Контрольная работа по "Статистике". 552

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение  высшего профессионального образования

РОССИЙСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 

ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ

ТЬМАТАРАКАНЬСКИЙ ФИЛИАЛ

(Тундрюкский филиал РГТЭУ)

 

Кафедра экономики  и финансов

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная РАбота

по дисциплине

«Статистика часть 1»

Вариант № 666

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

Студент 2 курса 

Заочного отделения  на базе ВПО

специальности «Финансы и кредит»

Сигизмкнд Карлович.

Проверил:

Училкин И.И., к.тракторных наук.

 

 

 

Тьматарокань 2112

 

I. Задание на контрольную работу:

 

Задание 1.

На основании исходных данных, выданных преподавателем, необходимо:

1. Построить интервальный ряд распределения, определив величину интервала с помощью формулы Стерджесса.
2. Определить показатели центра распределения.
3. Вычислить показатели вариации.
4. Рассчитать показатели формы распределения.
5. Проверить соответствие эмпирического распределения нормальному закону распределения с помощью критерия согласия Пирсона (или Романовского)

 

Задание 2.

Считая первые 4 значения первой строки исходных данных уровнями интервального временного ряда, определить показатели динамики. При расчете базисных показателей в качестве базы сравнения принять первый уровень ряда.

 

Задание 3.

Считая исходные данные 10%-ой простой случайной бесповторной выборкой определить:

1. Пределы, в которых будет находиться генеральное среднее значение признака для всей совокупности с доверительной вероятностью 0.954.  
2. Пределы в которых будет находиться генеральная доля единиц совокупности, обладающих значением признака большим или равным нижней границе 5-го интервала, с доверительной вероятностью 0.997.
3. Объем выборки, обеспечивающий получение среднего значения признака с предельной ошибкой не превышающей (σ/5), и вероятностью 0.954.

 

II. Выполнения контрольной работы

Исходные данные:

11	9	2	8	11	5	10	8	4	9
7	6	11	5	18	6	10	7	11	4
12	14	13	8	9	12	5	17	13	17
11	9	1	10	1	5	8	8	0	3
17	3	8	7	4	15	16	3	16	1

 

Исходные данные Вариант № 67

29	26	34	36	42	25	45	35	37	28
47	42	29	39	52	23	29	34	28	39
48	44	38	38	27	29	48	44	40	47
55	38	40	37	33	45	51	56	50	40
49	37	26	51	43	40	42	45	32	27

 

Задание 1.

1. Построение интервального вариационного ряда распределения

Ряд распределения – упорядоченное расположение единиц (элементов) изучаемой совокупности по группам в соответствии с  выбранным группировочным признаком.

Ряд распределения представляет собой таблицу, которая состоит из двух основных колонок. В первой указываются значения, которые принимает признак в изучаемой совокупности, а во второй – количество, того или иного значения, т.е. частота. Для признака, имеющего непрерывное изменение, строится интервальный ряд распределения. При его построении отдельные значения признака указываются в первой колонке в виде интервалов «от - до».

В некоторых случаях, в зависимости от целей исследования, ряд распределения, состоящий из двух граф, иногда дополняется другими графами, необходимыми для вычисления отдельных статистических показателей.

Для построения интервального  ряда вначале определяем размер интервала:

,

где x_max – максимальное значение признака в совокупности;

x_min - минимальное значение признака в совокупности;

m – число интервалов

Количество интервалов определим с помощью формулы Стерджесса:

,

где n – объем совокупности (количество исходных значений). В нашем случае n=50.

Количество интервалов обязательно должно быть целым числом. Поскольку формула Стерджесса дает лишь приблизительную оценку количества интервалов, то можно принять либо m=6, либо m=7. Для удобства дальнейших вычислений примем  m=6. Тогда размер интервала будет равен:

.

Определяем границы  интервалов. Нижняя граница первого  интервала равна минимальному значению признака в совокупности, т.е. в нашем случае равна 23. Верхняя граница первого интервала равна нижней границе плюс размер интервала, т.е. 23+5,5=28,5. Нижняя граница второго интервала равна верхней границе первого, т.е. 28,5. Верхняя граница второго интервала равна нижней границе второго интервала плюс размер интервала, т.е. 28,5+5,5=34 и т.д. В итоге получаем границы для шести интервалов. Заносим границы интервалов в таблицу (табл. 1, колонка 2).

Подсчитываем количество значений признака из заданной совокупности, попавших в тот или иной интервал и заносим это число в колонку «Частота».

Вычисляем частости, т.е. частоты, выраженные в процентах к общему объему совокупности:

;

 

 

 

 

 

 

Таблица 1.

