Контрольная работа по "Математическому моделированию организационных и экономических систем"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ  АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального  образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ 
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

 

 КОНТРОЛЬАЯ  РАБОТА

По дисциплине «Математическое моделирование

Организационных и экономических систем».

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

студентка группы Д-3284ТГ/06

Иванова  Анастасия Романовна

 

Проверил:

      Преподаватель

 

Томск 2012.

Содержание

 

1. Модель системы: определение, виды моделей.

2.  Поясните основные  идеи и суть методов математического  программирования.

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3.

Список использованной литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Модель системы: определение, виды моделей.

 

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Под "моделью" будем понимать такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале. Любая модель строится и исследуется при определенных допущениях, гипотезах. Модель — результат отображения одной структуры на другую. Отобразив физическую систему (объект) на математическую систему (например, математический аппарат уравнений), получим физико-математическую модель системы, или  математическую модель физической системы.

Модель — это тот объект, та система, которая позволяет облечь эту информацию в конкретное, например компьютерное, представление, содержание. 

Моделирование — тот процесс, метод, который позволяет осуществлять перенос информации от реальной системы к модели и наоборот.

Модели  по их назначению бывают познавательными, прагматическими и инструментальными.

• Познавательная модель — форма организации и представления знаний, средство соединения новых и старых знаний. Познавательная модель, как правило, подгоняется под реальность и является теоретической моделью.
• Прагматическая модель — средство организации практических действий, рабочего представления целей системы для ее управления. Реальность подгоняется под некоторую прагматическую модель. Это, как правило, прикладная модель.
• Инструментальная модель — средство построения, исследования и/или использования прагматических и/или познавательных моделей. Познавательные модели отражают существующие, а прагматические — хоть и не существующие, но желаемые и, возможно, исполнимые отношения и связи.

По  уровню моделирования модели бывают эмпирическими, теоретическими и смешанными.

• Эмпирическая — на основе эмпирических фактов, зависимостей;
• Теоретическая — на основе математических описаний;
• Смешанная или полуэмпирическая — использующая эмпирические зависимости и математические описания.

Моделирование — это универсальный метод получения, описания и использования знаний. Оно используется в любой профессиональной деятельности.  В современной науке и технологии математическое моделирование усиливается, актуализируется проблемами, успехами других наук. Математическое моделирование реальных и нелинейных систем живой и неживой природы позволяет перекидывать мостики между нашими знаниями и реальными системами, процессами, в том числе и мыслительными.

Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в описании модели, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь «фотографию» системы, ее срез.

Модель динамическая, если среди параметров модели есть временной параметр, т. е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Модель дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Модель непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка.

Модель имитационная, если она предназначена для испытания или изучения, проигрывания возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров модели.

Модель детерминированная, если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров; в противном случае модельнедетерминированная, стохастическая (вероятностная).

Модель теоретико-множественная, если представима с помощью некоторых множеств и отношений принадлежности им и между ними.

Модель логическая, если она представима предикатами, логическими функциями.

Модель игровая, если она описывает, реализует некоторую игровую ситуацию Между участниками игры (лицами, коалициями).

Модель алгоритмическая, если она описана некоторым алгоритмом или комплексом алгоритмов, определяющим ее функционирование, развитие. Введение такого на первый взгляд непривычного типа моделей кажется нам вполне обоснованным, так как не все модели могут быть исследованы или реализованы алгоритмически.

Модель языковая, лингвистическая, если она представлена некоторым лингвистическим объектом, формализованной языковой системой или структурой. Иногда такие модели называют вербальными, синтаксическими и т. п.

Модель визуальная, если она позволяет визуализировать отношения и связи моделируемой системы, особенно в динамике.

Модель натурная, если она есть материальная копия объекта моделирования.

Модель геометрическая, графическая, если она представима геометрическими образами и объектами.

Тип модели зависит от информационной сущности моделируемой системы, от связей и отношений  ее подсистем и элементов, а не от ее физической природы.

Границы между моделями различных типов или же отнесение  модели к тому или иному типу часто  весьма условны. Можно говорить о  различных режимах использования  моделей — имитационном, стохастическом и т. д.  
Все основные типы моделей, возможно, за исключением некоторых натурных — системно-информационные (инфосистемные) и информационно-логические (инфологические). В узком понимании информационная модель — это модель, описывающая, изучающая, актуализирующая информационные связи и отношения в исследуемой системе. В еще более узком понимании информационная модель — это модель, основанная на данных, структурах данных, их информационно-логическом представлении и обработке. Как широкое, так и узкое понимание информационной модели необходимы, определяются решаемой проблемой и доступными для ее решения ресурсами, в первую очередь информационно-логическими.

Основные  свойства любой модели:

• конечность — модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;
• упрощенность — модель отображает только существенные стороны объекта и, кроме того, должна быть проста для исследования или воспроизведения;
• приблизительность — действительность отображается моделью грубо, или приблизительно;
• адекватность моделируемой системе — модель должна успешно описывать моделируемую систему;
• наглядность, обозримость основных свойств и отношений;
• доступность и технологичность для исследования или воспроизведения;
• информативность — модель должна содержать достаточную информацию о системе (в рамках гипотез, принятых при построении модели) и давать возможность получить новую информацию;
• сохранение информации, содержавшейся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез);
• полнота — в модели должны быть учтены все основные связи и отношения, необходимые для обеспечения цели моделирования;
• устойчивость — модель должна описывать и обеспечивать устойчивое поведение системы, если даже та вначале является неустойчивой;
• замкнутость — модель учитывает и отображает замкнутую систему необходимых основных гипотез, связей и отношений.

 

2.  Поясните  основные идеи и суть методов  математического программирования.

Математическое программирование - очень обширная область современной математики и её обстоятельное изложение потребовало бы несколько томов книг. Поэтому укажем лишь основные направления, по которым велись и ведутся математические исследования.

Симплекс-метод

В настоящее время существует много  модификаций этого метода, позволяющих  существенно сократить время  счета, сделать алгоритм нечувствительным к вырожденности опорных планов, повысить размерность решаемых задач, решать так называемые блочные задачи и т.д. Несмотря на обилие этих модификаций, продолжают появляться все новые  и новые его варианты.

Целочисленное линейное программирование

В целом ряде решаемых задач линейного  программирования на переменные   накладывается дополнительное условие их целочисленности. Действительно, ведь нельзя изготовить, скажем, 1/2 стола или сшить 1/3 костюма. Когда наложено дополнительное условие целочисленности переменных  , соответствующая задача носит название задачи целочисленного линейного программирования.

Простое округление   до целых чисел здесь не помогает - план может получиться не оптимальным. Поэтому приходится разрабатывать специальные алгоритмы решения таких задач, к наиболее известным из которых относятся так называемые алгоритмы Гомори, основанные на так называемой идее отсечения.

Булевское программирование

К частному случаю задачи целочисленного линейного программирования относятся  задачи, где переменные   могут принимать всего лишь два значения - 0 и 1. Соответствующие задачи часто называют задачами булевского программирования. Наиболее известные из этих задач - это задача о назначениях (какого работника на какую работу поставить), задача выбора маршрута (задача коммивояжера, задача почтальона), задача о максимальном паросочетании и т.д.

Для решения задач этого типа разрабатываются очень специфические  алгоритмы, основанные на комбинаторике, графах и т.д.

Стохастическое линейное программирование

Бывает много практических ситуаций, когда коэффициенты   целевой функции, коэффициенты   в матрице коэффициентов, коэффициенты ограничений   - являются случайными величинами. В этом случае сама целевая функция становится случайной величиной, и ограничения типа неравенств могут выполняться лишь с некоторой вероятностью. Приходится менять постановку самих задач с учётом этих эффектов и разрабатывать совершенно новые методы их решения. Соответствующий раздел получил название стохастического программирования.

Квадратичное программирование

Под квадратичным программированием  понимаются задачи следующего вида (в  матричных обозначениях)

где   -симметричная матрица размерности  . Задачи линейного программирования являются частным случаем этих задач - они получаются при  =0. 
Способы решения этих задач во многом определяются видом матрицы  : если   - положительно определённая матрица, то целевая функция будет выпуклой и любой её локальный минимум будет глобальным. Если   - отрицательно определённая матрица, то может быть несколько локальных минимумов, но глобальный минимум, если он существует, достигается обязательно на вершине допустимой области. В общем случае, когда собственные числа матрицы   имеют разные знаки, задача очень сильно усложняется, так как глобальный минимум может достигаться где угодно - и внутри области и на её границе.

Выпуклое программирование

Под задачей выпуклого программирования понимают задачу вида

где   и   - выпуклые функции. Для этих задач характерно то, что любой локальный минимум оказывается глобальным, и все сводится к нахождению этого единственного минимума.

Для решения задач этого типа разработаны многочисленные численные  методы, приспособленные для решения  на ЭВМ, в основном связанные с  понятием градиента целевой функции  и основной идеей о том, что  функция наиболее быстро убывает, если двигаться в направлении, противоположном  градиенту. К ним относятся метод  градиентного спуска, метод сопряженных  градиентов и т.д. Но есть и методы, основанные на других идеях ¾ метод штрафных функций, многочисленные варианты метода случайного поиска и т.д.

Геометрическое  программирование

Под задачами геометрического  программирования понимают задачи наиболее плотного расположения некоторых объектов в заданной двумерной или трехмерной области. Такие задачи встречаются  в задачах раскроя материала  для производства каких-то изделий  и т.п. Это - еще недостаточно разработанная область математического программирования и имеющиеся здесь алгоритмы в основном ориентированы на сокращение перебора вариантов с поиском локальных минимумов.

Дискретное программирование

Многие задачи исследования операций такие как распределение  ресурсов, сетевого планирования, календарного планирования описываются математическими  моделями дискретного программирования.:

Найти  при условиях:

-множество . Если множество   является конечным или счетным, то условие   — условие дискретности и данная задача является задачей дискретного программирования.

Чаще всего условие  дискретности разделено   по отдельным переменным следующим образом:  , где   конечное или счетное множество.

Если вводим ограничения  — целые числа, то приходим к задачам целочисленного программирования, которые являются частным случаем дискретного программирования. В задачах дискретного программирования область допустимых решений является невыпуклой и несвязной, поэтому отыскание решения в таких задачах сопряжено со значительными трудностями. В частности невозможно применение стандартных приемов, используемых при замене дискретной задачи ее непрерывным аналогом, состоящих в дальнейшем округлении найденного решения до ближайшего целочисленного.

Динамическое  программирование

Динамическое программирование — это вычислительный метод для  решения задач определенной структуры. Возникло и сформировалось в 1950-1953 гг. благодаря работам Р. Беллмана над  динамическими задачами управления запасами. В упрощенной формулировке динамическое программирование представляет собой направленный последовательный перебор вариантов, который обязательно приводит к глобальному максимуму.

Основные необходимые  свойства задач, к которым возможно применить этот принцип:

1. Задача должна допускать интерпретацию как n-шаговый процесс принятия решений.
2. Задача должна быть определена для любого числа шагов и иметь структуру, не зависящую от их числа.
3. При рассмотрении k-шаговой задачи должно быть задано некоторое множество параметров, описывающих состояние системы, от которых зависят оптимальные значения переменных. Причем это множество не должно изменяться при увеличении числа шагов.
4. Выбор решения (управления) на k-м шаге не должен оказывать влияния на предыдущие решения, кроме необходимого пересчета переменных.

Задача о выборе траектории, задача последовательного принятия решения, задача об использовании рабочей  силы, задача управления запасами —  классические задачи динамического  программирования.

 

Задача 1. Хлебопекарный  цех выпекает два вида хлеба: А  и В. На производство 1 т. хлеба А  требуется 700 кг муки; хлеба В – 820 кг. Расход рабочего времени основного  оборудования цеха на 1  т. хлеба А  и В  соответствуют 1.2 и 2.2 ч. Цех  располагает запасом муки в кол-ве 14340 кг. Резерв рабочего времени оборудования – 36.1 ч. Прибыль от реализации одной  тонны хлеба А – 22 д. е., хлеба  В – 30 д. е. Спланировать работу цеха так, чтобы прибыль была максимальной, если выпуск хлеба В должен быть не менее 12 т.

 

хлеб	затраты		Доход от продажи
	мука	Рабочее время
А	700	1,2	22
В	820	2,2	30
Общие запасы	14340	36,1	Максимальный выпуск 12 т

Составляем модель задачи:

X1 – количество хлеба  А 

X2 – количество хлеба  В 

Целевая функция имеет  вид: 

F(x)=22х1+30х2®max

Введем ограничения:

700х1+820х2<=14340

1,2x1+2,2x2<=36,1

x1+x2<=12

x1,х2>=0

решаем данную систему  при помощи функции программы  Excel:

Результаты расчета в  Excel

Microsoft Excel 11.0 Отчет  по результатам
Рабочий лист: [Книга1]Лист1
Отчет создан: 15.10.2012 18:08:37
Целевая ячейка (Максимум)
	Ячейка	Имя	Исходное  значение	Результат
	$A$6	x1	0	360
Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходное  значение	Результат
	$A$2	x1	0	0
	$B$2	x2	0	12
Ограничения
	Ячейка	Имя	Значение	Формула	Статус	Разница
	$A$3	x1	9840	$A$3<=14340	не связан.	4500
	$A$4	x1	26,4	$A$4<=36.1	не связан.	9,7
	$A$5	x1	12	$A$5<=12	связанное	0
	$A$2	x1	0	$A$2>=0	связанное	0
	$B$2	x2	12	$B$2>=0	не связан.	12

Результатом решения задачи является: количество выпускаемой продукции  – хлеб вида В в количестве 12 тонн дает максимальную прибыль 30*12=36 т.р. Все  ограничения и условия оптимальности  выполнены.

 

Задача 2. Решить графически задачу линейного программирования.

L = 6x1 + 5x2→max 

x1 + 3x2  ≤  4  

2x1 + x2  ≥  3  

x1  ≥  0  

x2  ≥  0

 

Строим кривые:

1. Х1=0, х2=1,3; х2=0, х1=4
2. Х1=0, х2=3; х2=0, х1=1,5

 

Находим область допустимых значений: проверяем точку (0,0) и проверяем  условия оптимальности

0+ 3*0  ≤  4  

2*0 + 0  ≥  3    - условие  не выполняется

x1  ≥  0  

x2  ≥  0

проверяем точку (2;0)

2 + 3*0  ≤  4  

2*2 +0  ≥  3  

2 ≥  0  

0 ≥  0

Условия оптимальности выполнены. Поэтому ОДЗ является АВС.

Точкой максимума является точка В, координаты (1;1,1), L = 6*1 + 5*1,1=11,5.

 

Задача 3. Банк имеет  один пункт,  где клиенты могут  воспользоваться банкоматом, не выходя из автомобиля. Автомобили прибывают  с интенсивностью λ =  12автомобилей  в  час.  Время,  необходимое  для  обслуживания клиента банкоматом, t обсл.=  6 мин. Максимальная вместимость полосы обслуживания банкоматом составляет 10 автомобилей. При заполненной полосе прибывающие клиенты должны обратиться к другому банку. Дайте классификацию этой системы массового обслуживания. Найти все возможные ее функциональные характеристики. Сделайте выводы.

 

В зависимости от условий  ожидания начала обслуживания это СМО  с ограниченной длиной очереди. По числу  каналов – однаканальная. По месту  нахождения источника требований –  разомкнутая. По количеству этапов обслуживания – однофазная.

Характеристики:

Вероятность того, что канал  свободен р0=m/(l+m)=10/(10+12)=0,45или 45%

Вероятность того, что поступившая  заявка будет принята к обслуживанию роб=р0=45%

Вероятность занятости канала (вероятность отказа заявке) р1=1-р0=1-0,45=0,55 или 55%

Относительная пропускная способность  Q=р0=45%

Абсолютная пропускная способность  А=lQ=10*0,45=4,5 автомобилей

Интенсивность выходящего потока обслуженных требований v=А=4,5 автомобилей

Среднее время обслуживания заявок Тоб=6 мин

Среднее время простоя  канала Тпр=1/l=1/10=0,1 часа

Среднее время пребывания заявки в системе Тсис=1/(l+m)=1/(10+12)=0,045 часа

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

 

1. Математическое  моделирование  организационных  и  экономических систем: рабочая программа, метод. указания и контр. задания для студентов спец. 080502 «Экономика  и  управление  на  предприятии (по  отраслям)» ИДО / Сост. О. В. Марухина. – Томск: Изд. ТПУ, 2008. – 31 с.
2. М.Г.Сидоренко Математические модели в экономике. Учебное пособие. – Томск: ТМЦДО, 2000.