Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по "Статистике". 28. 2

ТИТУЛЬНИК

ВАРИАНТ № 12

Задача № 1

В одном из лесничеств Рязанской области методом случайной выборки обследовано 1000 деревьев с целью установления их среднего диаметра, который оказался равным 210 мм при σ² =126,5 мм. С вероятностью 0,683 определите пределы среднего диаметра деревьев в генеральной совокупности.

Дано:

Дисперсия (σ² =126,5 мм) – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней величины. Дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой:

где – среднее значение признака по совокупности, равное 210 мм (средний диаметр деревьев),

n – число единиц в совокупности, равное числу обследованных деревьев 1000,

р – вероятность определения среднего диаметра деревьев 0,683.

Решение:

Для определения границ, в которых будет находиться средний диаметр деревьев в генеральной совокупности, воспользуемся выражением:

где – выборочная средняя; – предельная ошибка выборки, которая дает возможность выяснить, в каких пределах находиться величина генеральной средней,
Предельную ошибку выборки рассчитаем по формуле (из теоремы А. М. Ляпунова):

где t – коэффициент доверия, нормированное отклонение, зависящее от значения вероятности (р = 0,683, тогда из таблицы t =1), σ²– дисперсия выборочной совокупности (σ² = 126,5), n – объем выборки (n = 1000) .

Тогда предельная ошибка выборки равна:

Следовательно, с вероятностью 0, 683 можно утверждать, что разность между выборочными (обследованные деревья) и генеральными показателями (все деревья) не превысит 0,016 мм.

С помощью предельной ошибки выборки определим границы для среднего значения:

с вероятностью 0,683 можно утверждать, что значение генеральной средней (средний диаметр деревьев) следует ожидать в пределах от 209,984 до 210,016 мм.

Задача № 2

По данным таблицы вычислите ранговый коэффициент Спирмена между суммарными активами и объемом вложений акционеров банков Японии.

Дано:

№ банка	Суммарный актив, млрд долл.	Объем вложений акционеров, млрд долл.	Чистый доход, млрд долл.	Депозиты, млрд долл.
1	507,2	19,5	352,9	448,1
2	506,6	19,8	187,1	451,9
3	487,8	21,1	375,2	447,9
4	496,0	18,6	287,9	444,3
5	493,6	19,6	444,0	443,2
6	458,9	11,7	462,4	411,7
7	429,3	10,5	459,5	328,6
8	386,9	13,6	511,3	314,7
9	311,5	10,8	328,6	259,4
10	302,2	10,9	350,0	187,7
11	262,0	10,3	298,7	238,5
12	242,4	10,6	529,3	269,4
13	231,9	8,5	320,0	284,0
15	214,3	6,7	502,0	172,3
16	208,4	8,3	194,9	166,4

Решение:

Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается по формуле (для случая, когда нет связных рангов):

где – квадрат разности рангов (из таблицы); n – число наблюдений (15 банков);

№ банка	Суммарный актив, млрд долл.	Объем вложений акционеров, млрд долл.	Ранг* банка по суммарным активам	Ранг* банка по объему вложений акционеров	Квадрат разности рангов, d²
1	507,2	19,5	1	4	9
2	506,6	19,8	2	2	0
3	487,8	21,1	5	1	16
4	496,0	18,6	3	5	4
5	493,6	19,6	4	3	1
6	458,9	11,7	6	7	1
7	429,3	10,5	7	11	16
8	386,9	13,6	8	6	4
9	311,5	10,8	9	9	0
10	302,2	10,9	10	8	4
11	262,0	10,3	11	12	1
12	242,4	10,6	12	10	4
13	231,9	8,5	13	13	0
14	214,3	6,7	14	15	1
15	208,4	8,3	15	14	1
				Сумма	62

* Ранжирование – это процедура упорядочения объектов изучения, которая выполняется на основе предпочтения. Ранг – это порядковый номер значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания их величин. Если значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической от соответствующих номеров мест, которые определяют. Данные ранги называются связными.

