Контрольная работа по "Математическому планированию"

1.Выбор варианта  KCU 7

1. Оптимизируемый параметр  – ударная вязкость KCU

2. Результаты откликов:

3. Предлагаемые приоритеты:

Х₁X₂ и X₁X₃, X₄- самый слабый.

4. Варианты основных уровней  оптимизируемых параметров:

5. Величина изменения  факторов:

2. Составление  таблиц условий эксперимента

В данную таблицу нужно  занести основной уровень факторов, верхний и нижний пределы и  шаг изменения факторов. Верхний  предел определяется как результат  сложения основного уровня с половиной  интервала его изменения.

Таблица 2.1 Условия эксперимента

3. Составление  оптимального плана эксперимента (реплика )

Дробный факторный эксперимент  на двух уровнях с 4 факторами состоит  из 8 опытов и идентичен полному  факторному плану для 3 факторов, в  котором вместо наиболее слабого  тройного взаимодействия вводится четвертый  фактор х4=х1х2х3

Таблица 3.1 Дробный факторный  эксперимент 

4.Учет приоритетов

Для учета заданного приоритета необходимо произвести переименование факторов. В данном случае Х₁ переименуем в Х₄, так как Х₄=Х₁Х₂Х₃ и является самым слабым эффектом, в связи с чем взаимодействия с ним не будут в дальнейшем рассматриваться. Тогда перепишем предыдущую таблицу с учетом указанных приоритетов.

Таблица 4.1 План эксперимента с учетом приоритетов 

5. Определение  генерирующего  и смешивающих соотношений

После проведенной замены Х₄=Х₁Х₂Х₃ найдем генерирующее соотношение, для чего умножим обе части выражения на Х₄:

X₄²    Х₁Х₂Х₃

Получаем генерирующее соотношение:

1       Х₁Х₂Х₃Х₄

Отсюда выводим смешивающие  соотношения:

b₀→₀ + β₁₂₃₄

b₁→₁ +β₂₃₄

b₂→₂ +β₁₃₄

b₃→β₃ + β₁₂₄

b₄→β₄ + β₁₂₃

b₁₂→ β₁₂ + β₃₄

b₁₃→β₁₃ + β₂₄

b₂₃→β₂₃ + β₁₄

6. Рандомизация

С целью уменьшения систематических  ошибок, проводится рандомизация порядка  выполнения опытов:

Таблица 6.1 Рандомизация опытов

Таблица 6.2 План эксперимента с учетом рандомизации

Эта окончательная таблица  является планом реального эксперимента.

7. Составление  плана реального эксперимента

Таблица реального эксперимента составляется для реальных значений каждого фактора на верхнем уровне (когда к основному значению прибавляется шаг изменения фактора +1) и нижнем уровне (когда из основного значения вычитается шаг изменения фактора -1).

Таблица 7.1 План реального  эксперимента

В плане реального эксперимента условный фактор и эффекты взаимодействия опускаются, так как Х0 в уравнении функции отклика вводится для симметрии и подсчитывается всегда как среднееарифметическое всех Y_i (со знаком +). Эффекты взаимодействия Х₁Х₂= TMn и т.д. также не могут быть заданы, т.к. они подсчитываются как b₁₂ и т.д.

8. Расчет оценок  коэффициентов

Линейная часть уравнения  функции отклика для 4-х факторов будет иметь вид:

y=+

Коэффициенты модели находятся  по формуле:

,

где N- число опытов;

       i- номер опыта;

  J- номер столбца в плане.

Символ  определяет знак (уровень), с которым необходимо учесть для данного фактора и данного опыта.

b₀=1\8 (4,0+5,6+11,4+5,4+3,6+8,3+7,7+9,6)=6,95;

b₁=1\8(-4,0-5,6-11,4+5,4-3,6+8,3+7,7+9,6)=0,8;

b₂=1\8(-4,0-5,6+11,4-5,4+3,6-8,3+7,7+9,6)= 1,125;

b₃=1\8(4,0-5,6-11,4+5,4+3,6-8,3+7,7-9,6)= -1,775;

b₄=1\8(4,0-5,6+11,4-5,4-3,6+8,3+7,7-9,6)= 0,9;

b₁₂=1\8(4,0+5,6-11,4-5,4-3,6-8,3+7,7+9,6)= -0,225;

b₁₃=1\8(-4,0+5,6+11,4+5,4-3,6-8,3+7,7-9,6)= 0,575;

b₂₃=1\8(-4,0+5,6-11,4-5,4+3,6+8,3+7,7-9,6)=-0,65.

Y=6,95+0,8x₁+1,125x₂-1,1775x₃+0,9x₄-0,225x₁₂+0,575x₁₃-0,65x_23.

9. Проверка правильности  вычислений оценок коэффициентов 

Расчет считается правильным, если выполняется соотношение:

где m- число оценок коэффициентов модели (m=8); 
       n-число опытов (n=8).                                                                                                   

=16+31,36+129,96+29,16+12,96+68,89+59,29+92,12=439,78

 =  8(48,3025+0,64+1,265625+3,150625+0,81+0,050625+

+0,330625+0,4225)=439,78 

 = 0,1(6,95+0,8+1,125+1,775+0,225+0,575+0,65)=1,3

==0

Значит, данное неравенство  выполняется: 01,3и можно сделать вывод, что коэффициенты рассчитаны правильно.

10. Определение  дисперсии опыта

Считая, что при  ортогональном  плане все оценки коэффициентов  имеют одинаковую дисперсию, подсчет  проводим двумя способами: по оценкам  главных эффектов и по эффектам взаимодействия.

S²_on;

где n- число опытов;

       k-число оценок параметров главных эффектов (k=5, без коэффициентов взаимодействия).

       v- число степеней свободы (n-(k+1))=3, где k-число эффектов.

S²_on;

где сумма квадратов оценок параметров эффектов взаимодействия. Обе оценки должны быть близки по значению.

S²_on= =2,15

S²_on= 2,15;

11. Расчет дисперсии  оценок коэффициентов и доверительного  интервала 

Расчет производится по формуле :

=

где n- число опытов (n=8);

 Отсюда среднеквадратичное отклонение:

Доверительный интервал:

где- двусторонние критические точки Стьюдента

для P=0,95 и n=8. Если , а , то доверительный интервал:

0,35

12. Построение  реальной модели

Посчитав значение коэффициентов, построим модель в нормированном  виде, т.е. вместо и пр. подставляем их значения в уравнение приведенное в пункте 7.

y=6,95+0,8x₁+1,125x₂-1,1775x₃+0,9x₄-0,225x₁₂+0,575x₁₃-0,65x_23.

Переход к реальной модели осуществляется по формуле:

где - соответственно максимальный (+1) и минимальный (-1) реальный уровень фактора.

y= 6,95+0,8()+1,125()+1,775() +0,94()- 0,225())+0,575())+0,65) ().

у= -80,954-0,03x₁^p+126,085x₂^p +220,5 x₃^p+94 x₄^p-0,07515 x₁^p x₂^p+1,15 x₁^p x₃^p -1085,5 x₂^p x₃^p .

13.Проверка эффективности  движения по градиенту

Построенная модель отклика  может быть адекватной и неадекватной. В случае, когда модель адекватна, т.е. с достаточной точностью описывает  изучаемое явление, но выбранная  область варьирования факторов не находится  вблизи экстремума, необходимо продолжить исследования. Для поиска экстремума можно осуществить метод крутого восхождения (движения по градиенту). Для чего необходимо найти новые точки отсчета, начиная с которых осуществляется «пошаговое исследование». Для решения вопроса об адекватности модели и эффективности по градиенту нужно рассчитать следующее неравенство:

где - критичесская двусторонняя точка Стьюдента, которая определяется при Р=0,95 и числа    степеней свободы v=n-(k+1);

-дисперсия оценок  коэффициентов. (Для приведенного  случая берется сумма квадратов  4-х главных эффектов, не включая  ).

5,87

=2,41

5,872,41, так как данное неравенство выполняется, то, значит, требуется дальнейшее исследование модели методом крутого восхождения.

14. Расчет радиуса - вектора

Для осуществления крутого  восхождения необходимо рассчитать радиус по формуле:

==1,04

где k-число факторов на данном этапе;

       j- номер этапа (на пути крутого восхождения). В нашем случае j=1, так как это первый этап крутого восхождения.

15. Проверка значимости  коэффициентов 

Для движения по градиенту  осуществим проверку значимости коэффициентов  по формуле:

;

Если неравенство выполняется, то коэффициент незначим и на следующем  этапе исследования его фиксируют  на одном уровне, близком к основному. В дальнейших расчетах такой коэффициент  не участвует.

Для данного случая: 
1)

0,330,96, значит b₁ незначим;

2)

0,460,96, значит b₂ незначим;

3)

0,730,96 значит b₃ незначим;

4)

0,37 0,96 значит b₄ незначим.

Отсюда видно, что все коэффициенты незначимы.

16. Расчет новых  центральных точек

Рассчитываем центральные  точки опыта на первом этапе крутого  восхождения по формуле:

= 0,35

= 0,48

= -0,76

=0,39

Реальные значения новых  точек находим по формуле:

где- значение фактора в новой точке в нормированном виде, найденное из уравнения

1)

2)0,96 %

3)%

4)