контрольная работа по "Экономике". 150

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ АВИАЦИОННЫЙ  
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ:

«математические методы в экономике»

ВАРИАНТ № 18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент 2 курса Ф-211 группы ИНЭК факультета заочной формы обучения Степанов А. А. «___»_____________2012 г. (дата сдачи контрольной работы)

Проверил: ________________________________   _________________________(и.о.фам.) «___»_____________2012 г. оценка:_____________

 

 

 

 

Уфа – 2012

 

Задача № 18

Предприятие располагает  ресурсами сырья, рабочей силы и  оборудования, необходимыми для производства любого из четырех видов производимой продукции. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного вида продукции, прибыль, получаемая предприятием, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице.

Виды ресурсов	Виды продукции				Запасы ресурсов
	1	2	3	4
Сырье, кг	6	7	10	8	70
Рабочая сила, ч	20	12	8	15	500
Оборудование, станко-ч	12	15	18	20	130
Прибыль на единицу продукции, тыс. руб.	20	30	50	40	—

 

По государственному заказу, принятому предприятием, должно быть выпущено не менее 1 ед. продукции первого вида и 5 ед. – второго вида.

Необходимо определить, сколько продукции каждого вида надо выпускать, чтобы прибыль была максимальной, и на какой вид продукции (первый или второй) выгоднее всего принимать дополнительный заказ?

Задание:

1. Составить математическую модель данной задачи.
2. Написать двойственную задачу.
3. Решить одну из задач симплексным методом.
4. Провести анализ оптимального решения:
• объяснить экономическое содержание основных и дополнительных переменных прямой и двойственной задач;
• определить возможность расширения ассортимента продукции;
• определить границы изменения показателей эффективности при сохранении оптимальности плана.

Решение:

1. Обозначим количество выпускаемых изделий 1, 2, 3, 4, 5 соответственно как х₁, х₂, х₃, х₄.  Имея ограничения по запасам ресурсов и зная нормы расхода ресурсов на изготовление изделий, а также цены готовых изделий и задачу максимизации прибыли – мы можем сформулировать математическую модель задачи линейного программирования.

2. Используя теоремы  двойственности, составим модель такой задачи. Обозначим двойственные оценки ресурсов: сырья, рабочей силы и оборудования соответственно как y₁, y₂, y₃. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость используемых ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи соответствует числу переменных исходной задачи и равно 4. Математическая модель двойственной задачи имеет вид:

3. Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции:

F(X) = 20x₁ + 30x₂ + 50x₃ + 40x₄,

при следующих условиях-ограничениях:

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет  вид:

6	7	10	8	1	0	0
20	12	8	15	0	1	0
12	15	18	20	0	0	1

 

Решим систему уравнений  относительно базисных переменных:

x₅, x₆, x₇,

Полагая, что свободные  переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,0,70,500,130)

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	70	6	7	10	8	1	0	0
x6	500	20	12	8	15	0	1	0
x7	130	12	15	18	20	0	0	1
F(X0)	0	-20	-30	-50	-40	0	0	0

 

Переходим к основному  алгоритму симплекс-метода.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной  строке находятся отрицательные  коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₃, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i3

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент  равен (10) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

 

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
x5	70	6	7	10	8	1	0	0	7
x6	500	20	12	8	15	0	1	0	621/2
x7	130	12	15	18	20	0	0	1	72/9
F(X1)	0	-20	-30	-50	-40	0	0	0	0

 

 Получаем новую  симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x3	7	3/5	7/10	1	4/5	1/10	0	0
x6	444	151/5	62/5	0	83/5	-4/5	1	0
x7	4	11/5	22/5	0	53/5	-14/5	0	1
F(X1)	350	10	5	0	0	5	0	0

 

Конец итераций: индексная  строка не содержит отрицательных элементов – найден оптимальный план.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x3	7	3/5	7/10	1	4/5	1/10	0	0
x6	444	151/5	62/5	0	83/5	-4/5	1	0
x7	4	11/5	22/5	0	53/5	-14/5	0	1
F(X2)	350	10	5	0	0	5	0	0

 

Оптимальный план можно  записать так:

x₃ = 7

x₆ = 444

x₇ = 4

Х=(0; 0; 7; 0; 0; 444; 4),

F(X) = 50 * 7 = 350.

Следовательно, план выпуска  продукции, включающий изготовление 7 изделий 3 вида является оптимальным. При данном плане выпуска продукции полностью используется ресурс I вида и остается неиспользованным 444 единиц сырья II вида и 4 единицы сырья III вида, а стоимость производимой продукции равна 350 денежных единиц.

Оптимальным планом производства продукции  не предусматривается изготовление изделий 1, 2 и 4 вида продукции.

4. Дополнительные переменные  по экономическому смыслу означают  не используемое при данном  плане производства количество  ресурсов того или иного вида  продукции.

