Контрольная работа по "Математическому моделированию". 3

Задание №1

 

1. Понятие модели. Сущность моделирования.  Виды моделей.

 

1.1 . Понятие модели.

 

Термин "модель" широко используется в различных  сферах человеческой деятельности и  имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.

 Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале

 

1.2 . Сущность моделирования.                                                

 

 Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

  Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

  Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

 

 

1.3 .  Виды моделей.

 

Примером функциональной модели может служить модель поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений. Один и тот же объект может описываться одновременно и структурой, и функциональной моделью. Так, например, для планирования отдельной отраслевой системы используется структурная модель, а на народнохозяйственном уровне каждая отрасль может быть представлена функциональной моделью.

 Типичным примером нормативных моделей являются модели оптимального планирования, например модель оптимальной загрузки оборудования распиловочного цеха , формализующие тем или иным способом цели экономического развития, возможности и средства их достижения.

Применение дескриптивного подхода  в моделировании экономики объясняется  необходимостью эмпирического выявления различных зависимостей в экономике, установления статистических закономерностей экономического поведения социальных групп, изучения вероятных путей развития каких-либо процессов при неизменяющихся условиях или протекающих без внешних воздействий. Примерами дескриптивных моделей являются производственные функции, например модель функционирования склада производственных запасов, и функции покупательского спроса, построенные на основе обработки статистических данных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Математическое моделирование,  основные понятия и определения.

Классификация моделей.

 

  Процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (исследователь),

2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую отношения  познающего субъекта и познаваемого объекта.

 

2.1.  Этапы  моделирования.

 

Пусть имеется  или необходимо создать некоторый  объект А. Мы конструируем (материально  или мысленно) или находим в  реальном мире другой объект В - модель объекта А. Этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.

 Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько "специализированных" моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

 Второй этап процесса моделирования – модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение "модельных" экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее "поведении". Конечным результатом этого этапа является множество знаний о модели R.

 На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал - формирование множества знаний S об объекте. Этот процесс переноса знаний проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели. Мы можем с достаточным основанием переносить какой-либо результат с модели на оригинал, если этот результат необходимо связан с признаками сходства оригинала и модели. Если же определенный результат модельного исследования связан с отличием модели от оригинала, то этот результат переносить неправомерно.

 Четвертый этап - практическая проверка получаемых с помощью модели знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.

 Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования "погружен" в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

 Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

 

 

 

 

 

2.2. Классификация экономико-математических моделей.

 

Математические модели экономических  процессов и явлений более кратко можно назвать экономико-математическими моделями. Для классификации этих моделей используются разные основания.

 По целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые в исследованиях общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач (модели экономического анализа, прогнозирования, управления).

 Экономико-математические модели могут предназначаться для исследования разных сторон народного хозяйства (в частности, его производственно-технологической, социальной, территориальной структур) и его отдельных частей. При классификации моделей по исследуемым экономическим процессам и содержательной проблематике можно выделить модели народного хозяйства в целом и его подсистем - отраслей, регионов и т.д., комплексы моделей производства, потребления, формирования и распределения доходов, трудовых ресурсов, ценообразования, финансовых связей и т.д.

 Различают модели дескриптивные и нормативные. Дискриптивные модели отвечают на вопрос: как это происходит? или как это вероятнее всего может дальше развиваться?, т.е. они только объясняют наблюдаемые факты или дают вероятный прогноз. Нормативные модели отвечают на вопрос: как это должно быть?, т.е. предполагают целенаправленную деятельность.

 Многие экономико-математические модели сочетают признаки дескриптивных и нормативных моделей. Типична ситуация, когда нормативная модель сложной структуры объединяет отдельные блоки, которые являются частными дескриптивными моделями. Например, межотраслевая модель может включать функции покупательского спроса, описывающие поведение потребителей при изменении доходов. Подобные примеры характеризуют тенденцию эффективного сочетания дескриптивного и нормативного подходов к моделированию экономических процессов. Дескриптивный подход широко применяется в имитационном моделировании.