Интервальный ряд распределения

№ Инт.	Значение признака (х) от - до	Частота (f)	Частость (w), %	Накопленная частота (S)	Плотность распределения (ρ)
1	0 – 3	5	10	5	1.667
2	3 – 6	10	20	15	3.333
3	6 – 9	11	22	26	3.336
4	9 – 12	12	24	38	4.000
5	12 – 15	5	10	43	1.667
6	15 - 18	7	14	50	2.333
Итого:		50	100	-	-

 

№ Инт.	Значение признака (х) от - до	Частота (f)	Частость (w), %	Накопленная частота (S)	Плотность распределения (ρ)
1	23 – 28,5	8	16	8	1,4545
2	28,5 – 34	6	12	14	1,0909
3	34 – 39,5	12	24	26	2,1818
4	39,5 – 45	10	20	36	1,8181
5	45 – 50,5	9	18	45	1,6363
6	50,5 - 56	5	10	50	0,909
Итого:		50	100	-	-

 

  

Накопленная частота показывает сколько единиц изучаемой совокупности имеет значение признака не более чем некоторое заданное. Она вычисляется по формуле:

 

;

  

  

 

 

 

Последнее значение накопленной частоты  должно быть равно объему совокупности.

Плотность распределения показывает сколько единиц совокупности приходятся на единицу длины интервала:

.

 

Строим графические  изображения ряда распределения.

Рис. 1. Структурная диаграмма

 

Рис.2. Полигон распределения

 

Рис. 3. Гистограмма распределения

Рис. 4. Кумулятивная кривая

 

2. Определение показателей центра распределения

 

К показателям центра распределения относятся: средняя  арифметическая, мода и медиана.

 

Средняя арифметическая

где x_i –середина i-го интервала.

 

Мода – значение признака наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности.

Для нахождения моды по интервальному  ряду распределения в начале определяем модальный интервал, т.е. интервал с  максимальной частотой. В нашем случае таким интервалом будет интервал от 34 до 39,5 (3-й интервал). Далее величину моды вычисляем по формуле  

,

где – нижняя граница модального интервала;

- размер модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего  за модальным. 

 

Медиана – значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряда на две равные по численности части.

Для нахождения медианы  по интервальному ряду распределения  в начале определяем медианный интервал. Им будет первый сверху интервал, в котором накопленная частота больше или равна половине объема совокупности. В нашем случае половина объема совокупности n/2=50/2=25. Первый с верху интервал, в котором накопленная частота больше чем 25 – это интервал от 34 до 39,5 (в нем накопленная частота равна 26), поэтому этот интервал является медианным.

Далее величина медианы  вычисляется по формуле

где – нижняя граница медианного интервала;

- размер медианного интервала;

- частота медианного интервала;

- накопленная частота интервала,  предществующего медианному.

 

 

3. Определение показателей вариации

 

Вариация – различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности.

Для характеристики изменчивости отдельных  значений признака в статистике используют абсолютные и относительные показатели вариации. 

 

Абсолютные показатели вариации:

Размах

Среднее линейное отклонение

 

 

Дисперсия

 

Среднее квадратическое отклонение

 

Относительные показатели вариации:

 

Коэффициент осцилляции

 

 

Относительное линейное отклонение

 

Коэффициент вариации

Поскольку коэффициент  вариации меньше 33%, то совокупность по изучаемому признаку является однородной.

 

4. Определение показателей формы распределения

 

Показатель  асимметрии

На основе показателя асимметрии могут быть сделаны следующие  выводы.

Если As < 0, то асимметрия левосторонняя, а если As < 0 – то правосторонняя.

Если |As|<0.25, то асимметрия незначительная (несущественная), т.е. распределение может быть признано симметричным.

Если |As|>0.5, то асимметрия значительная (существенная), т.е. распределение не может быть признано симметричным.

В нашем случае асимметрия правосторонняя, незначительная и не существенная.

 

Показатель  эксцесса (островершинности)

,

где μ₄ – центральный момент 4-го порядка

 

Поскольку Ех <0, то распределение плосковершинное.

 

5. Проверка соответствия эмпирического распределения нормальному закону

 

Теоретические частоты  для нормального распределения  вычисляются по формуле

 

Таблица 2

Вычисление теоретических  частот

№ Инт.	Середина интервала
1	1.5	-1.01556	0.3621995	4.700
2	4.5	-0.29986	0.7409070	9.620
3	7.5	-0.00764	0.9923890	11.880
4	10.5	-0.13893	0.8702889	11.297
5	13.5	-0.69371	0.4997186	6.487
6	16.5	-1.67198	0.1878747	2.439

 

№ Инт.	Середина интервала
1	25,75	-1,2182421	0,295787	3,806
2	31,25	-0,4194494	0,6574373	8,459
3	36,75	-0,0366945	0,9639742	12,402
4	42,25	-0,0699776	0,9324215	11,997
5	47,75	-0,5192985	0,5949698	7,655
6	53,25	-1,3846572	0,2504456	3,222

 

 

По результатам вычислений строим график (рис. 5).