Составим математическую модель двойственной задачи: минимизировать при ограничениях

При решении задачи «вручную»  симплексным методом надо перейти  к канонической форме, добавляя в  каждое ограничение неотрицательную  дополнительную переменную.

Запишем канонические формы  прямой и двойственной задач в следующей таблице.

Прямая задача	Двойственная задача
Максимизировать при ограничениях	Минимизировать при ограничениях

 

В канонической форме  прямой задачи переменные х₁, х₂, х₃, х₄ являются основными, а переменные х₅, х₆, х₇ – дополнительными. В канонической форме двойственной задачи основными переменными являются у₁, у₂, у₃, а переменные у₄, у₅, у₆, у₇ – дополнительными.

Между переменными прямой и двойственной задачами существует взаимно-однозначное соответствие, которое представлено в следующей таблице.

	Основные переменные	Дополнительные переменные
Прямая задача	х1, х2, х3, х4	х5, х6, х7
Двойственная задача	у4, у5, у6, у7	у1, у2, у3
	Дополнительные переменные	Основные переменные

 

Учитывая это соответствие, выпишем из последней строки симплекс-таблицы, содержащей оптимальное решение прямой задачи, координаты искомого вектора двойственной задачи Y^*=(5; 0; 0; 10; 5; 0; 0).

При этом оптимальном  плане первое ограничение прямой задачи выполняется как строгое  неравенство: 6*0+7*0+10*7+8*7=70 = 70. Это означает, что ресурс I вида используется в оптимальном плане полностью, т. е. является дефицитным.

При этом оптимальном  плане второе ограничение прямой задачи выполняется как строгое неравенство: 20*0+12*0+8*7+15*0=56 < 500. Это означает, что расход ресурса II вида меньше его запаса на величину, равную 444, т. е. ресурс II вида – избыточный. Именно поэтому, в оптимальном плане Y^* двойственная оценка этого ресурса y₂=0.

При этом оптимальном  плане третье ограничение прямой задачи выполняется как строгое неравенство: 12*0+15*0+18*7+20*0=126 < 130. Это означает, что расход ресурса III вида меньше его запаса на величину, равную 4, т. е. ресурс III вида – избыточный. Именно поэтому, в оптимальном плане Y^* двойственная оценка этого ресурса y₃=0.

Двойственные оценки ресурсов можно использовать, чтобы  определить меру влияния изменения  запасов ресурсов на величину максимума выпуска продукции, чтобы выявить «узкие» места производства и установить направление мероприятий по изменению ресурсов, обеспечивающих получение наибольшего экономического эффекта. Определим интервалы изменения ресурсов, в которых оптимальный план двойственной задачи не меняется. Такое исследование называется анализом устойчивости двойственных оценок.

Составляем матрицу D из элементов столбцов, соответствующих дополнительным переменным х₅, х₆, х₇, определяющей оптимальный план производства:

Умножаем матрицу D на вектор ,

где 70, 500, 130 – запасы ресурсов соответственно I, II и III типов, а  с₁, с₂, с₃ – предполагаемое изменение соответствующих ресурсов.

Условие D * В ≥ 0 определяет область устойчивости двойственных оценок в зависимости от  с₁, с₂, с₃:

Определяем, при каких  значениях с₁, с₂, с₃ координаты полученного вектора неотрицательны.

Очевидно, если с₁=0 и с₂=0, то с₃≥-4. Это означает, что если количество ресурсов III типа будет увеличено или даже уменьшено в пределах 4 единиц, то план Y^*=(5; 0; 0) остается оптимальным планом двойственной задачи.

Очевидно, если с₁=0 и с₃=0, то с₂≥-444. Это означает, что если количество ресурсов II типа будет увеличено или даже уменьшено в пределах 4 единиц, то план Y^*=(5; 0; 0) остается оптимальным планом двойственной задачи.

Если с₂=0 и с₃=0, то

Таким образом, количество ресурсов сырья I принадлежат соответствующему промежутку: 70-70≤с₁≤70+555, 0≤ с₁≤625.

Выявим изменение общей  стоимости изготовленной продукции, определяемой оптимальным планом при  изменении количества ресурсов при увеличении количества ресурсов I-го типа на 100 единиц и уменьшении количества ресурсов II и III-го типов на 200 и 2 единиц.

Тогда изменение стоимости  готовой продукции составит:

F_max = 100*5+(-200)*0+(-2)*0=500.

Это означает, что увеличении количества ресурсов I типа на 100 единиц и уменьшении количества ресурсов II и III типа соответственно на 200 ед. и 2 ед. приведет к возможности построения такого плана производства продукции, реализация которого обеспечит выпуск изделий на 500 ден. единиц больше, чем при первоначальном количестве ресурсов.

Соответствующий план производства определится следующим образом. Система ограничений, описывающих наше условие производства примет вид: