Контрольная работа по "Статистике". 282

№п\п	Среднегодовая стоимость  материальных оборотных фондов,млн.руб	Выпуск продукции,млн.руб
1	24,7	39
2	19,8	35
3	18,3	34
4	28	61
5	24,9	50
6	19	38
7	15	30
8	27	51
9	22,8	46
10	20,7	38
11	13	35
12	12	21
13	23,5	27
14	17	41
15	17	30
16	21,3	47
17	21,7	24
18	26	34
19	27	57
20	30	46
21	23,7	48
22	19,9	45
23	22,9	43
24	29	48
25	29	60
26	18	35
27	23,8	40
28	10	24
29	14	36
30	11	19

      

                          По исходным данным:

1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по признаку среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов, образовав четыре группы с равными интервалами.
2. Постройте графики полученного ряда распределения. Графически определите значение моды и медианы.
3. Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
4. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните ее с аналогичным показателем, рассчитанным в пункте 3 для интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.

Сделайте  выводы по результатам выполнения задания.

Решение:

1. Для изучения 5%-ной механической выборки предприятий одной из отраслей экономики, пользуясь данными исходной таблицы, построим интервальный вариационный ряд, характеризующий распределение предприятий по среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов. Величина интервала рассчитывается по формуле:

h = (X_max - X_min) / n,

где  X_max и X_min – максимальное и минимальное значение признака;

        n – число групп, на которое разбивается совокупность.     

В данной группе предприятий по среднегодовой  стоимости материальных оборотных  фондов видим, что

Xmax = 30,0;

Xmin = 10,0;

h = 4 (по условию).

h = (30,0– 10,0) / 4 = 5 (млн. руб.)

Отсюда  путем прибавления величины интервала  к минимальному уровню признака в  группе получим следующие группы предприятий по среднегодовой стоимости  материальных оборотных фондов.

Таблица 1.1

Распределение предприятий по среднегодовой стоимости  материальных оборотных фондов

№ группы	Группы организаций по среднегодовой  стоимости материальных оборотных  фондов, млн. руб.	Число предприятий
		В абсолют- ном выражении	В относи-тельных единицах,%	Кумуля-тивная частота
1	10-15	6	20	6
2	15-20	7	23,3	13
3	20-25	10	33,4	23
4	25-30	7	23,3	30
Итого:		30	100	--

 

Данные группировки показывают, что 43,3% предприятий использовали среднегодовую  стоимость материальных оборотных  фондов на сумму 20 млн. руб. и выше, и 56,7% предприятий – на сумму свыше 20 млн. руб.

2. Согласно данным таблицы 1.2 построим графики полученного ряда распределения.

 

Рис. 1: Гистограмма распределения  предприятий по среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов

Мода (Мо) – представляет собой  значение изучаемого признака, повторяющегося с наибольшей частотой.

Первоначально по наибольшей частоте  определим модальный интервал. Наибольшее число предприятий – 10 – имеет  среднегодовую стоимость материальных оборотных фондов в интервале 20-25 млн. руб., который и является модальным.

Мода среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов:

                             f₂ – f₁                              10– 7

Mо = x₀ + I ——————— = 20 + 5 —————    = 22.5 (млн. руб.)

                   ( f₂ – f₁ ) + (f₂ - f₃ )           (10 – 7) + (10 - 7)     

где х₀-нижняя граница модального интервала;

       i-величина модального интервала;

      f₂-частота модального интервала;

      f₁-частота интервала, предшествующего модальному;

      f₃-частота интервала, следующего за модальным.

Значит, наиболее часто встречаемая  среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов 22,5 млн. руб.

Рис. 2: Кумулята распределения предприятий по среднегодовой стоимости

материальных оборотных фондов

Медиана (Ме) называется вариант, расположенный  в середине упорядоченного вариационного  ряда, делящий его на две равные части.