 

 

Рис. 5. Эмпирическое и  теоретическое распределения

 

Для проверки соответствия эмпирического и теоретического распределений будем использовать критерий согласия Пирсона («хи-квадрат»)

.

Применение критерия Пирсона требует выполнения следующих  условий:

1)  число наблюдений должно быть достаточно большим (n≥50). Данное условие в нашем случае выполняется;

2) теоретические частоты  в интервалах должны быть больше 5. Это условие в нашем случае не выполняется для первого и последнего интервала. Поэтому прежде чем вычислять критерий Пирсона произведем объединение интервалов – первого и второго, последнего и предпоследнего. Таким образом из 6 интервалов, которые у нас были в начале, останутся 4.

 

Таблица 3

Расчет критерия Пирсона

№ Инт.	fi
1			0.034
2
3	11	11.880	0.280
4	12	11.297	0.043
5			1.080
6
χ2=			1.437

 

Применение критерия согласия Пирсона требует использования  специальных таблиц. Что бы избежать этого, вычислим на основе критерия Пирсона критерий Романовского

,

где γ=m^*-l-1 – число степеней свободы;

m^* - число интервалов после объединения (в нашем случае m^* =4);

l – число параметров распределения (для нормального распределения l=2).

γ=4-2-1=1;

.

В соответствии с критерием  Романовского, если С<3, то эмпирическое распределение соответствует теоретическому.

В нашем случае С=0,309 < 3, следовательно эмпирическое распределение соответствует нормальному закону (закону Гаусса).

 

 

Задание 2.

 

Ряд динамики (временной ряд) – значения статистического показателя расположенные в хронологическом порядке. Временной ряд состоит из двух строк (колонок). В первой указываются периоды или моменты времени, а во второй – значения показателя, приходящиеся на эти периоды или моменты. Показатели второй строки (колонки) называются уровнями ряда динамики.

Возьмем первые 4 значения из первой строки исходных данных и  расположим их в хронологическом порядке, как это показано в табл. 4.

 

Таблица 4

Временной ряд

Период времени, t	1	2	3	4
Показатель, y	11	9	2	8

 

Для анализа временных  рядов используются специальные  показатели, которые называются показателями динамики. Существует два способа  расчета таких показателей: базисный и цепной. При определении базисных показателей текущий уровень ряда динамики y_i сравнивается с базисным уровнем y₀. Если иное не указано, то в качестве базы принимается первый уровень ряда (в нашем случае это значении 11). При вычислении цепных показателей текущий уровень ряда y_i сравнивается с предыдущим y_i-1.

 

1. Абсолютные приросты

а) базисные

;

;

;

б) цепные

;

;

.

 

2. Коэффициенты роста

а) базисные

;

;

;

 

б) цепные

;

;

.

3. Темпы роста

а) базисные

;

;

;

 

б) цепные 

;

;

.

 

4. Темпы прироста

а) базисные

;

;

;

 

б) цепные

;

;

.

 

5. Абсолютное значение одного процента прироста

;

;

;

.

 

6. Средний уровень интервального ряда динамики, состоящего из абсолютных величин, определяется по формуле средней арифметической

,

где k – число уровней ряда динамики.

 

7. Средний абсолютный  прирост

.

 

8. Средний коэффициент  роста

.

 

9. Средний темп роста

.

 

10. Средний  темп прироста 

.

 

 

Задание 3.

 

1. Определение  пределов, в которых находится  генеральная средняя

 

Генеральная средняя  находится в интервале от ( ) до ( ). Где - выборочная средняя (берется из первого задания, в нашем случае =8.07), - предельная ошибка средней:

,

где n – объем выборки (в нашем случае n=50 – из первого задания);

- выборочная дисперсия (в нашем  случае  =21.5 – из первого задания);

N – объем генеральной совокупности. По условию задания , откуда и N=500;

t – коэффициент доверия, он определяется по специальной таблице в зависимости от доверительной вероятности:

Доверительная вероятность	t
0.954	2
0.997	3

 

.

Таким образом, генеральная  средняя с доверительной вероятностью 0.954 находится в интервале:

от (8.07-1.237) до (8.07+1.237)

или

от 6.833 до 9.307.

 

2. Определение пределов, в которых находится генеральная доля

 

Нижняя граница 5-го интервала равна 12 (см. 1-ое задание). Доля единиц выборочной совокупности, имеющих значение признака равное или большее 12 равна:

.

 

Генеральная доля находится  в интервале от ( ) до ( ). Где - предельная ошибка доли:

.

Таким образом, генеральная  доля с вероятностью 0.997 будет находиться в интервале