Тогда коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) равен:

Задача № 3

1). Распределение характеризуется данными, приведенными в таблице. На основе критерия Пирсона проверьте, согласуется ли распределение с нормальным распределением с вероятностью 0,95. 2). По торговому предприятию имеются следующие данные о реализации стиральных машин (таблица). Определите: а) средний рост цен на данную группу товаров по торговому предприятию; б) перерасход покупателей от роста цен.

Дано:

1). Распределение магазинов по размеру товарооборота за октябрь 1996 г. характеризуется следующими данными.

Группы магазинов по размеру товарооборота, тыс.руб.	Число магазинов	Группы магазинов по размеру товарооборота, тыс.руб.	Число магазинов
до 200	12	500-600	15
200-300	14	600-700	7
300-400	18	700-800	6
400-500	23	Свыше 800	4
Итого	-	-	100

2). По торговому предприятию имеются следующие данные о реализации стиральных машин.

Марка стиральной машины	Цена в январе, руб.	Цена в феврале, руб.	Товарооборот февраля, руб.
Индезит	3000	3100	49,6
Бош	3500	3600	54,0
Эврика	700	720	39,6

Решение:

1). Критерий согласия Пирсона () вычисляется по формуле:

где − эмпирические и теоретические частоты соответственно.

По данным таблицы в исходных данных:

Группы магазинов по размеру товарооборота, тыс.руб.	Эмпирические частоты,	Центральное значение интервала (), руб	Нормированное отклонение вариантов, t	Теоретические частоты,
до 200	12	150	-0,590	7
200-300	14	250	-0,380	8
300-400	18	350	-0,170	8
400-500	24	450	0,040	8
500-600	15	550	0,250	8
600-700	7	650	0,460	8
700-800	6	750	0,670	7
Свыше 800	4	850	0,880	6
Итого (N)	100	4000
Величина интервала, h = 100
Средняя арифметическое,
Среднее квадратическое отклонение,

Теоретические частоты – это частоты, которые в отличие от фактически наблюдаемых эмпирических частот найдены с помощью вычислений.

Если нужно получить теоретические частоты при выравнивании вариационного ряда по кривой нормального распределения, то можно воспользоваться формулой:

где – сумма всех эмпирических частот ряда; h – величина интервала; – cреднее квадратическое отклонение; – нормированное отклонение вариантов от средней арифметической. Результаты вычислений представлены в таблице выше.

Тогда критерий согласия Пирсона ():

С помощью величины по специальным таблицам определяется вероятность . Входами в таблицу являются значения и число степеней свободы k = n – 1 = 8 – 1 = 7, n – число групп, на которые разбита выборка.

Вероятность по данной таблице >1. На основе вероятности выносится суждение о существенности или несущественности расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями. При Р > 0,5 считается, что теоретическое и эмпирическое распределения близки, при Р∈[0,2; 0,5] совпадение между ними удовлетворительное, в остальных случаях – недостаточное.

Следовательно, данные наблюдения согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

2).

Марка стиральной машины	Цена в январе, руб., Ця	Цена в феврале, руб., Цф	Товарооборот февраля, тыс.руб., Тф	Изменение цены продукции руб, Цф-Ця	Изменение цены продукции %, Цф-Ця	Число проданного оборудования, Тф/Цф
Индезит	3000	3100	49,6	100	3,3 %	16
Бош	3500	3600	54,0	100	2,8 %	15
Эврика	700	720	39,6	20	2,8 %	55
Средний рост цен на данную группу товаров по торговому предприятию, (Цф-Ця)/3				73,333	2,9 %
Перерасход покупателей от роста цен, Пц = ∑Тф-∑Тя = 143200 – 139000 = 4200

Задача № 4

В результате выборочного обследования дневного удоя коров, проведенного на молочной ферме, были получены следующие данные приведенные в таблице. Исчислите дисперсию, применяя способ моментов, моду, медиану и квартили удоя коров.

Дано:

Группы коров по дневному удою, кг	Число коров
6-8	2
8-10	5
10-12	51
12-14	37
14-16	3
16 и выше	2
	100

Решение:

Группы коров по дневному удою, кг	Число коров, шт.,	Центральное значение интервала,
6 - 8	2	7	-4	-2	-4	-0,4
8 - 10	5	9	-2	-1	-5	-0,5
10 - 12	51	11	0	0	0	0
12 - 14	37	13	2	1	37	3,7
14 - 16	3	15	4	2	6	0,6
16 и выше	2	17	6	3	6	0,6
Величина интервала h = 2	Сумма ∑ = 100					∑ = 4

По способу моментов вычислим дисперсию:

где h – величина интервала; А – серединная варианта ряда с наибольшей частотой или условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой (в нашем случае наибольшей частотой обладает интервал группы 10-12 кг, примем 11 кг).

Используя свойства средней арифметической, можно исчислить ее с помощью способа моментов:

где e – произвольная величина, равна 10.

Средняя арифметическая:

Дисперсия:

Модой в статистике называется величина признака (варианта), которая наиболее часто встречается в данной совокупности. В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту. В дискретном вариационном ряду модой называют ту варианту, которая имеет наибольшую частоту повторения.

В интервальном ряду моду определяют по формуле:

где – нижняя граница модального интервала; – частота модального интервала; – частота предмодального интервала; – частота интервала, следующего за модальным; h = 2 – величина интервала. Модальный интервал выделен серым цветом в таблице.

Тогда:

Медианой в статистике называется значение признака у единицы, которая расположена в середине упорядоченного ряда, а в вариационном ряду медианой будет величина признака, которая делит ряд пополам по сумме накопленных частот.

По данным интервального вариационного ряда медиана определяется по следующей формуле:

где – медиана; – нижняя граница медианного интервала; – сумма накопленных частот; – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу; – частота медианного интервала; h = 2 – величина медианного интервала.

Тогда:

Для характеристики структуры применяются квартили. Квартили делят ранжированную совокупность по сумме накопленных частот на четыре равные части. Различают квартиль нижний (Q₁), отделяющий 1/4 часть совокупности с наименьшими значениями признака, и

квартиль верхний (Q₄), отсекающий 1/4 часть с наибольшими значениями признака.

Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы:

где – нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25 %);

– нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75 %);

h = 2 – величина интервалов;

– сумма накопленных частот интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

– то же для верхнего квартиля;

– частота интервала, содержащего нижний квартиль;

– то же для верхнего квартиля.

Группы коров по дневному удою, кг	Число коров, шт.,	Центральное значение интервала,	Накопленная частота	%
6 - 8	2	7	2	2
8 - 10	5	9	7	7
10 - 12	51	11	58	58	нижний квартиль
12 - 14	37	13	95	95	верхний квартиль
14 - 16	3	15	98	98
16 и выше	2	17	100	100
Величина интервала h = 2	Сумма ∑ = 100

Тогда:

Нижний квартиль:

Верхний квартиль:

Задача № 5

Имеются следующие данные о ценах на уголь и объемах его производства в РФ во II квартале 2006 г. (таблица). При условии 100 % -ой реализации угля в каждом месяце определите цепные и базисные индивидуальные индексы цен, физического объема реализации и товарооборота. Проверьте взаимосвязь цепных и базисных индексов.

Дано:

Месяц	Цена за 1 т, тыс.руб.	Произведено, млн.т.
Апрель	120	23,2
Май	121	20,2
Июнь	116	18,7

Решение:

Месяц	Произведено, млн.т. q	Физический объем реализации, т, q	Физический объем реализации, млн.т, q	Цена за 1т, тыс.руб. p	Товарооборот, тыс.руб. q*p	Товарооборот, млн.руб. q*p
Апрель	23,2	23200000	q₀ = 23,2	p₀ = 120	2784000000	P₀ = 2784000
Май	20,2	20200000	q₁ = 20,2	p₁ = 121	2444200000	P₁ = 2444200
Июнь	18,7	18700000	q₂ = 18,7	p₂ = 116	2169200000	P₂ = 2169200

Индексы – сложные относительные показатели, характеризующие среднее изменение непосредственно несоизмеримых общественных явлений.