Прежде всего найдем медианный  интервал. Таким интервалом очевидно будет интервал среднегодовой стоимости  материальных оборотных фондов предприятий (20-25 млн. руб.), поскольку его кумулятивная частота равна 23(6+7_10), что превышает половину суммы всех частот (30/2=15).  Нижняя граница интервала 20 млн. руб., его частота 10;частота накопленная до него, равна 13.

Медиана среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов:

                       (∑f) /2  - S_Me-1                      30 : 2 -13

  Me = x_ме + i_ме ——————  = 20 + 5 ————— = 21(млн. руб.)

                              f_Me                                        10

где  х_ме-нижняя граница медианного интервала;

        Iме-величина медианного интервала;

        ∑f-сумма частот ряда;

        S_Me-1 –сумма накопленных частот ряда, предшествующих медианному.                   

Полученный  результат говорит о том, что  из 30 предприятий 50% имеют среднегодовую  стоимость материальных оборотных  фондов более 21 млн. руб., а 50% предприятий  менее 21 млн. руб.

3. Для расчёта средней арифметической, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации применяем формулы во взвешенной форме, так как данные сгруппированы и представлены в виде интервального ряда.

Для расчета указанных величин  нам понадобятся некоторые промежуточные  данные, представленные в таблице 1.2:

Таблица 1.2

№ группы	Группы предприятий по среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов, млн.руб.	Число предприятий (f)	Середина интервала (х)	х* f	х-х	(х-х)2* f
1	10-15	6	12,5	75	-8	384
2	15-20	7	17,5	122,5	-3	63
3	20-25	10	22,5	225	2	40
4	25-30	7	27,5	192,5	7	343
Итого:	-	30	-	615	-	830

Данные для расчёта средней  арифметической, среднего квадратического  отклонения, коэффициента вариации

 

1) Для расчёта средней арифметической взвешенной применяют следующую формулу:

х =  ∑  хf / ∑ f = 615/30 = 20,5 (млн. руб.)

 

где х – значение признака;

      f – частота повторения признака;

      ∑хf – сумма произведений величины признаков на их частоты;

      ∑f – общая численность единиц совокупности.

2) Взвешенная дисперсия для вариационного ряда

σ ² = ∑(х-х)² f / ∑ f  =  830 / 30 = 27,7 (млн. руб.)                       

3) Среднее квадратическое отклонение для вариационного ряда вычисляется по формуле:

σ =      ∑(х-х)² f / ∑ f_i =     27,7    = 5,26  (млн. руб.)                  

 

4) Тогда коэффициент вариации будет равен:

 

V = (σ /х)*100 = (5,26 / 20,5)100 = 25,66 %                              

Таблица 1.3.

Результаты  расчёта средней арифметической, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации

№ п/п	Показатель	Значение
1	Средняя арифметическая, млн. руб.	20,5
2	Дисперсия, млн. руб.	27,7
3	Среднее квадратическое отклонение, млн. руб.	5,26
4	Коэффициент вариации, %	25,66

 

4. Теперь вычислим среднюю арифметическую по данным таблицы 1.1, расчёт будем производить по формуле для среднеарифметической простой:

х = ∑  х / n = 630 / 30 = 21 (млн. руб.)

где х  – значение вариант (индивидуальное значение признака у отдельных единиц совокупности);

       n – число единиц совокупности.

Полученный  результат отличен от приведённого выше, так как в данном случае расчет проводился для несгруппированных значений признака, представленных в виде дискретного ряда

Вывод:

Таким образом, по результатам задания №1 можно  сделать такой вывод: размер среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов отличается от среднего размера среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов в среднем на 5,26 млн. руб., что составляет 25,7%. Так как значение коэффициента вариации не превышает 33%, то изучаемую совокупность предприятий по среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов можно считать однородной, а среднюю – типичной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 Задание №2

По исходным данным

1. Установить наличие и характер связи между признаками среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов и выпуск продукции, образовав четыре групп с равными интервалами по обоим признакам, методами:

• аналитической группировки;

-    корреляционной таблицы. 

