Контрольная работа по "Математике". 15

Содержание

 

Задание 1

Приведите примеры номинальных шкал

Номинальная шкала – метрическая шкала, отображающая лишь отношение эквивалентности между элементами измеряемой области. При этом данные элементы группируются в отдельные непересекающиеся классы, получающие номера или названия, и номер класса фактически не имеет количественного выражения.

Каждый элемент шкалы  существует как бы сам по себе, и  в целом шкала не упорядочена. Единственное условие состоит в  том, что все элементы должны иметь  единое основание для выделения.

К примеру:

"КАКУЮ ЛИТЕРАТУРУ  ВЫ ЧАЩЕ ВСЕГО ЧИТАЕТЕ?"

Учебную, специальную..............………….(  )

Научно-популярную...................………… (  )

Художественную.........................……….  (  )

Политическую............................………… (  )

 Социально-экономическую........………… .(  )

Приведенный ряд наименований не упорядочен, но имеет единое основание - чтение литературы. По сути дела, как шкала она практически не употребляется, поскольку альтернативы в ней независимы друг от друга и респондент может выбрать любое количество предлагаемых ответов. Каждый элемент данной шкалы рассматривается и анализируется практически самостоятельно, вне связи с другими. Можно, конечно, упорядочить и данную шкалу, но для этого необходимо ввести какое-то другое основание для выделения, скажем, по значимости чтения иного вида литературы, но это уже будет другой тип шкалы.

Номинальная шкала измерения -  основа всех шкальных процедур. Она устанавливает отношения равенства между явлениями, которые включены в один класс. Пример номинальной шкалы:

1. Рабочие ручного труда, не требующего специальной подготовки.
2. Рабочие ручного труда высокой квалификации.
3. Рабочие механизированного труда средней квалификации.
4. Рабочие механизированного труда высокой квалификации.
5. Рабочие автоматизированного труда.
6. Рабочие заняты наладкой автоматизированного оборудования.

В этой шкале  каждому из пунктов дается детальная  эмпирическая интерпретация. Рабочие  перечислены по мере роста их квалификации.

Операции  с числами для номинальной  шкалы следующие:

1. Нахождение частот распределения по пунктам шкалы в единицах или процентах от общего количества.
2. Поиск средней тенденции по модальной частоте. Модальной называют группу с наибольшей численностью в данном измерении.

Упорядоченная номинальная шкала чаще всего используется при опросах общественного мнения. Пример такой шкалы:

• «вполне согласен»,
• «пожалуй, согласен»,
• «затрудняюсь ответить»,
• «пожалуй, не согласен»,
• «не согласен»,
• «совершенно не согласен».

Весьма часто  употребляемые разновидности шкал этого типа — ранговые. Они предполагают полное упорядочение каких-либо объектов или свойств от наиболее к наименее важному, значимому, предпочитаемому.

В теории измерений номинальные  шкалы считаются простейшими  и самыми «бедными» (их называют также шкалами наименований и классификационными шкалами). Если обозначить числами возможные варианты ответов испытуемого на тестовые задания, то эти числа будут иметь смысл только абстрактных символов, обозначающих каждый вариант ответов и никакие другие отношения между указанными числами, кроме их равенства, значения не имеют. При сравнении двух испытуемых по признаку, измеренному в номинальной шкале, можно сделать единственный вывод о совпадении или несовпадении значения признака. Поэтому при анализе таких признаков каждую отметку номинальной шкалы считают отдельным самостоятельным признаком. Он принимает всего два значения А и В и разность (А — В) уже может интерпретироваться как степень важности несовпадения данного признака при сравнении двух объектов. Чаще всего применяют значения А=0 и В=1, то есть признак равен либо 0, либо 1, а степень важности признака x_i задается весом w_i, на который умножается x_i. Такие признаки называют двоичными, бинарными, булевыми, а в психодиагностике часто используют термин «дихотомические признаки». Процедура преобразования исходных показателей в набор признаков с двумя градациями носит название дихотомизации. После проведения дихотомизации номинальные измерения становятся доступны для применения широкого спектра различных методов многомерного количественного анализа с учетом специфики данного вида измерений.

 

Задание 2

Приведите примеры распределения непрерывных величин

Равномерный закон  распределения. СВ X распределена по равномерному (прямоугольному) закону, если все значения СВ лежат внутри некоторого интервала и все они равновероятны (точнее обладают одной плотностью вероятности). Например, если весы имеют точность 1г и полученное значение округляется до ближайшего целого числа k, то точный вес можно считать равномерно распределенной СВ на интервале (k-0,5; k+0,5).

Дифференциальная функция  равномерного закона на интервале (a,b) (рис. 1):

Интегральная функция равномерного закона на интервале (a,b) (рис. 1):

Дифференциальная функция	Интегральная функция
Рис. 1. Равномерный закон  распределения

Показательное распределение. НСВ X, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение, если ее дифференциальная функция имеет вид:

где l = const, l > 0.

Интегральная функция  показательного закона с параметром l:

Дифференциальная функция	Интегральная функция
Рис. 2. Показательный закон

Если СВ X распределена по показательному закону, то:

1. Математическое ожидание
2. Дисперсия

среднее квадратическое отклонение

3. Вероятность попадания СВ X в заданный интервал определяется по формуле:

.

Нормальный  закон распределения играет исключительную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающийся закон распределения, главной особенностью которого является то, что он является предельным законом, к которому, при определённых условиях, приближаются другие законы распределения.

Дифференциальная функция нормального закона имеет вид (рис. 3):

Дифференциальная функция	Интегральная функция
Рис. 3. Нормальный закон распределения

 

Примеры законов  распределения некоторых непрерывных случайных величин

Таблица 1

№ п/п	Распределение случайной  величины	Функция плотности
	Лапласа
	Нормальное
	Логнормальное
	Логистическое
	Вейбулла-Гнеденко

 

Задание 3

Приведена таблица данных:

Таблица 2

Исходные данные

№	Значение	№	Значение	№	Значение	№	Значение
1	1	6	0	11	5	16	0
2	1	7	2	12	1	17	4
3	0	8	0	13	2	18	2
4	3	9	1	14	3	19	4
5	2	10	3	15	6	20	0

 

А) проранжировать данные по возрастанию.

Б) распределить по частотам,

В) сгруппировать по частотам,

Г) интерпретировать полученные результаты целиком или в выбранной  Вами группе,

Д) определить 50 процентиль данного распределения,

Е) построить полигон  распределения.

Решение:

а) 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 6

б) Число 0 встречается 5 раз, число 1 и 2- четыре раза, число 3-три раза. Число 4 – 2 раза, а 5 и 6 –по одному разу.

в) группировка по частотам

xi	0	1	2	3	4	5	6
ni	5	4	4	3	2	1	1
ni/n	0,25	0,2	0,2	0,15	0,1	0,05	0,05
ni’	5	9	13	16	18	19	20
ni’/n	0,25	0,45	0,65	0,8	0,9	0,95	1

Где n_i-частотность в группе, n=20 – всего элементов в выборке; n_i’ – накопленная частота.

г) Наибольшую частоту имеет значение 0. Большие значения частот встречаются в начале выборки. К концу выборки значение частот убывает. Можно предположить, что данное распределение подчиняется показательному закону распределения.

д) 50 процентов соответствует значению, при котором накопленная частота превышает половину, т.е. u_50%=2.

е) Полигон распределения:

 

Задание 4

Вычислить для Вашего распределения (таблица 1) моду, среднее, медиану. Интерпретировать результаты вычислений для данного распределения.

Решение:

Число вариант в выборке  нечетно, значит медиана данного  распределения  3.

Мода-наблюдение выборки, имеющее наибольшую частоту. 0.

Итак, медиана данного  распределения равна 3, наибольшую частоту имеет значение 0, среднее значение данного распределения 2, т.е. среднее значение почти близко к моде.

 

Задание 5

На ваш выбор, любым  из предложенных критериев проверить  статистическую гипотезу. Исследование может быть взято из каких-либо источников, или проведено самостоятельно.

УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ

По данному ряду построить  теоретический ряд. Оценить близость фактического и теоретического распределения с помощью критерия Пирсона. Теоретический и графический ряд изобразить графически.