 По характеру отражения причинно-следственных связей различают модели жестко детерминистские и модели, учитывающие случайность и неопределенность. Необходимо различать неопределенность, описываемую вероятностными законами, и неопределенность, для описания которой законы теории вероятностей неприменимы. Второй тип неопределенности гораздо более сложен для моделирования.

По способам отражения фактора времени экономико-математические модели делятся на статические и динамические. В статических моделях все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени. Динамические модели характеризуют изменения экономических процессов во времени. По длительности рассматриваемого периода времени различаются модели краткосрочного (до года), среднесрочного (до 5 лет), долгосрочного (10-15 и более лет) прогнозирования и планирования. Само время в экономико-математических моделях может изменяться либо непрерывно, либо дискретно.

  Модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны по форме математических зависимостей. Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений и получивших вследствие этого большое распространение. Различия между линейными и нелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, но и в теоретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер: эффективность использования ресурсов при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при росте доходов и т.п. Теория "линейной экономики" существенно отличается от теории "нелинейной экономики".

 По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модель, они могут разделяться на открытые и закрытые. Полностью открытых моделей не существует; модель должна содержать хотя бы одну эндогенную переменную. Полностью закрытые экономико-математические модели, т.е. не включающие экзогенных переменных, исключительно редки; их построение требует полного абстрагирования от "среды", т.е. серьезного огрубления реальных экономических систем, всегда имеющих внешние связи. Подавляющее большинство экономико-математических моделей занимает промежуточное положение и различаются по степени открытости (закрытости).

Для моделей народнохозяйственного  уровня важно деление на агрегированные и детализированные.

В зависимости от того, включают ли народнохозяйственные модели пространственные факторы и условия или не включают, различают модели пространственные и точечные.

В исследованиях на народнохозяйственном уровне чаще применяются структурные модели, поскольку для планирования и управления большое значение имеют взаимосвязи подсистем. Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых связей. Функциональные модели широко применяются в экономическом регулировании, когда на поведение объекта ("выход") воздействуют путем изменения "входа".

 Таким образом, общая классификация экономико-математических моделей включает более десяти основных признаков. С развитием экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификации осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Общая постановка  задачи оптимизации, состав оптимизационной  модели,

целевая  функция, ограничения.

 

   Поиск оптимальных значений параметров является одной из важных задач, решае –мых при создании новых технических систем, управлении производством или тех  –нологическими процессами. В соответствии с теорией эффективности необходимо :

– сформировать критерий эффективности (функцию отклика в терминах ТПЭ). В большинстве случаев эффективность определяется совокупностью показателей, характеризующих частные свойства исследуемой системы и выполняемой ею операции. Критерий эффективности строится на множестве значений частных показателей с использованием теории полезности или методов векторной оптимизации. В некоторых случаях критерий эффективности удается построить на множестве значений одного показателя, переведя все остальные показатели в разряд ограничений;

– выделить управляемые и неуправляемые параметры (факторы) системы и среды, оказывающие существенное влияние на критерий эффективности;

 – определить ограничения на значения параметров.

Задача оптимизации заключается  в нахождение экстремума функции  отклика в области допустимых значений параметров. Чтобы найти экстремум, необходимо иметь описание поверхности отклика в интервалах варьирования параметров, что далеко не всегда удается получить исходя из теоретических соображений, так как функция отклика в аналитическом виде может быть априори неизвестна.

Реализация задачи оптимизации, основанная на применении ТПЭ, как и любой  задачи экспериментального исследования, начинается с определения объекта  анализа, цели исследования, изучении сущности исследуемого процесса, анализе имеющихся ресурсов, возможности проведения экспериментов с изучаемым объектом в необходимом диапазоне изменения факторов.

Объектом анализа выступает  заданный критерий эффективности исследуемой  системы, рассматриваемый как функция  от существенных параметров системы и внешней среды. Система может представлять собой реальный физический объект или его модель – физическую или математическую (имитационную, сложную аналитическую).

Изучение процесса функционирования объекта позволяет выявить факторы, оказывающие существенное влияние на функцию отклика. Выбор существенных переменных потенциально определяет степень достижения адекватности получаемой модели: отсутствие в исходном перечне существенных параметров, да еще и произвольно меняющихся в ходе эксперимента, не позволяет правильно решить задачу оптимизации; включение несущественных параметров усложняет модель, вызывает значительное увеличение объема экспериментов, хотя по результатам исследования несущественность соответствующих параметров будет выявлена.