Решение:

Для изучения связи между явлениями  и их признаками строят корреляционную таблицу и аналитическую группировку.

Сначала установим связь между  указанными признаками методом аналитической  группировки. В качестве факторного признака будет выступать среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов, а в качестве результативного – выпуск продукции. Строим рабочую таблицу.

Результаты  группировки отражены в таблице 2.1.

Таблица 2.1.

Зависимость выпуска продукции от среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов

№ группы	Группировка предприятий по среднегодовой  стоимости материальных оборотных  фондов, млн.руб.	№ предприятия	Среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов, млн. руб.	Выпуск продукции млн.руб.
I	10-15	7	15,0	30
		11	13,0	35
		12	12,0	21
		28	10,0	24
		29	14,0	36
		30	11,0	19
Итого:		6	75	165
II	15-20	2	19,8	35
		3	18,3	34
		6	19,0	38
		14	17,0	41
		15	17,0	30
		22	19,9	45
		26	18,0	35
Итого:		7	129	258
III	20-25	1	24,7	39
		5	24,9	50
		9	22,8	46
		10	20,7	38
		13	23,5	27
		16	21,3	47
		17	21,7	42
		21	23,7	48
		23	22,9	43
		27	23,8	40
Итого:		10	230	420
IV	25-30	4	28,0	61
		8	27,0	51
		18	26,0	34
		19	27,0	57
		20	30,0	46
		24	29,0	48
		25	29,0	60
Итого:		7	196	357

 

Для установления наличия и характера  связи между среднегодовой стоимостью материальных оборотных фондов и  выпуском продукции по данным рабочей  таблицы 2.1 строим итоговую аналитическую  таблицу.

Таблица 2.2

Зависимость среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов от выпуска продукции

Группировка предприятий по среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов, млн. руб.	Число пред-прия-тий	Среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов, млн. руб.		Выпуск продукции, млн. руб.
		Всего	В среднем на одно пр-тие	Всего	В среднем на одно пр-тие
10-15	6	75	12,5	165	27,5
15-20	7	129	18,43	258	36,86
20-25	10	230	2,3	420	42
25-30	7	196	28	357	51
Итого:	30	630	81,93	1200	157,36

 

По  данным аналитической таблицы мы видим, что с ростом среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов, выпуск продукции в среднем на одно предприятие возрастает. Значит, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.

Для того чтобы определить тесноту взаимосвязи  между факторным и результативным признаком необходимо вычислить  эмпирическое корреляционное отношение - .

Корреляционное отношение вычисляется  как корень квадратный из отношения  межгрупповой дисперсии к общей  дисперсии.

                                            η=√δ²/σ²

Для этого необходимо вычислить:

1. Среднюю из внутригрупповых дисперсий;
2. Межгрупповую дисперсию;
3. Общую дисперсию.

Рассчитаем  среднюю из внутригрупповых дисперсий  по формуле:

                                    

Она отражает вариацию выработки, обусловленную  всеми факторами.

Расчет  произведем в таблице 2.3, данные для  которой возьмем на основании  таблицы 2.2

                                                                                                  Таблица 2.3

№ п/п	Выпуск продукции в среднем на одно предприятие (f)	Среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов в среднем на одно предприятие (хi)	х* f	х-х	(х-х)2* f	σ2
1	27,5	12,5	343,75	-8	1760	11,2
2	36,86	18,43	679,33	-2,07	157,94	1
3	42	23	966	2,5	262,5	1,67
4	51	28	1428	7,5	2868,75	18,23
Итого:	157,36	81,93	3417,08		4907,19	32,1

 

(млн.руб.) 
Вычислим межгрупповую дисперсию по формуле:

                                        , где:

- среднее значение результативного признака внутри j-той группы,

- количество предприятий   в j-той группе,

- среднее значение признака  среди исследуемой совокупности.

Межгрупповая  дисперсия характеризует систематическую  вариацию результативного порядка, обусловленную влиянием признака, фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних х_i и общей средней х.

(млн.руб.) 
        Суммирование средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дает общую дисперсию:

                                               σ² = δ² + σ²

Общая дисперсия отражает суммарное влияние  всех возможных факторов на общую  вариацию.

                             σ² = 31,2+8,57=39,74 (млн. руб.)

Очевидно, чем больше доля межгрупповой дисперсии  в общей дисперсии, тем сильнее  влияние группировочного признака (среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов) на изучаемый признак (выпуск продукции).

В статистическом анализе широко используется эмпирический коэффициент детерминации (η²) – показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии результативного признака и характеризующий силу влияния группировочного признака на образование общей вариации:

                η² = σ²

δ²

 

31,2

Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного  признака f под влиянием факторного признака х (остальная часть общей вариации f обуславливается вариацией прочих факторов). При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации равен нулю, а при функциональной связи – единице.

39,74

                η² = =0,78 или 78%

 

Он  показывает, что среднегодовая стоимость  материальных оборотных фондов зависит  от выпуска продукции и 22% - влияние  прочих факторов.

Эмпирическое  корреляционное отношение – это  корень квадратный  из эмпирического  коэффициента детерминации.

                                             

Оно показывает тесноту связи между  группировочным и результативным признаком.

                                             

Из  соотношения Чэддока видим, что  связь между признаками «тесная», так как  (0,7-0,9).

В корреляционной таблице представим группировку по двум взаимосвязанным  признакам: факторному (среднегодовая  стоимость материальных оборотных  фондов) и результативному (выпуск продукции).

Построим  корреляционную таблицу, образовав 4 группы с равными интервалами по обоим признакам, полученные данные представим  в таблице 2.4:

                                                                                                     Таблица 2.4

Распределение предприятий по среднегодовой  стоимости материальных оборотных  фондов и выпуску продукции

Среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов, млн. руб.	Выпуск продукции, млн. руб.				Итого:
	19-30	30-41	41-52	52-63
10-15	4	2	-	-	6
15-20	1	5	1	-	7
20-25	1	3	6	-	10
25-30	-	1	3	3	7
Итого:	6	11	10	3	30

Как видно из данных таблицы 2.4 распределение числа предприятий произошло вдоль диагонали, проведенной из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы, т.е. увеличение признака “среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов” сопровождалось увеличением признака “выпуск продукции”.

Характер концентрации частот по диагонали  корреляционной таблицы свидетельствует  о наличии прямой тесной корреляционной связи между изучаемыми признаками.

Выводы: по результатам выполнения задания №2 можно сделать следующие выводы:

1. из таблицы 2.2. видно, что с ростом величины среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов от группы к группе, увеличивается и величина выпуска продукции. Следовательно, связь между рассматриваемыми признаками прямая корреляционная;
2. выводы, сделанные в п.1) подтверждаются и корреляционной таблицей, где присутствует ярко выраженное распределение предприятий  вдоль диагонали (таблица 2.4);
3. корреляционное отношение (0,88, т.е. близко к единице) свидетельствует, что на величину выпуска продукции существенно влияет величина среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов.

2.3 Задание №3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,954 определить:

1. ошибку выборки средней стоимости материальных оборотных фондов и границы, в которых будет находиться средняя стоимость материальных оборотных фондов в генеральной совокупности;

2. ошибку выборки доли предприятий со среднегодовой стоимостью материальных оборотных фондов от 15млн. до 25 млн. руб. границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Решение:

1. Ошибка  выборки средней величины продукции  и границы  вычисляется как:

, где:

- дисперсия по признаку среднесписочная  численность работников,

- объем выборочной совокупности,

- объем генеральной совокупности.

Так как по условиям выборка 5%-ная, то = /20*100=30/5*100 60.

(млн. руб.)

Это означает, что при выборке возможна ошибка 4,92 млн. руб.

Границы, в которых будет находиться средняя  величина среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов в генеральной совокупности, определяется как .

,

 где t – нормированное отклонение и при вероятности 0,954, t=2.

    (млн. руб.)