РЕШЕНИЕ

Таблица 3

Исходные данные задачи

Стаж работы	Количество работников
0-5	10
5-10	15
10-15	25
15-20	19
20- 25	12
Свыше 25	5
Итого	86

 

Определим средние значения интервалов

Таблица 4

Стаж работы	Среднее значение интервала (х)	Количество работников (у)
0-5	2,5	10
5-10	7,5	15
10-15	12,5	25
15-20	17,5	19
20- 25	22,5	12
Свыше 25	27,5	5
Итого	90	86

 

1. Принимаем величину стажа работников за переменную х, а величину количества работников за переменную y. Тогда значения х_ср и y_ср определяем по формулам (1) и (2):

х_ср = (Σ x_i) / n,   (1)

y_ср = (Σ y_i) / n,   (2)

где n = 5, i = 1…5

Тогда, х_ср = 90 : 6 = 15

  y_{ср =} 86 : 6 = 14,3

2. Дальнейшие результаты расчета представляем в виде таблицы 5

Таблица 5

xi - хср	(xi - хср)2	(xi yi - xi yср)2	(yi - yср)	(yi - yср)2	(xi - хср)( yi - yср)
-12,5	156,25	115,5625	-4,3	18,49	53,75
-10,5	110,25	272,25	-2,2	4,84	23,1
-5,5	30,25	9506,25	7,8	60,84	-42,9
-0,5	0,25	992,25	1,8	3,24	-0,9
4,5	20,25	13689	-5,2	27,04	-23,4
Итого	317,25	24575,31	-2,1	114,45	9,65

Σ(x_i - х_ср)² = 317,25

Σ(y_i - y_ср)² = 114,45

Σ(x_i - х_ср)( y_i - y_ср) = 9,65

3. Теснота связи между показателями измеряется критерием Пирсона, который исчисляется по формуле (3):

V = δ²_xy / δ_x · δ_y,                      (3)

где V – коэффициент корреляции,

δ_x = [Σ(x_i - х_ср)²/ n]^1\2,   (4)

δ_y = [Σ(y_i - y_ср)²/ n]^1\2,   (5)

δ²_xy = 1/n ∑ (x_i - х_ср)( y_i - y_ср),          (6)

Подставляя имеющиеся значения  в формулы (4),(5),(6),получаем:

δ_x = (317,25/6)^1/2 = (52,9)^1/2 = 7,3

δ_y = (114,45/6)^1/2 = (19,075)^1/2 =4,4

δ²_xy = 9,65/6 = 1,6

Тогда, значение критерия Пирсона равно:

V = 1,6/ (7,3 *4,4) ≈ 0,05

4. Считая формулу связи между показателями линейной (y = a₀ + a₁x), определим зависимость показателем. Для этого решается система нормальных уравнений:

na₀ + a₁∑x_i = ∑y_i,   (7)

a₀∑x_i + a₁∑x_i² = ∑ x_i y_i,              (8)

Величины ∑x_i² и ∑ x_i y_i представлены в таблице 6.

Таблица 6

	Х	х2	у	х*у
	2,5	6,25	10	25
	7,5	56,25	15	112,5
	12,5	156,25	25	312,5
	17,5	306,25	19	332,5
	22,5	506,25	12	270
	27,5	756,25	5	137,5
Итого	90	1787,5	86	1190

Значение a₀ определяем из формулы (7):

6 a₀ + 90 a₁ = 86,

90 a₀ + 1787,5 a₁ = 1190

a₀ = (86 – 90  a₁)/ 6,

или a₀ = 14,3 – 15 a₁

Подставляя найденное  значение a₀  в формулу (8), находим значение a₁:

90 (14,3 – 15 a₁) + 1787,5 a₁ = 1190

1287 – 1350 a₁ + 1787,5 a₁ = 1190

437,5 a₁ = -97

a₁ =  - 0,22

Тогда, a₀ = 14,3 - 15 * - 0,22 = 11

Итак, уравнение регрессии в окончательном виде имеет следующий вид:

y = 11 -  0,22 · x

 

 

 

 

 

Таблица 7

Фактические и теоретические  значения

х	у факт	у теор
2,5	10	10,45
7,5	15	9,35
12,5	25	8,25
17,5	19	7,15
22,5	12	6,05
27,5	5	4,95

 

Рис. 4. Фактический тренд зависимости количества работников от стажа

Рис. 5. Теоретический тренд зависимости количества работников от стажа

Список используемой литературы

 

1. Глинский В.В., Ионин В.Г. Статистический анализ. Учебное пособие. – М.: Филинъ, 2008.
2. Кожухарь Л.И. Основы общей теории статистики. – М.: «Финансы и статистика», 2006. – 457 с.
3. Практикум по статистике:  Учебное пособие для вузов / Под ред. Симчеры В.М./ ВЗФЭИ. – М.: «Финстатинформ», 2006. – 456 с.
4. Чернова Т.В. Экономическая статистика. Учебное пособие. – Таганрог: ТРТУ, 2009. – 289 с.
5. Экономическая статистика. Учебник / Под ред. Иванова Ю.Н. – М.: ИНФРА-М, 2007. – 189 см