Для каждой переменной следует определить диапазон и характер изменения (непрерывность или дискретность). Ограничения на диапазон изменений  могут носить принципиальный или  технический характер. Принципиальные ограничения факторов не могут быть нарушены при любых обстоятельствах. Эти ограничения задаются исходя из физических представлений (например, емкость устройств памяти всегда имеет положительное значение). Второй тип ограничений связан с технико-экономическими соображениями, например, с наличием соответствующего аппаратно-программного комплекса, принятой технологией обработки информации.

Выделение области  изменения факторов является не формальной задачей, а основывается на опыте  исследователя. В рамках области  допустимых значений факторов необходимо выделить начальную область планирования эксперимента. Этот выбор включает определение основного (нулевого) уровня как исходной точки построения плана и интервалов варьирования. Интервал варьирования задает относительно основного уровня значения фактора, при которых будут производиться эксперименты. Обычно интервалы являются симметричными относительно центрального значения. Интервал варьирования должен отвечать двум ограничениям: его применение не должно приводить к выходу фактора за пределы области допустимых значений; он должен быть больше погрешности задания значений фактора (в противном случае уровни фактора станут не различимыми). В пределах этих ограничений выбор конкретного значения является неформальной процедурой, учитывающей ориентировочную информацию о кривизне поверхности функции отклика.

Фактор должен быть управляемым, т.е. экспериментатор  может поддерживать его постоянное значение в течение всего опыта. Для фактора необходимо указать  его конкретные значения и  средства контроля. Сам фактор должен быть первичным, ибо сложно управлять фактором, который в свою очередь является функцией других факторов. Для каждого фактора следует указать точность его задания и поддержания в ходе эксперимента.

Одновременное изменение факторов предполагает их совместимость, что означает осуществимость и безопасность всех их сочетаний. Необходимо также обеспечить независимость изменения каждого фактора, что означает возможность установления любого значения фактора вне связи со значениями других факторов.

  Цель исследования, требуемая точность получаемых результатов, имеющиеся ресурсы ограничивают множество допустимых моделей  функции отклика (с усложнением модели и повышением точности оценки показателей резко возрастает объем необходимых опытов) и соответственно предопределяют план проведения экспериментов.

 Общая постановка задачи оптимизации в стандартной форме.

Рассматривается max f(x), x=(x₁, …, x_n), при следующих ограничениях:

1) g_i(x)≤0, i=1, …, m;

2) x_k≥0, kÎS,

где S – некоторое подмножество индексов (1, …, n), 

f(x) – целевая функция, 

x – n-мерный вектор переменных( факторов) задачи.

 Ограничения (1) – функциональные ограничения, ограничения (2) – прямые. Функции f, g_i – непрерывные.

 Удобно иметь все неравенства одного знака. Если же встретятся неравенства вида a_i(x) ≥0, всегда можно, обозначив g_i(x)= – a_i(x), свести систему к стандартной форме. Приведенный выше выбор знака для задачи на максимум (и обратные знаки в задаче на минимум) естественен во многих экономических задачах и задачах линейного программирования.

 Задача на оптимум не всегда имеет решение. Например, задача max (х₁+х₂) при условии, что х₁–х₂≤0, имеет неограниченное допустимое множество и не имеет решений: для любого Х можно найти другой допустимый вектор, дающий большее значение целевой функции. Тем не менее, можно выделить широкий класс задач, для которых гарантируется существование оптимума.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Методы одномерной  оптимизации ( дихотомии, золотого сечения ) .

 

4.1. Метод дихотомии.

 

Простейший однопараметрический метод безусловной оптимизации – метод дихотомии. Этот метод является методом прямого поиска.

Метод дихотомии используется для  нахождения безусловного минимума унимодальных функций f(x).

Функция f(x) называется унимодальной на отрезке [a,b], если

имеет единственную точку минимума x* на этом отрезке

f(x) монотонно убывает на [a,x*], возрастает  на [x*,b].

Свойства унимодальных функций.