По степени охвата элементов совокупности различают:

индивидуальные индексы (дают сравнительную характеристику отдельных элементов явления)
общие индексы (характеризуют изменение совокупности элементов или всего явления в целом)

В зависимости от базы сравнения различают:

базисные (если при исчислении индексов за несколько периодов времени база сравнения остается постоянной)
цепные (если база сравнения постоянно меняется)

Цепные и базисные индивидуальные индексы цен, физического объема реализации и товарооборота.

Рассчитаем индивидуальные индексы физического объема продукции, которые характеризуют изменение объема реализации за различные месяцы работы:

Аналогично рассчитаем и индивидуальные индексы товарооборота за различные месяцы работы:

Рассчитаем цепной индекс с постоянным весом физического объема в динамике:

Рассчитаем базисный индекс с постоянным весом физического объема в динамике:

Если базисные и цепные индексы охватывают один и тот же период, между ними существует определенная взаимосвязь: произведение цепных индексов равно базисному. Существующая взаимосвязь дает возможность вычислять базисные индексы по данным о цепных и наоборот.

Так, произведение цепных индексов равно базисному индексу двух крайних периодов:

Задача № 6

Имеются следующие данные об общем объеме розничного товарооборота региона по месяцам 2006 г., млрд. руб. (таблица). Установите, по какой функции – прямой, параболе второго порядка, показательной кривой – следует произвести выравнивание этого ряда. Найдите тренд, характеризующий динамику общего объема розничного товарооборота региона за 12 месяцев 2006 г. Чему равен средний абсолютный прирост выравненного ряда? Следует ли вычислять этот показатель или он задан в уравнении тренда?

Месяц

Товарооборот,

млрд. руб.

22,8

24,9

31,0

29,5

30,5

35,6

36,4

42,6

45,1

47,3

51,0

53,4

Дано:

Решение:

Тренд – это долговременная компонента ряда динамики. Она характеризует основную тенденцию его развития, при этом остальные компоненты рассматриваются только как мешающие процедуре его определения.

Чтобы определить количественную характеристику тенденции развития, применяют аналитическое выравнивание (построение статистических моделей тренда). Модель позволяет определить параметры тренда, наглядно выразить тенденцию и отклонения от нее.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической и графической зависимости f(t).

Параметры уравнения должны соответствовать условию, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда динамики от расчетных была минимальной

В соответствии с характером развития исследуемого явления выбирается функция прямой или кривой линии, по ней же строится модель тренда.

Более обоснованным приемом выявления тренда является проверка статистической гипотезы о постоянстве того или иного показателя динамики.

В первую очередь проверяется гипотеза о наиболее простой – линейной форме уравнения тренда, т. е. о несущественности различий цепных абсолютных изменений. Имеем 12 абсолютных изменений скользящей средней, которая хотя и сгладила сильные колебания уровней ряда, но как видим, ее абсолютные изменения далеко не одинаковы. Разбиваем эти 12 цепных приростов на два под периода: по 6 приростов в каждом, и для каждого подпериода вычисляем среднюю среднее квадратическое отклонение как оценку генерального с учетом потери одной степени свободы вариации, s

и среднюю ошибку среднего изменения m_Δk:

Месяц	Товарооборот, млрд. руб.	Скользящая 5-летняя средняя	Абсолютные изменения	Средние, по под периодам абсолютные изменения
1	22,8	…..	…..
2	24,9	…..	…..
3	31,0	27,74	…..
4	29,5	30,3	+ 2,56
5	30,5	32,6	+ 2,3
6	35,6	34,92	+ 2,32
7	36,4	38,04	+ 3,12
8	42,6	41,4	+ 3,36
9	45,1	44,48	+ 3,08
10	47,3	47,88	+ 3,4
11	51,0	…..	…..
12	53,4	…..	…..
Итого:	450,1		Общая средняя величина

Контрольная работа по Статистике. 28. 2 📙 Контрольная → 🆔 68879