Пусть f(x) унимодальна на [a,b], x,z принадлежат  отрезку, x<z, тогда:

1) если f(x)<f(z), то x* принадлежит [a,z];

2) если f(x)>f(z), то x* принадлежит [x,b];

3) если f(x)=f(z), то x* принадлежит [x,z];

Алгоритм.

Задаются: отрезок локализации  I₀ = [a₀,b₀], ε > 0 – отступ от нуля, l > 0 – точность, ε < l (отрезок локализации можно найти алгоритмом Свена);

Количество итераций k = 0;

Вычисляются: x_k=(a_k+b_k-ε)/2, f(x_k)

   y_k=(a_k+b_k+ε)/2, f(y_k)

Сравниваются f(x_k) и f(y_k)

4.1) если f(x_k) <f(y_k) , то a_k+1 = a_k

   b_k+1 = y_k

4.2) если f(x_k) > f(y_k) , то a_k+1 = x_k

    b_k+1 = b_k

   I_k+1= |a_k+1 — b_k+1| <= l

5.1) если выполняется, то x*=(a_k+1 + b_k+1)/2

5.2) если нет k = k+1 и переход к 3)

2. Метод "золотого сечения"

 

Метод дихотомии требует на каждой итерации двух вычислений значений функции: в точках х_i  и у_i . Имеются два схожих по идее, но более экономных метода, в которых каждая итерация требует только одного нового вычисления значения функции. Если основные вычислительные усилия на каждой итерации приходятся именно на вычисление значений функции (так, как правило, и бывает), то это приводит к ускорению вычислений примерно вдвое по сравнению с методом дихотомии .

   Один из методов называется метод золотого сечения. В этом методе длины последовательных отрезков  должны давать одно и то же число :

                                                                     Δ_{i -1}

                                                              Δ_i+1        Δ_i

Такой вид деления отрезка ( " целое к большей части = большая  часть  меньшей " ) называется "золотым  сечением", отсюда и название метода. При этом

Δ_{i -1} = Δ_i + Δ_{i +1} , откуда можно найти .

Таким образом, на первом шаге на отрезке  I₀ вычисляются значения в двух точках

l₀ и r₀, расположенных симметрично на расстоянии Δ₀( r – 1 ) от концов отрезка а₀ и b₀ и делящих отрезок на части, составляющие "золотое сечение". Сравнивая точно так же, как в методе дихотомии, значения в этих точках, выбираем в качестве I₁ либо [a,r₀], либо [l₀,b₀]. Экономия по сравнению с методом почти половинного деления получается на всех остальных шагах, поскольку если процесс повторить на отрезке I_i при i>1,  то одной из точек деления оказывается ранее найденная точка: 

l_i = r_i-1   или r_i = l_i-1 , так что одно из двух значений функции найдено на предыдущей итерации.

 

 

 

5. Содержание основной задачи линейного программирования, состав модели,

её особенности.

 

Любую задачу линейного программирования можно свести к стандартной форме, так называемой «основной задаче линейного программирования» (ОЗЛП), которая формируется так: найти неотрицательные значения переменные x₁, x₂, …, x_n, которые удовлетворяли бы условиям – равенствам: 

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + … +a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + … +a_2n x_n = b₂,            (5.1)

………………………………..

a_m1 x₁ +a_m2 x₂ + … +a_mn x_n = b_m.

и обращали бы в максимум линейную функцию этих переменных:

        (5.2)

Случай, когда L надо обратить не в  максимум, а в минимум, легко сводится к простому: изменить знак L на обратный (максимизировать не L, а L`=-L). Кроме  того, от любых условий – неравенств можно перейти к условиям – равенствам ценой введения некоторых новых «дополнительных» переменных. Пусть требуется найти неотрицательные значения переменных x₁,x₂,x₃, удовлетворяющие ограничениям – неравенствам

     

                                             (5.3) 

и обращающие в максимум линейную функцию от этих переменных:

             (5.4)

Начнём с того, что приведём условия (5.3) к стандартной форме, так, чтобы знак неравенства был =, а справа стоял нуль. Получим:

            

                     (5.5)

 А теперь обозначим левые части неравенств (5.5) соответственно через y₁ и y₂:

                                   (5.6)

 

Из условий (5.5) и (5.6) видно, что новые переменные y₁, y₂ также должны быть неотрицательными.

Теперь  стоит задача найти неотрицательные значения переменных x₁,x₂,x₃,y₁,y₂ такие, чтобы они удовлетворяли условиям – равенствам (5.6) и обращали в максимум линейную функцию этих переменных (то, что в L не входит дополнительные переменные y₁, y₂, неважно: можно считать, что они входят, но с нулевыми коэффициентами). Перед нами – основная задача линейного программирования (ОЗЛП). Переход к ней от первоначальной задачи с ограничениями – неравенствами (5.3) «куплен» ценой увеличения числа переменных на два (число неравенств). 

   ДОПУСТИМЫМ решением ОЗЛП называется всякая совокупность неотрицательных значений x₁, x², …, x_n, удовлетворяющую условиям (5.1.) ,

 ОПТИМАЛЬНЫМ – то из допустимых решений, которое обращает в максимум функцию (5.2.).

Требуется найти оптимальное решение.  Всегда ли эта задача имеет решение? Нет, не всегда.

1. Может оказаться, что уравнения (5.1.) вообще несовместимы (противоречат друг другу).

2. Может оказаться и так, что они совместимы, но не в области неотрицательных решений, т.е. не существует ни одной совокупности чисел x₁≥0, x₂≥0, …, x_n≥0, удовлетворяющей условиям (5.1.).

3. Наконец, может быть и так, что допустимые решения ОЗЛП существуют, но среди них нет оптимального: функция L в области допустимых решений не ограничена сверху.

 Если решение ОЗЛП существует, то его для его решения используется  стандартная

процедура – симплекс–метод.

 

 

 

Литература :

 

1. Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении. – М.: Финансы и статистика, 2002.

2. Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента. – М.: Радио и связь, 1983.

3. Налимов В.В. Теория эксперимента. – М.: Наука, 1971.

4. Ходасевич Г.Б. Обработка экспериментальных данных на ЭВМ. Часть 1. Обработка одномерных данных. – СПб.: СПбГУТ, 2002.

5. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М., Методы оптимизации. -- М.: Наука, 1978.

6. ПижуринА.А. , Розенблит М.С. Основы моделирования и оптимизации процессов  

   деревообработки. М.: Лесная  промышленность, 1988 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание № 2  .

Задача №1.

 

Построить математическую модель в  виде линейного уравнения регрессии

у = b₀ + b₁x .

 Результаты эксперимента

N опыта	1	2	3	4	5
xi	2,9	5,8	8,7	11,6	14,5
yi	6,7	10,4	15,1	14,9	17,4

 

 

 

 

Решение :

 

Составим расчётную таблицу .

xi	2,9	5,8	8,7	11,6	14,5		∑xi =	43,5
yi	6,7	10,4	15,1	14,9	17,4		∑yi =	64,5
xi2	8,41	33,64	75,69	134,56	210,25		∑xi2 =	462,55
xiyi	19,43	60,32	131,37	172,84	252,3		∑xiyi =	636,26

 

Коэффициенты b₀ и b₁ находим по формулам

  .

b1 =

0,893103

b0 =

5,13

 

Уравнение прямой линии регрессии  У на Х имеет вид

у = 0,893х + 5,13 .

Дисперсия воспроизводимости

S²{y} = ,

дисперсия адекватности

,

где 

     – среднее значение функции отклика,

     =  b₁x_i + b₀  – значение отклика в этой же точке, предсказанное на модели ,

     f = N – m   – число степеней свободы  дисперсии адекватности,

    – дисперсия адекватности ,

     N – количество опытов ,

     m – количество оцениваемых параметров ( здесь m = 2, т.к. оцениваются параметры

           b₀ и b₁ ) .

Вычисляем.

b0 + b1xi	7,7197	10,3094	12,8991	15,4888	18,0785	=	12,9
yi2	38,44	6,25	4,84	4	20,25	S2{y} =	73,78
(b0 + b1xi))2	26,83551	6,711208	8,1E-07	6,701885	26,81686	=	22.35